苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质5.3 函数的单调性课时训练

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课时素养评价

二十三　函数的单调性

(15分钟　35分)

1.函数f(x)=在R上 (　　)

A.是减函数   B.是增函数

C.先减后增   D.先增后减

【解析】选B.画出该分段函数的图象,由图象知,该函数在R上是增函数.

【补偿训练】

　　函数f(x)=在 (　　)

A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数

B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数

C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数

D.(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数

【解析】选C.f(x)的定义域为{x|x≠1}.

f(x)==-1=-1,

因为函数y=-在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数,由平移关系得,

f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数.

2.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上 (　　)

A.是增函数   B.是减函数

C.先减后增   D.先增后减

【解析】选C.函数y=x2-6x+10图象的对称轴为直线x=3,此函数在区间(2,3)上是减函数,在区间(3,4)上是增函数.

3.函数y=的减区间是 (　　)

A.(-∞,1),(1,+∞)   B.(-∞,1)∪(1,+∞)

C.{x∈R|x≠1}    D.R

【解析】选A.单调区间不能写成单调集合,也不能超出定义域,故C,D不对,B表达不当.

4.(2020·海淀高一检测)下列函数中,在区间(1,+∞)上是增函数的是(　　)

A.y=-3x-1   B.y=

C.y=x2-4x+5   D.y=|x-1|+2

【解析】选D.由一次函数的性质可知,y=-3x-1在区间(1,+∞)上是减函数,

故A错误;

由反比例函数的性质可知,y=在区间(1,+∞)上是减函数,故B错误,

由二次函数的性质可知,y=x2-4x+5在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,故C错误;

由一次函数的性质及图象的变换可知,y=|x-1|+2在(1,+∞)上是增函数.

5.(2020·淮安高一检测)已知函数f(x)=x|x-4|,则不等式f(2x)≤f(2)的解集为________. 

【解析】因为f(x)=x|x-4|,

所以由f(2x)≤f(2)得,2x|2x-4|≤4,

所以x|x-2|≤1,

所以或,解得x≤+1,

所以f(2x)≤f(2)的解集为{x|x≤+1}.

答案:{x|x≤+1}

6.已知函数f(x)=,证明函数在(-2,+∞)上是增函数.

【证明】设x1,x2是(-2,+∞)上的任意两个值,且x1>x2>-2,

则f(x1)-f(x2)=-

=,

因为x1>x2>-2,

所以x1-x2>0,x1+2>0,x2+2>0,

所以>0,所以f(x1)>f(x2),

所以f(x)在(-2,+∞)上是增函数.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则必有 (　　)

A.f(x)在R上是增函数

B.f(x)在R上是减函数

C.函数f(x)先增后减

D.函数f(x)先减后增

【解析】选A.由>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当a<b时,f(a)<f(b),或当a>b时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上是增函数.

2.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则 (　　)

A.f(a)>f(2a)   B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a)   D.f(a2+1)<f(a)

【解析】选D.对A,B,C三个选项,令a=0就都排除了,对D项,由a2+1-a=

+>0,得a2+1>a,从而f(a2+1)<f(a),故D正确.

3.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)

【解析】选B.已知函数的图象判断其在定义域内的单调性,应从它的图象是上升的还是下降的来考虑.根据函数单调性的定义可知选项B中的函数在定义域内为增函数.

【补偿训练】

　　下列函数y=f(x)的图象中,满足f>f(3)>f(2)的只可能是 (　　)

【解析】选D.因为f>f(3)>f(2),

所以函数y=f(x)有增有减,排除A,B.

在C中,f<f(0),f(3)>f(0),

即f<f(3),排除C.

在D中,由图象知,D正确.

4.(2020·常州高一检测)若f(x)=是R上的单调函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】选D.函数f(x)=-x+3a在(-∞,1)上是减函数,

又f(x)=是R上的单调函数,

所以f(x)=在[1,+∞)上是减函数,即a>0,

并且≤-1+3a,即a≥.

综上所述,a的取值范围为.

【误区警示】解答本题时易只考虑两段上的单调性,忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系,但是忽视了取等号的情况而导致结果错误.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.下列四个函数中,在(-∞,0]上是减函数的是 (　　)

A.f(x)=x2-2x    B.f(x)=2x2

C.f(x)=x+1    D.f(x)=

【解析】选AB.在A中,f(x)=x2-2x的减区间为(-∞,1],故A正确;

在B中,f(x)=2x2的减区间为(-∞,0],故B正确;

在C中,f(x)=x+1在R上是增函数,故C错误;

在D中,f(x)=中,x≠0,故D错误.

6.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论不一定正确的是 (　　)

A.y=在R上为减函数

B.y=|f(x)|在R上为增函数

C.y=-在R上为增函数

D.y=-f(x)在R上为减函数

【解析】选ABC.根据题意,依次分析选项:

对于A,若f(x)=x,则y==,在R上不是减函数,A错误;

对于B,若f(x)=x,则y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,B错误;

对于C,若f(x)=x,则y=-=-,在R上不是增函数,C错误;

对于D,函数f(x)在R上为增函数,则对于任意的x1,x2∈R,设x1<x2,必有f(x1)<f(x2),

对于y=-f(x),则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]=f(x2)-f(x1)>0,

则y=-f(x)在R上为减函数,D正确.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.(2020·南京高一检测)定义区间[a,b]的长度为b-a,已知f(x)=2x+m,x∈[0,m],值域为[a,b],若区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大3,则m=__________. 

【解析】因为f(x)=2x+m在[0,m]上是增函数,所以m≤f(x)≤3m,

由题意可得,a=m,b=3m,区间长度b-a=2m,所以2m=m+3,所以m=3.

答案:3

8.(2020·南通高一检测)设函数f(x)=|x2-1|的定义域和值域都是[a,b](a<b),则a+b=______. 

【解析】作出f(x)的图象如图:

则函数f(x)的值域为[0,+∞),则必有0≤a<b,

①若b≤1,则f(x)在[a,b]上是减函数,

则即

两式作差得b2-a2=b-a,即b+a=1,

由1-a2=b=1-a,

得1+a=1,得a=0,b=1,此时满足条件,

②若0≤a≤1<b,

此时函数的最小值为f(1)=0,即值域为[0,b],

此时a=0,f(b)=b2-1=b,得b2-b-1=0,

解得b=(负值舍去),此时a+b=,

③若1≤a<b,此时函数f(x)=x2-1为增函数,

则满足即a,b是方程f(x)=x的两个根,即x2-x-1=0,

则a+b=1,与a+b>1矛盾.

综上a+b=1或.

答案:1或

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知函数f(x)=

(1)在图中画出函数f(x)的大致图象.

(2)写出函数f(x)的递减区间.

【解析】(1)函数f(x)的大致图象如图所示.

(2)由函数f(x)的图象得出,函数的减区间为[2,4].

10.(2020·辽阳高一检测)已知函数f(x)=mx+,点A(1,5),B(2,4)是f(x)图象上的两点.

(1)求m,n的值.

(2)用定义法证明:f(x)在[2,+∞)上是增函数.

【解析】(1)由题意可得,

解得

(2)由(1)可得,f(x)=x+,

设x1,x2是[2,+∞)上任意两个值,且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=x1-x2+-

=x1-x2+=,

因为2≤x1<x2,

所以<0,即f(x1)<f(x2),

所以f(x)在[2,+∞)上是增函数.

1.已知f(x)是定义在(-∞,0]上的增函数,且f(-2)=3,则满足f(2x-3)<3的x的取值范围是________. 

【解析】由题意知,f(2x-3)<f(-2),因为f(x)在(-∞,0]上是增函数,则2x-3<-2,解得x<.

答案:x<

2.已知函数f(x)=.

(1)判断并证明函数f(x)在(-2,+∞)上的单调性.

(2)若函数f(x)的定义域为(-2,2),且满足f(-2m+3)>f(m2),求m的取值范围.

【解析】(1)f(x)==3+,f(x)在(-2,+∞)上是减函数,

证明如下:设x1,x2是(-2,+∞)上的任意两个值,且x1>x2,

则f(x1)-f(x2)=-

=,

因为x1>x2>-2,

所以x1+2>0,x2+2>0,x2-x1<0,

所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-2,+∞)上是减函数.

(2)由(1)可知,当x∈(-2,2)时,函数f(x)是减函数,

所以由f(-2m+3)>f(m2)得,

解得1<m<,

所以m的取值范围为(1,).

【补偿训练】

　　已知函数f(x)=-x+,其定义域为(0,+∞).

(1)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义证明.

(2)若f(x+1)<f(2x),求x的取值范围.

【解析】(1)是减函数,证明如下:设0<x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=x2-x1+-

=x2-x1+=(x2-x1),

因为0<x1<x2,

所以(x2-x1)>0,所以f(x1)>f(x2),函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.

(2)因为f(x+1)<f(2x),

f(x)在(0,+∞)上是减函数,

所以x+1>2x>0,解得,0<x<1.

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