数学第3章 概率与统计3.1 排列与组合3.1.3 排列与组合的应用举例精品测试题

3.1 排列与组合（B卷·能力提升）

 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

满分：100分   考试时间：100分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．现有高一年级的学生名，高二年级的学生名，高三年级的学生名，从中任选人参加某项活动，则不同选法种数为（    ）

A．60 B．12 C．5 D．5

【答案】B

【解析】由题意知有种，故选B．

2．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（    ）

A．60种 B．70种 C．75种 D．150种

【答案】C

【解析】由题意知共有种，故选C.

3．从数字0，1，2，3，4，5中任选3个数字，可组成没有重复数字的三位数共有（    ）个.

A．60 B．90 C．100 D．120

【答案】C

【解析】从0，1，2，3，4，5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，第一步先从非零的五个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的5个数中选择两个排在十位和个位上，总数为.

故选C.

4．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有一人的不同站法有（    ）.

A．288种 B．72种 C．36种 D．24种

【答案】C

【解析】由题意，甲、乙两人中间恰有一人，把这三个人看做一个整体，则有种，所以5个人站成一排，且甲、乙两人中间恰有一人的站法有：种，故选C.

5．6个小组去从事三项不同的公益劳动，每项公益劳动去两个小组，共有分配方案数为（　　）

A．90 B．45 C．18 D．15

【答案】A

【解析】依题意有种，故选A.

6．用、、、四个数字可组成必须含有重复数字的四位数有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【解析】用、、、四个数字组成的四位数个数为（即每个数位上的数字有种选择），无重复数字的四位数个数为，因此，用、、、四个数字可组成必须含有重复数字的四位数的个数为，故选B.

7．现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（    ）

A．20 B．24 C．25 D．26

【答案】D

【解析】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），故选D.

8．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（    ）

A．48 B．72 C．90 D．96

【答案】D

【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种，故选D.

9．从6名教师中选4名开发A、B、C、D四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A课程，则不同的选择方案共有（    ）             

A．300种 B．240种 C．144种 D．96种

【答案】B

【解析】依题意可得从除甲、乙外的四位老师中任取一位开发A课程共有种，再从剩下的5位老师中分别选3位开发项目共有.所以完成该件事共有种情况，故选B.

10．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（    ）

A．144 B．72 C．54 D．36

【答案】B

【解析】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有种，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．

11．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为            .

【答案】120

【解析】①男女，种；②男女，种；③男女，种；∴一共有种，故答案为120.

12．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．

【答案】16

【解析】根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.故答案为：16．

13．有4种不同的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有             种不同的种植方法.

【答案】24

【解析】由题意，这相当于从4块不同的土地中选出3块，进行全排列，方法共有=4×3×2=24种，

故有24种不同的种植方法，故答案为24.

14．6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有              种．

【答案】720

【解析】6个人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有（种），故答案为720.

15．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告，2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有          种．

【答案】480

【解析】先把4个商业广告排好顺序，共有种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中，根据分步乘法计数原理，共有种方法，故答案为：.

16．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中无重复的个数为         .

【答案】30

【解析】若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有个；若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有个，故一共有30个，故答案为.

17．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A，B，C，D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为             ．

【答案】14

【解析】将分配方案分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况：①甲分配到B班（种）分配方案；②甲不分配到B班有（种）分配方案．由分类加法计数原理可得，共有（种）分配方案，故答案为14．

18．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成            个没有重复数字的四位数.

【答案】1260

【解析】若不取零，则排列数为，若取零，则排列数为，因此一共有个没有重复数字的四位数.

三、解答题：本题共6小题，共46分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

19．（6分）求证：

（1）；

（2）．

【答案】见解析

【解析】（1）证明：.

（2）证明：

20．（6分）用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？

【答案】48

【解析】解：根据题意，可知有4种不同颜色，且相邻两块地图涂不同的颜色，由于①②③两两相邻，则①②③涂的颜色不同，则有种涂法，而④与②③相邻，则④有2种涂色方法，所以一共有种不同的涂色方法.

21．（8分）6个女生其中有1个领唱和2个男生分成两排表演．

（1）若每排4人，共有多少种不同的排法？

（2）领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？

【答案】（1）40320种；（2）5760种.

【解析】解：（1）要完成这件事分三步．第一步，从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，共有种不同的排法；第二步，前排4人进行全排列，有种不同的排法；第三步，后排4人进行全排列，有种不同的排法．由分步乘法计数原理知，有＝40320(种)不同的排法．

（2）要完成这件事分三步．第一步，除领唱外，从5个女生中选3人站在前排，另4人站在后排，共有种不同的排法；第二步，前排4人进行全排列，有种不同的排法；第三步，后排4人进行全排列，有种不同的排法，有＝5 760(种)不同的排法．

22．（8分）从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少不同选法？

（1）男、女各两名；

（2）男、女同学分别至少有1名；

【答案】（1）1440；（2）2880

【解析】解：（1）男、女同学各2名的选法有种，故总的不同选法有种；

即男女同学各两名的选法共有1440种．

（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，故选人种数为，故总的安排方法有，故不同的选法有2880种．

23．（8分）现有9名学生，其中女生4名，男生5名.

（1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？

（2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？

（3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？

【答案】（1）26；（2）60；（3）2184

【解析】解：（1）从中选2名代表，没有女生的选法有种，所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有种.

（2）从中选出男、女各2名的不同选法有种. 

（3）男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有种，将这4人安排到四个不同的岗位共有种方法，故共有种安排方法.

24.（10分）一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，

（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？

【答案】（1）115（2）186

【解析】解：（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，

红球4个，取法有1种，

红球3个和白球1个，取法有种；

红球2个和白球2个，取法有种；

根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．

（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.

第一种，4红1白，取法有种；

第二种，3红2白，取法有种，

第三种，2红3白，取法有种，

根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有