2021学年4.4.2 对数函数应用举例精品单元测试一课一练

4.4 对数函数（A卷·基础巩固）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

满分：100分   考试时间：100分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（       ）

A．           B．          C．或  D．不确定

【答案】A

【解析】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为，故选A．

2．已知函数，若图象过点，则的值为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【解析】因为函数的 图象过点，所以，则，所以，，故选B.

3．函数的定义域是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题知：，解得且，所以函数定义域为，故选B.

4．已知，，，则（     ）

A．         B．         C．            D．

【答案】A

【解析】∵在定义域上单调递增，∴，即，故选A.

5．满足的实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由对数函数的真数大于0，得 ， ，因为底数大于1，所以对数函数为增函数

所以 ，综上，所以，所以选B.

6．已知，则函数的值域是（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数在上单调递增，所以，即，所以函数的值域为，故选B.

7．下列函数表达式中，是对数函数的有（       ）

①；②(a∈R)；③；④；⑤；⑥．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】形如（且）的函数为对数函数，故③④为对数函数，所以共有个，故选B.

8．若函数在区间上的最大值比最小值大，则实数（       ）

A． B．2 C． D．4

【答案】A

【解析】因为函数在区间上单调递增，，解得．

故选A．

9．已知函数且，则函数恒过定点（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，解得，，所以函数恒过定点，故选D.

10．已知的图象经过点，则的图象大致为（       ）．

A．    B．    C．   D．

【答案】B

【解析】因为经过，所以，所以，所以幂函数为，显然为奇函数，排除A、C：又因为在时，增长趋势比快速，所以排除D，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．

11．不等式的解集为         .

【答案】

【解析】由题设，可得：，则，∴不等式解集为，故答案为.

12．函数恒过定点            ．

【答案】

【解析】将的图象现左平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到的图象，

因为的图象恒过定点，所以恒过定点，故答案为.

13．函数的定义域为             .

【答案】

【解析】函数有意义需满足，解得，∴函数的定义域为，故答案为.

14．已知函数，则            . 

【答案】

【解析】根据分段函数可得：，，故答案为.

15．若为奇函数，当时，，则          ．

【答案】

【解析】由已知可得，故，故答案为.

16．方程的解是           .

【答案】

【解析】由题意知解得，故答案为.

17．函数和都是上的增函数，则a的取值范围是           .

【答案】

【解析】因为函数和都是上的增函数，所以，解得，所以a的取值范围为，故答案为.

18．若，则的值是           .

【答案】

【解析】由，可得，则，所以，故答案为.

三、解答题：本题共6小题，共46分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

19．（6分）求下列各式中的值：

（1）；   （2）．

【答案】(1) (2)

【解析】解：(1)，.

(2)，.

20．（6分）若，求的值．

【答案】

【解析】解：由已知得，解得：，故，所以的值为．

21．（8分）函数且在上的最大值与最小值之和为，求的值．

【答案】

【解析】解：若，则在上单调递增，则，，则，这与矛盾；若，则在上单调递减，则，，则，符合条件，∴．

22．（8分）已知函数

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性．

【答案】（1）；（2）奇函数.

【解析】解：（1）由得， 函数的定义域为

（2）因为时

函数为奇函数．

23．（8分）已知函数（且）的图像过点.

（1）求a的值；

（2）求不等式的解集．

【答案】(1)  (2)

【解析】解：（1）依题意有，∴.

（2）易知函数在上单调递增，又，∴解得，∴不等式的解集为．

24.（10分）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1．

（1）求的值；

（2）解不等式．

【答案】（1）；（2）.

【解析】解：（1），所以在上为增函数，因为函数在区间上的最大值与最小值之差为1，所以；

（2）因为函数是正实数集上的减函数，所以有：，解得，∴所求不等式的解集为．