高中苏教版 (2019)5.3 函数的单调性课后测评
展开5.3函数的单调性（A）课后练习
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
- 对任意两个不相等的实数a，b，定义在上的函数总有成立，则必有
A. B.
C. 在上是增函数 D. 在上是减函数
- 下列函数在是增函数的是
A. B. C. D.
- 二次函数的最大值或最小值是
A. 最大值1 B. 最小值1 C. 最大值3 D. 最小值3
- 函数在上单调递减，在上单调递增，则
A. 10 B. 14 C. 19 D. 20
- 已知定义在R上的函数是增函数，且，则使得成立的x的取值范围是
A. B. C. D.
- 已知函数满足，且对任意的，有则
A. B.
C. D.
二、多选题
- 若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可以是
A. 2 B. C. 1 D. 0
- 设，都是单调函数，有如下四个命题：
A. 若单调递增，单调递增，则单调递增；
B. 若单调递增，单调递减，则单调递增；
C. 若单调递减，单调递增，则单调递减；
D. 若单调递减，单调递减，则单调递减．
其中正确的是
三、填空题
- 证明函数在上为增函数的步骤如下，请补充完整．
证明：设是区间_____上任意两个实数，且_____，则
________________________________________________
________________________________________________，
由__________，得_______________________________，
于是___________________________________________，
即 ______________________________．
所以，函数在上为增函数．
- 若则的最小值是________．
- 函数在上的最小值为________．
- 若函数在区间上的最大值是1，最小值是则____
- 已知，则的定义域为______的最大值为______．
四、解答题
- 对于定义在R上的增函数，定义对于实数，若，试比较与的大小
- 已知函数，当时，，当时，．
求的解析式；
当时，求的最小值．
- 当时，求的最大值．
- 已知函数．
试判断函数的单调性；
设，试比较与的大小．
5.3函数的单调性（A）课后练习
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
- 对任意两个不相等的实数a，b，定义在上的函数总有成立，则必有
A. B.
C. 在上是增函数 D. 在上是减函数
【答案】C
【分析】
本题考查增函数的定义，根据条件结合增函数的定义即可得出答案，属于基础题．
【解答】
解：对于任意两个不相等的实数a，b，总有成立，
即：若，则，若，则，
根据增函数的定义知在R 上是增函数．
- 下列函数在是增函数的是
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
此题主要考查函数的单调性的判断与证明，此题考查的函数都比较简单，是一道基础题．
根据增函数的定义对A、B、C、D四个选项进行一一判断，
【解答】
解：，图象开口向下，关于y轴对称，当，y为减函数，故A错误；
B.，是减函数，故B错误；
C.，当，为减函数，故C错误；
D.当，为增函数，故D正确．
- 二次函数的最大值或最小值是
A. 最大值1 B. 最小值1 C. 最大值3 D. 最小值3
【答案】C
【分析】
本题考查二次函数的最值，属于基础题利用开口方向和对称轴求解即可．
【解答】
解：因为开口向下，
所以有最大值，
函数的对称轴为，
所以二次函数的最大值为，
- 函数在上单调递减，在上单调递增，则
A. 10 B. 14 C. 19 D. 20
【答案】C
【分析】
本题考查二次函数的单调性，属于基础题．
只需对称轴，求出m的值即可求解的值．
【解答】
解：函数在上单调递减，在上单调递增，
所以对称轴，所以，
所以，所以．
- 已知定义在R上的函数是增函数，且，则使得成立的x的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
本题考查函数的单调性，指数不等式．
根据函数的单调性求解即可．
【解析】
解：因为，且，
所以，
又是定义在R上的增函数，
所以，解得，
- 已知函数满足，且对任意的，有则
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】
由已知可知函数的图象关于对称，在上单调递减，上单调递增，即可判断．
本题主要考查了函数的对称性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用．
【解答】
解：，有，
在上单调递减，
，
函数的图象关于对称，则在上单调递增，
二、多选题
- 若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可以是
A. 2 B. C. 1 D. 0
【答案】AB
【分析】
本题考查一次函数的单调性及其应用，考查一次函数最值问题，属基础题．
根据一次函数单调性可解得最大值和最小值．
【解答】
解：依题意，当时，在处取得最大值，在处取得最小值，所以，即；
当时，在处取得最大值，在处取得最小值，所以，即．
- 设，都是单调函数，有如下四个命题：
A. 若单调递增，单调递增，则单调递增；
B. 若单调递增，单调递减，则单调递增；
C. 若单调递减，单调递增，则单调递减；
D. 若单调递减，单调递减，则单调递减．
其中正确的是
【答案】BC
【分析】
本题主要考查了函数的单调性，属于基础题利用单调性的定义进行解答．
【解答】
解：对于A，举反例：令，则，为减函数，故A不正确；
对于BC，可利用单调函数的定义证得，故BC为真命题；
对于D，举反例，令，，则为增函数，故D不正确．
三、填空题
- 证明函数在上为增函数的步骤如下，请补充完整．
证明：设是区间_____上任意两个实数，且_____，则
________________________________________________
________________________________________________，
由__________，得_______________________________，
于是___________________________________________，
即 ______________________________．
所以，函数在上为增函数．
【答案】
，
．
【分析】
本题考查函数的单调性，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用定义即可求证函数的单调性．
【解答】
解：因为其证明过程是：
设是区间上任意两个实数，且，则
由，，得，
于是，
即．
所以，函数在上为增函数．
- 若则的最小值是________．
【答案】
【分析】
本题主要考查了分段函数的最值问题，属于基础题．
解题关键是分别求各段的最值，然后即可得到结果．
【解答】
解：当时，，即；
当时，
当时，，
综上可得的最小值为；
- 函数在上的最小值为________．
【答案】
【分析】
本题考查函数的最值，属于基础题，
根据题目中给出的x的范围，求出的范围，取倒数后可得函数的值域，则最小值可求．
【解答】
解：因为，所以，
则，
所以函数在上的最小值为．
- 若函数在区间上的最大值是1，最小值是则____
【答案】6
【分析】
本题主要考查了反比例函数单调性与最值问题的运用，考查了分析运用能力，属于基础题．
根据函数在区间上的最大值和最小值均大于零，得到，再根据在上单调递减，
进而得到，即可求解．
【解答】
解：由题意，根据函数在区间上的最大值是1，最小值是，最大值与最小值均大于零，
，
函数在上单调递减，
，解得
，
- 已知，则的定义域为______的最大值为______．
【答案】
【分析】
本题考查函数的定义域和值域的求法，属中档题．
【解答】
解：要使原式有意义，则满足则，
所以定义域为， 又因为， ，
的最大值时6．
四、解答题
- 对于定义在R上的增函数，定义对于实数，若，试比较与的大小
【分析】本题考查了函数的单调性与单调区间，由，则和，所以，，相加即可得出结论．
【解答】解：定义在R上的增函数，
，则，，
，，
．
- 已知函数，当时，，当时，．
求的解析式；
当时，求的最小值．
【分析】本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次不等式的解法，基本不等式，函数的最值，其中根据函数的零点与对应方程根的关键，结合韦达定理，构造关于a，b的方程，进而求出a，b的值，是解答本题的关键．
由已知中函数，当时，，当时，，可得的两根为，2，由韦达定理根与系数的关系我们易求出a，b的值，进而得到函数的解析式；
根据的结论，我们易求出的解析式，结合基本不等式，即可得到其最大值．
【解答】解：由当时，，
当时，得，2是方程的两实根，所以，解得
所以；
，
当且仅当，即取等号，所以的最小值为3．
- 当时，求的最大值．
【分析】本题考查用基本不等式求函数最大值，属于基础题．
对函数进行变形，利用基本不等式即可求该函数的最大值．
【解答】解：，
，
，
当且仅当，即时取等号，
当时，的最大值为8．
- 已知函数．
试判断函数的单调性；
设，试比较与的大小．
【分析】考查一次函数和反比例函数的单调性，增函数的定义，配方法求二次函数的值域．
可看出和在区间上都是增函数，从而可得出在上是增函数；
根据即可判断出，，从而得出，这样根据在上单调递增即可比较出与的大小．
【解答】解：在上是增函数，在上是增函数；
在上是增函数；
；
，；
；
又在为单调增函数；
．
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