专题13 计数原理、概率（知识点串讲）-【中职专用】高二下学期数学期末复习大串讲（高教版·基础模块下）

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专题13 计数原理、概率【考点梳理】考点一：1．分类加法计数原理完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝                          种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝                      种不同的方法．3．两个计数原理的区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法               ，用其中                 都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法                 ，只有                才算做完这件事．4．两个计数原理解决计数问题时的方法最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要分步．(1)分类要做到“           ”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“             ”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要            ，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有（      ）A．3种 B．6种 C．9种 D．24种变式1.解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（       ）A．10种 B．21种 C．24种 D．36种 例2.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种树为（       ）.A．10 B．16 C．20 D．24变式2.小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有______种． 例3.已知某中学教学楼共有五层，有西边与东边各两个楼梯，则从一层到五层不同的走法有________种．变式3.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的3种主食、4种素菜、2种大荤、3种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有______种． 例4.一位妈妈带着三个孩子买玩具，每个孩子从五种不同的玩具中任选一个，每种玩具至少有3个，则不同的选法有（       ）A．15种 B．125种 C．25种 D．150种变式4.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（       ）A．14种 B．7种 C．24种 D．49种  例5.从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（       ）A．20 B．15 C．25 D．32变式5.在本次大阅读活动中增设了“游园会”中的“学科素养展”（即学科知识竞答活动），某同学从高一年级11个学科素养展、高二年级的9个学科素养展中各选择一个学科参加，则不同的选法共有（       ）A．9种 B．11种 C．20种 D．99种 考点二：5．随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的              ．(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的               ．必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件S的确定事件．(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的                  ．(4)               和                   统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．6．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的           ，称事件A出现的比例fn(A)＝            为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的        fn(A)稳定在某个常数上，把这个          记作P(A)，称为事件A的             ．(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为                  ．7．事件的关系与运算对立事件：若              为不可能事件，                为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，A∩B＝∅ ，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1.“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．8．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：             .      (2)必然事件的概率P(E)＝       .(3)不可能事件的概率P(F)＝      .         (4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝                      .推广：如果事件A1，A2，…，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件A1＋A2＋…＋An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An)＝                                    　.②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝             .9．基本事件在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为                  ．10．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是         的．   (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成             的和．11．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有        个． (2)每个基本事件出现的可能性           ．4．古典概型的概率公式    对于古典概型，其计算概率的公式为P(A)＝． 例1.下列事件：①长度为3、4、5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天．其中，是随机事件的是（       ）A．①② B．②③ C．①③ D．②变式1.下列事件：（1）在标准大气压下，水加热到100℃沸腾；（2）平面三角形的内角和是180°；（3）骑车到十字路口遇到红灯；（4）某人购买福利彩票5注，均未中奖；（5）没有水分，种子发芽了．其中随机事件的个数是（       ）．A．1 B．2 C．3 D．4 例2.一个人连续射击目标2次，则下列选项中与“至少有一次击中”为对立事件的是（       ）A．两次均击中       B．恰有一次击中        C．第一次击中       D．两次均未击中变式2.抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（       ）A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上 例3.掷一枚均匀的硬币80次，其中42次出现正面，则出现正面的频率是__________.变式3.一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为______． 例4.某人将一枚硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A出现的（　　）A．概率为         B．频率为          C．频率为6        D．概率为6变式4.掷一枚硬币两次，则“至少一次正面向上”的概率为________． 例5.甲射击命中目标的概率为， 乙射击命中目标的概率为. 现在两人同时射击目标， 则目标被击中的概率是（       ）A． B． C． D．变式5.甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是____________． 例6.袋中有个白球，个黑球，若从中任意摸出个，则至少摸出个黑球的概率是（       ）A． B． C． D．变式6.一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球的编号和不大于5的概率为__________．