专题11 空间中的垂直关系（专题测试）-【中职专用】高二下学期数学期末复习大串讲（高教版·基础模块下）

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专题11 空间中的垂直关系一、选择题1．以下哪个条件能判断直线l与平面垂直（       ）A．直线l与平面内无数条直线垂直          B．直线l与平面内两条平行直线垂直C．直线l与平面内两条直线垂直            D．直线1与平面内两条相交直线垂直【答案】D【解析】对于A、 B、 C，直线l与平面内无数条直线垂直、l与平面内两条平行直线垂直、直线l与平面内两条直线垂直，都不符合条件，如下图平面，且，，不垂直平面，如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直，那么平面，故D正确，故选：D.2．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是（       ）A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直【答案】C【解析】由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选：C.3．已知且，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：因为，，所以，所以充分性满足；必要性：因为且，，，所以，所以必要性满足，所以“”是“”的充要条件，故选：C.4．已知空间四边形的四边长相等，则顺次连接各边中点形成的四边形是（      ）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】C【解析】设空间四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA中点分别为E,F,M,N,根据三角形中位线性质得EF//AC,MN//AC,且,即四边形ABCD为平行四边形，又空间四边形的四边长相等，取AC中点P,则BP,DP都垂直AC，因此AC垂直平面PBD，即AC垂直BD,从而四边形ABCD为矩形，选C. 5．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（　　　　）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由正方体的性质得BD∥，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面；所以①正确.由正方体的性质得 AC⊥BD，⊥BD，可得⊥平面 ，所以⊥BD，所以②正确.　　　　由正方体的性质得 BD∥，由②可得⊥BD，所以⊥，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到：⊥平面 ，所以③正确，故选：D.6．如图所示，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在（       ）A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC的内部【答案】A【解析】连接AC1，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选：A.7．平面的一条斜线和这个平面所成的角的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由斜线和平面所成的角的定义得：，故选：C.8．已知长方体中，，，长方体的体积是32，则直线和平面所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为长方体的体积是32，所以，所以四边形为正方形，如下图所示：取的中点，连接，则，又，所以平面，所以即为和平面所成角，有勾股定理可知;，所以在中，，故选：C.9．正方体的棱长为1，则二面角的余弦值为（      ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，取中点，连结交于点，连结，，则，，所以即是二面角的平面角，又因正方体棱长为1，所以，所以，又，所以在，即二面角的余弦值为，故选A. 10．设平面 ，且相等，则 是的（       ）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】B【解析】平面，且相等，则，故是的外心，故选：B.二、填空题11．过平面外一点有            条直线与该平面垂直.【答案】1【解析】根据线面垂直的性质可知，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故答案为：1.12．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有            个.【答案】4【解析】由于平面，所以，所以三角形和三角形是直角三角形，由于，所以，三角形是直角三角形，由于，所以平面，所以，所以三角形是直角三角形，所以三棱锥四个面中，是直角三角形的个数有个，故答案为：.13．平行四边形的对角线交点为O，点P在平行四边形所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是            .【答案】垂直【解析】如图:因为四边形为平行四边形,所以点为和的中点,因为,所以,因为,所以,因为平面,平面,且,所以平面.故答案为:垂直. 14．如图，已知底面是正方形的四棱锥，一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长相等，长度均为1，那么该棱锥中最长的棱长是            .【答案】【解析】如图，平面，则是最长的棱，连接，因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，且边长为1，所以，所以，故答案为：.15．设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则三棱锥的体积是            .【答案】【解析】由题意可知:，因为,平面，所以有平面,所以三棱锥的体积是：.16．如图，P是二面角内的一点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若∠APB＝80°，则二面角的大小为            .【答案】100°【解析】设二面角的大小为，因为PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.，所以，所以，故答案为：100°.17．已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为            .【答案】【解析】如图，连接，过B作，则即为点B到直线的距离，在正方体中，平面，，在直角中，，且，所以 ，点B到直线的距离为，故答案为：.18．已知平面，和直线，且，则“”是“”的            条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．）【答案】充分不必要【解析】由题得，所以“”是“”的充分条件；当时，不一定有，有可能不与平面b垂直，也有可能在平面b内，所以“”是“”的非必要条件，所以“”是“”的充分非必要条件，故答案为：充分不必要.19．如图，在直二面角中，和分别在平面和上，它们都垂直于，且，，，则            .【答案】【解析】连接，在直二面角中，，，所以，又，则，又，所以，在△、△中，故答案为：.20．在三棱锥中，平面，，则二面角的大小为            .【答案】【解析】因为平面，所以所以为二面角的平面角，又，所以二面角的大小为，故答案为：.三、解答题21．所有棱长均相等的三棱锥称为正四面体，如图，在正四面体A—BCD中，求证：AB⊥CD.【答案】证明见解析【解析】证明：取的中点为，连接，，因为四面体为正四面体，故为等边三角形，故，同理，而，故平面，因为平面，故. 22．如图，已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，O为对角线AC、BD的交点．求证：PO⊥BD，PC⊥BD．【答案】证明见解析【解析】∵PA⊥正方形ABCD所在的平面，BD平面ABCD，∴PA⊥BD，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵AC∩PA＝A，AC、PA平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵PO、PC平面PAC，∴PO⊥BD，PC⊥BD． 23．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，求证：平面平面．【答案】证明见解析【解析】证明：由底面为矩形，则，∵面面，面面，面，∴面，又平面，∴平面平面． 24．如图，已知平面，D为的中点，求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：因为，D为的中点，所以,又平面，平面，所以，又,且、平面，所以平面，又平面,所以. 25．已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.【答案】证明见解析【解析】证明: ∵是圆的直径，是圆上任一点，，，平面，平面，，又，平面，又平面，平面⊥平面. 26．如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．（1）求证：平面PAC；（2）求证：【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】证明：(1)∵点D、E分别是棱AB、PB的中点，∴，又∵平面，平面；∴平面．(2)∵底面，底面，∴， ∵，，平面， ∴平面，又∵平面， ∴． 27．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA（1）求证：PB⊥平面APD；（2）若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】证明：(1)由AD⊥平面PAB，面，则，又PB⊥PA，，则PB⊥平面APD；(2)由（1）及面，则面面APD，又面面APD，AG⊥PD，面APD，所以面，而面，所以AG⊥BD． 28．如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面.求证：（1）∥平面； （2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）∵别为棱的中点，∴MN∥BC，又平面，∴∥平面.（2）∵，点为棱的中点，∴，又平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴平面平面. 29．如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，，为等边三角形.（1）求证：；（2）若，，求直线与平面所成的角.【答案】（1）见解析 （2）. 【解析】解：（1）因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，取线段的中点,连接，则.  又因为为等边三角形，所以．因为平面，平面，且，所以直线平面，又因为，所以． （2）因为为等边三角形，且其边长为，所以，又，所以，所以. 因为，所以面， 所以为直线与平面所成的角，在中，，所以，故直线和平面所成的角为. 30．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求二面角的平面角的大小.【答案】二面角的平面角的大小为45°.【解析】，，，同理可证，，且平面，平面，由平面，，又，平面，平面，平面，.为二面角的平面角，在中，，∴二面角的平面角的大小为45°.