数学5.3 函数的单调性综合训练题

5.3函数的单调性（B）课后练习

                   班级：___________姓名：___________得分：___________

一、选择题

1. 已知函数在上不具有单调性，则实数a的取值范围为   

A.  B.  C.  D. 或

2. 函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为

A.  B.  C. 2 D.

3. 已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围是

A.  B.
C.  D.

4. 已知函数在定义域内单调递增，且满足，若，则不等式的解集为 

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数在上单调递减，且对任意的，，总有，则实数t的取值范围为   

A.  B.  C.  D.

6. 定义，若函数，，则的最小值为  

A.  B. 0 C.  D. 2

二、多选题

7. 若函数在上是增函数，则m的取值可以是   

A.  B.  C.  D. 0

8. 下列函数中满足“对任意，都有”的是______

A.   B.  C.  D.

9. 若函数在R上是单调函数，则a的取值可能是

A. 0 B. 1 C.  D. 3

10. 已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是   

A. 函数在R上不具有单调性
B. 当时，在上递减
C. 若的单调递减区间是，则a的值为
D. 若在区间上是减函数，则a的取值范围是

三、填空题

11. 若对任意恒成立，则实数a的取值范围为______．
12. 已知函数，，则的解集是 ______．
13. 函数的最大值为______________
14. 已知函数若且，则与的大小关系是________．
15. 已知函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是________．

四、解答题

16. 已知函数
    用定义证明：在上是增函数
    若时，求的值域．

17. 已知函数

若在为单调增函数，求a的取值范围

若求在上的值域

18. 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间天的函数，且销售量近似地满足前30天价格为，后20天价格为．

写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；

求日销售额S的最大值．

19. 已知函数b是常数，且满足，

求的解析式；

试用定义法证明函数在区间上是增函数．

5.3函数的单调性（B）课后练习

                   班级：___________姓名：___________得分：___________

一、选择题

20. 已知函数在上不具有单调性，则实数a的取值范围为   

A.  B.  C.  D. 或

【答案】C

【分析】
本题考查函数的单调性，分类讨论的思想，属于基础题．
讨论a的范围，根据函数特征，求解即可．
【解答】
解：当时，在R上单调递减，不满足条件；
当时，函数图象的对称轴为，
函数在上不具有单调性，
，
解得．

 

21. 函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为

A.  B.  C. 2 D.

【答案】A

【分析】由绝对值的意义可得的两段解析式，画出的图象，求得和1的值，结合图象即可得到的最大值．
本题考查函数的最值求法，注意运用数形结合思想方法，以及二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
【解答】解：函数，
当时，；
当时，．
作出的图象，
由图象可得时，，解得；
时，，解得，
即有在内的最大值为1，最小值为，
且的最大值为，

 

22. 已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围是

A.  B.
C.  D.

【答案】D

【分析】
本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查恒成立问题，解决恒成立问题一般转化为求函数的最值，本题是中等题．
讨论a的取值：，，，三种情况，求出每种情况下的的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围．
【解答】
解：；
若，则时，在上取得最小值；
，；
；
若，则时，取得最小值，，不满足，即这种情况不存在；
若，最小值为或，
则，
，
解得；
综上，a的取值范围为：，

 

23. 已知函数在定义域内单调递增，且满足，若，则不等式的解集为 

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【分析】

考查抽象函数的单调性问题，属于中档题．
利用赋值法，以及借助函数单调性求a的范围．

【解答】

解：因为，且，

所以令得：，

又因为在单调递增，

所以可整理为：

，

即，

所以

解得：．

24. 已知函数在上单调递减，且对任意的，，总有，则实数t的取值范围为   

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【分析】
本题考查了函数单调性的运用，二次函数性质运用，不等式恒成立问题，考查了分析和转化能力，属于中档题．
先结合函数在上单调递减，可得，进而得到当时，，，然后将不等式：对任意的，，总有，转化为，建立关于t的不等式求解即可．
【解答】
解：因为函数在上单调递减，所以，
所以结合二次函数性质可得当时，，，
又对任意的，，总有，等价于，即，
所以，所以，
又，所以，
所以实数t的取值范围为．

 

25. 定义，若函数，，则的最小值为  

A.  B. 0 C.  D. 2

【答案】C

【分析】
本题考查了函数的新定义问题，函数的图象的应用，函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
作出的函数图象，即可得出其最小值．
【解答】
解：由题意，
可得
即
作出的函数图象如图所示：

由图可知，的最小值为．

 

二、多选题

26. 若函数在上是增函数，则m的取值可以是   

A.  B.  C.  D. 0

【答案】BD

【分析】
本题考查由函数单调性求参数取值范围，属于基础题讨论：当时，符合题意；
当时，若函数在上是增函数，则，解出m即可．
【解答】
解：当时，符合题意；
当时，若函数在上是增函数，则，解得，综上．

 

27. 下列函数中满足“对任意，都有”的是______

A.   B.  C.  D.

【答案】AB

【分析】
本题考查了函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题．
逐个判断在相应区间上的单调性即可．
【解答】
解：由对任意，，都有，
在上为减函数，
对于A，在上为减函数，故A正确，
对于B，在上为减函数，故B正确，
对于C，在上有增有减，故C错误，
对于D，在上不单调，故D错误，

 

28. 若函数在R上是单调函数，则a的取值可能是

A. 0 B. 1 C.  D. 3

【答案】BC

【分析】
本题考查分段函数的单调性问题，属于基础题．
根据分段函数的单调性必须先保证每段函数单调，同时端点处的函数值也存在对应的大小关系来解答即可．
【解答】
解： 当时，为增函数，
所以当时，也为增函数，
所以解得．
故根据题意符合选项的有1，．

 

29. 已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是   

A. 函数在R上不具有单调性
B. 当时，在上递减
C. 若的单调递减区间是，则a的值为
D. 若在区间上是减函数，则a的取值范围是

【答案】BD

【分析】
本题主要考查了二次函数，函数单调性和分类讨论思想，属中档题
对选项ABCD一一进行分析判断即可得．
【解答】
解：当时，，在R上是减函数，A错误
当时，，其单调递减区间是，因此在上单调递减，B正确；
由的单调减区间是，得a的值不存在，C错误：
在D中，当时，在上是减函数，
当时，由得，
所以a的取值范围是，D正确．

 

三、填空题

30. 若对任意恒成立，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【分析】

本题考查了二次函数在区间上的恒成立问题，涉及到分类讨论思想、转化思想，属于中档题．
若对任意恒成立，则函数在上的最小值恒大于等于0，按二次函数的对称轴分类求出最值即可．
【解答】
解：若对任意恒成立，

则函数在上的最小值恒大于等于0，
二次函数的对称轴，
当时，函数在上递减，，无解；
当时，函数在上递增，；
当时，函数在上递减，在上递增，，
综上，实数a的取值范围为：．
 

31. 已知函数，，则的解集是 ______．

【答案】

【分析】
本题考查利用函数单调性求解不等式，属于中档题．
先确定函数单调性再求解．
【解答】
解：
所以在上单调递增，
在上为常数函数，
则，解得，

 

32. 函数的最大值为______________

【答案】4

【分析】
本题主要考查了函数的最值、分段函数以及函数图象的应用，熟练掌握函数的图象是解题的关键，利用图像，数形结合求得作函数的图像，即可求解．
【解答】
解：作函数的图像如图，

显然当时，；

 

33. 已知函数若且，则与的大小关系是________．

【答案】

【分析】根据已知条件便有，，且，所以便可求得，所以便得到
考查作差法比较两个函数值的大小，需要由条件且得到，．
【解答】解：根据题意，，；
；


 

34. 已知函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【分析】
本题考查的是二次函数在闭区间上的最值，属于基础题．
作出的图像即可得到答案．
【解答】
解：函数的图象如下：顶点坐标为，，，
由图可知实数m的取值范围是，

 

四、解答题

35. 已知函数
    用定义证明：在上是增函数
    若时，求的值域．

【分析】本题考查函数单调性，考查求函数的值域，属于较容易题．
用增函数的定义证明即可
，然后根据单调性求解即可．
【解答】解：证明：根据题意，，
设，
则有，
又由，
则有，
故函数在上是增函数；
根据题意，，
分析易得在上，函数为增函数，
则，
又由
则函数的值域为

36. 已知函数

若在为单调增函数，求a的取值范围

若求在上的值域

【分析】本题考查分式函数的单调性和最值问题，属于中档题．
先变形的解析式，借助反比例函数的单调区间即可求解；
借助函数的单调性即可求得函数的最值．
【解答】解：，
因为在为单调增函数，
所以，即，
所以a的取值范围是；
因为，所以，
所以在为单调增函数，
所以的值域为．

37. 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间天的函数，且销售量近似地满足前30天价格为，后20天价格为．

写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；

求日销售额S的最大值．

【分析】本题考查函数模型的应用，解题的关键是建立分段函数模型．
依题意可得到
分段求得每一段的最值，再综合即可．
【解答】解依题意得

即
当，时，，
当时，S取得最大值为．
当，时，为递减函数，
当时，S取得最大值为．
综上知，当时，日销售额S有最大值．

38. 已知函数b是常数，且满足，

求的解析式；

试用定义法证明函数在区间上是增函数．

【分析】本题考查函数解析式的求法和单调性的证明．
考查函数解析式的求法．
考查定义法证明函数的单调性．
【解答】解：根据题意得，  ，  
 解得： ，
所以的解析式为： ．
证明：设且，
则，
又因为且，
 ， ， 
    故 ，
函数在区间上是增函数．