专题11 空间中的垂直关系（知识点串讲）-【中职专用】高二下学期数学期末复习大串讲（高教版·基础模块下）

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专题11 空间中的垂直关系【考点梳理】考点一：1．线线垂直如果两条直线所成的角是直角(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．例1.下列说法中可以判断直线平面的是（       ）A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直变式1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（        ）A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内例2.已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2.已知直线平面，则直线平面是直线的（       ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件例3.已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线l，m的位置关系是（       ）A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面变式3.已知直线，平面，且，下列条件中能推出的是（      ）A． B． C． D．与相交例4.已知直线平面，直线平面，则下列结论一定成立的是（       ）A．与相交        B．与异面       C．           D．与无公共点变式4.在正方体中，直线平面（l与直线不重合），则（       ）A． B．C．与l异面但不垂直 D．与l相交但不垂直考点二：3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是 [0°，90°]．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是 [0°，180°]． 例1.直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（　　）A．20°           B．70°           C．90°          D．110°变式1.在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（       ）A．45°         B．90°          C．正切值为2         D．正切值为例2.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．变式2.如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．例3.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（     ）A．相等          B．互补           C．相等或互补          D．不确定 变式3.．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(       )A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补例4.在正方体中，二面角平面角的正切值为         .变式4.在正方体中，二面角的大小为__________.考点三：5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．例1.设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件变式1.设，为两个平面，则的充要条件是（       ）A．，平行于同一个平面   B．，垂直于同一个平面C．内一条直线垂直于内一条直线   D．内存在一条直线垂直于例2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ）A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β       B．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β       D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β变式2.设､为两条直线，､为两个平面，则下列命题中假命题是（       ）A．若，，，则       B．若，，，则C．若，，，则        D．若，，，则例3.已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β=l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是（       ）A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直变式3.已知且，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件