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苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性同步训练题
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这是一份苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性同步训练题，共15页。试卷主要包含了下列说法中正确的有，已知f=x4,则f，判断下列函数的奇偶性，∴函数f为奇函数等内容，欢迎下载使用。
5.4 函数的奇偶性
必练基础
题组一 函数奇偶性的概念及图象特征
1.对于定义域是R的任意奇函数f(x),下列结论正确的是( )
A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0
2.(多选)下列说法中正确的有 ( )
A.图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B.奇函数的图象一定经过原点
C.若偶函数的图象不经过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数
D.图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数
3.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是 ( )
A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a))
C.(-a,-f(-a)) D.(a, f(-a))
4.(2021江苏南通如东高一上期中)函数f(x)=-4x2+12x4的大致图象是 ( )
题组二 函数奇偶性的判断
5.已知f(x)=x4,则f(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
6.(2021江苏苏州外国语学校高一月考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( )
A.y=x2 B.y=x5+1 C.y=1x D.y=x3
7.若函数f(x)=1,x>0,-1,x<0,则f(x) ( )
A.是偶函数
B.是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
8.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xx-1;
(2)f(x)=x2-1+1-x2;
(3)f(x)=2x2+2xx+1;
(4)f(x)=x(1-x),x<0,x(1+x),x>0.
题组三 函数奇偶性的应用
9.(2021江苏常州第二中学高一月考)已知f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=2x-3,则当x<0时,f(x)= ( )
A.-2x-3 B.2x+3 C.-2x+3 D.2x-3
10.(2021江苏南通海门中学高一月考)若函数f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数,则a= ( )
A.12 B.23 C.34 D.1
11.函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=4x+m,则f -12= ( )
A.1 B.-2 C.-1 D.-32
12.(2021山东寿光一中高一月考)设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是 ( )
A.(2,5) B.(-5,-2)∪(2,5)
C.(-2,0)∪(2,5) D.(-5,0)∪(2,5)
13.(2020江苏南通西亭高级中学高一月考)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,若f(1-a)3
C.-31
选练素养
题组一 函数奇偶性的概念及图象特征
1.(多选)()若f(x)为R上的奇函数,则下列四个说法正确的是 ( )
A.f(x)+f(-x)=0 B.f(x)-f(-x)=2f(x)
C.f(x)·f(-x)<0 D.f(x)f(-x)=-1
2.(2020山东青岛二中高一上期中,)函数f(x)=1-x2x3的图象可能是 ( )
题组二 函数奇偶性的判断
3.()函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域,且对定义域中的任意x,有f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,g(0)=1,则F(x)=2f(x)g(x)-1+f(x) ( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
4.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)下列函数是偶函数的是 ( )
A.f(x)=x3-1x
B.f(x)=1-x2|x-2|-2
C.f(x)=(x-1)1+x1-x
D.f(x)=|2x+5|+|2x-5|
5.(多选)(2021山东省实验中学高一上期中,)设函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足①x∈(-1,0)时, f(x)>0;②f(x)+f(y)=f x+y1+xy,x,y∈(-1,1).下列说法正确的是 ( )
A. f(x)是奇函数
B. f(x)是偶函数
C. f(x)在定义域上是减函数
D. f(x)在定义域上是增函数
题组三 函数奇偶性的综合应用
6.(2020山西大学附属中学校高一月考,)若函数f(x)=x3+2x2+3x,x≥0,x3+ax2+bx,x<0为奇函数,则实数a,b的值分别为 ( )
A.2,3 B.-2,3
C.-2,-3 D.2,-3
7.(2020江苏常州高一期中,)若函数f(x)=(x-3)·(ax-b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2-x)>0的解集为 ( )
A.{x|-25或x<-1}
C.{x|04或x<0}
8.(多选)(2021江苏太仓高级中学高一月考,)已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-1,若f(a)f(-a)=4,则实数a的值可以为 ( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
9.(2020江苏苏州木渎高级中学高一期末,)已知函数f(x+1)是偶函数,当x1,x2∈(1,+∞)时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0恒成立,设a=f-12,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.b
C.1 D.2
11.(多选)(2020江苏如皋第一中学高一期中,)函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)<0,f(1)=13,则下列命题正确的是 ( )
A.f(x)是R上的减函数
B.f(x)在[-6,6]上的最小值为-2
C.f(x)是奇函数
D.若f(x)+f(x-3)≥-1,则实数x的取值范围为[0,+∞)
12.(2020江苏海安高级中学高一期中,)设函数f(x)=-1,-2≤x≤0,x-1,0
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)设a>0,g(x)=f(x)x,x∈(0,a]为减函数,求实数a的取值范围.
14.()设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R,a∈R.
(1)王鹏同学认为,无论a取何值, f(x)都不可能是奇函数,你同意他的观点吗?请说明你的理由;
(2)若f(x)是偶函数,求a的值;
(3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间.
15.(2020江苏扬州中学高一上期中,)已知函数f(x)=x2+2|x-a|-4(其中a为实数).
(1)若a=2,结合图象写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若对任意实数x,不等式f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围.
答案全解全析
5.4 函数的奇偶性
必练基础
1.C 显然A,B不正确.对任意奇函数f(x),有f(-x)=-f(x),则f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,故C正确,D不正确.
2.ACD 由奇、偶函数的图象特征易知A,C,D正确.故选ACD.
3.B ∵y=f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a),
∴点(-a,-f(a))一定在函数y=f(x)的图象上.
4.D 函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)=f(x),所以f(x)=-4x2+12x4是偶函数,故排除A,B,C,故选D.
5.B 函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以f(x)为偶函数.故选B.
6.D y=x2是偶函数,故A错误;
y=x5+1既不是奇函数又不是偶函数,故B错误;
y=1x在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,故C错误;
y=x3既是奇函数又是增函数,故D正确.
故选D.
7.B 作出函数f(x)的图象,如图所示,可以看出该图象关于原点对称,故f(x)为奇函数.
8.解析 (1)f(x)=xx-1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)=xx-1既不是奇函数又不是偶函数.
(2)依题意得x2-1≥0且1-x2≥0,则x2-1=0,解得x=±1.
∴函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,
∴f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(4)易知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x).∴函数f(x)为奇函数.
9.A 当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-2x-3,
又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
所以f(x)=-2x-3(x<0).故选A.
10.A ∵函数f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴-x(-2x+1)(-x-a)=−x(2x+1)(x-a),
∴(-2x+1)(-x-a)=(2x+1)(x-a),
∴(2a-1)x=0,∴a=12.故选A.
11.C 由函数f(x)为定义在R上的奇函数,得f(0)=0,即40+m=0,解得m=-1,
所以f(x)=4x-1(x≥0).
所以f12=412-1=1.
所以f-12=−f12=-1.故选C.
12.B 由题图知,当x∈[0,5]时,不等式f(x)<0的解集是(2,5),
又f(x)为偶函数,所以当x∈[-5,0)时,不等式f(x)<0的解集是(-5,-2),
所以f(x)<0的解集是(-5,-2)∪(2,5).
故选B.
13.A 因为f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且f(1-a)
所以|1-a|<2,解得-1
1.AB ∵f(x)在R上为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故A正确; f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故B正确;当x=0时,f(x)·f(-x)=0,故C不正确;当x=0时,f(x)f(-x)的分母为0,无意义,故D不正确.
2.A 函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)=-1-x2x3=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,C.当x>1时, f(x)<0,当00,故排除D.故选A.
3.B 由已知得g(x)≠1,所以在F(x)中,x≠0.F(-x)=2f(-x)g(-x)-1+f(-x)=-2g(x)f(x)1-g(x)-f(x)=2f(x)+2f(x)[g(x)-1]g(x)-1-f(x)=2f(x)g(x)-1+f(x)=F(x),且定义域关于原点对称,所以F(x)是偶函数.
4.D 在选项A中,f(x)=x3-1x的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 且f(-x)=-x3+1x=-f(x),所以f(x)是奇函数;在选项B中,f(x)=1-x2|x-2|-2=1-x2-x(-1≤x≤1,x≠0),且f(-x)=1-x2x=-f(x),所以f(x)是奇函数;在选项C中,f(x)=(x-1)·1+x1-x的定义域为{x|-1≤x<1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数;在选项D中,f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x∈R),且f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x+5|+|2x-5|=f(x),所以f(x)是偶函数,故选D.
5.AC 令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,
令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,
又因为x∈(-1,1),关于原点对称,
所以f(x)为奇函数,故A正确,B错误;
任取x1,x2∈(-1,1),且x10,1-x2>0,所以1-x1x2>0,
所以x1-x21-x1x2<0,因为x1-x21-x1x2+1=(1+x1)(1-x2)1-x1x2>0,所以x1-x21-x1x2>-1,
所以-1
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,
因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,故C正确,D错误.
故选AC.
6.B ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,
则(-x)3+2(-x)2+3(-x)=-x3-ax2-bx,
即-x3+2x2-3x=-x3-ax2-bx,
∴a=-2,b=3.故选B.
7.B ∵f(x)=(x-3)(ax-b)=ax2-(3a+b)x+3b为偶函数,
∴f(-x)=ax2+(3a+b)x+3b=ax2-(3a+b)x+3b,
∴3a+b=0,即b=-3a,
∴f(x)=(x-3)(ax+3a)=a(x-3)(x+3)=ax2-9a,
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴a>0,
∵f(2-x)=a(-x-1)(5-x)>0,
∴(x+1)(x-5)>0,解得x<-1或x>5,
∴不等式的解集为{x|x<-1或x>5}.故选B.
8.BC 由题意可分两种情况讨论:
①当a>0时,f(a)f(-a)=[f(-a)]2=(-a-1)2=4,解得a=1或a=-3(舍去);
②当a<0时,f(a)f(-a)=[f(a)]2=(a-1)2=4,解得a=-1或a=3(舍去).
综上,a的值为-1或1.故选BC.
9.A 因为x1,x2∈(1,+∞),[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0恒成立,
所以函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
由于函数f(x+1)是偶函数,
所以函数f(x+1)的图象关于y轴对称,
所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以a=f-12=f52.
因为2<52<3,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
所以f(2)
又当x1,x2∈(-∞,0]时,f(x2)-f(x1)x2-x1<0成立,所以函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,所以函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.
因为f(2ax)
当x≠0时,不等式化为|a|<|2x2+1||2x|=x+12x,又|2x2+1||2x|=|x|+12x≥2|x|·12x=2,当且仅当|x|=1|2x|,即|x|=22时,等号成立,所以|a|<2,因此-2
11.BCD 令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即-f(x)=f(-x),易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数,C正确;
任取x1,x2∈R,且x1
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,即f(x1)
易得f(-6)=f(-3)+f(-3)=2f(-3)=-2f(3),f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×13=1,故f(-6)=-2,所以f(x)在[-6,6]上的最小值为-2,B正确;
由f(x)+f(x-3)≥-1,得f(2x-3)≥f(-3),因为函数f(x)是R上的增函数,
所以2x-3≥-3,解得x≥0,故实数x的取值范围为[0,+∞),D正确.
故选BCD.
12.答案 12
解析 ∵函数g(x)=f(x)-ax,x∈[-2,2]为偶函数,
∴g(2)=g(-2),∴f(2)-2a=f(-2)+2a,∴1-2a=-1+2a,∴a=12.
当a=12时,g(x)=f(x)-12x
=-1-12x,x∈[-2,0],12x-1,x∈(0,2].
检验,当x∈(0,2]时,-x∈[-2,0),
g(-x)=-1-12(-x)=-1+12x=g(x),满足g(x)为偶函数.
13.解析 (1)因为f(x)为偶函数,且x∈R,所以f(-x)=f(x),
即(-x)2+|-x-a|=x2+|x-a|,
即|-x-a|=|x-a|,即|-x-a|2=|x-a|2,
所以4ax=0对一切x∈R恒成立,所以a=0.
(2)因为a>0,且x∈(0,a],
所以g(x)=f(x)x=x2+|x-a|x=x2+a-xx=x+ax-1.
在(0,a]上任取x1,x2且满足0
因为0
所以a≥a2,又a>0,所以0
理由如下:
假设f(x)是奇函数,
则由f(a)=a2+3, f(-a)=a2-4|a|+3,
可得f(a)+f(-a)=0,
即a2-2|a|+3=0,
显然a2-2|a|+3=0无实数解,
故f(x)不可能是奇函数.
(2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a),
即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0.
经验证,此时f(x)=x2-2|x|+3是偶函数.
(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,
由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).
15.解析 (1)当a=2时,函数f(x)=x2+2|x-2|-4=x2+2x-8,x≥2,x2-2x,x<2.
画出函数的图象,如图所示,
结合图象可得函数的单调递增区间为(1,+∞).
(2)当a=0时,f(x)为偶函数,当a≠0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.理由如下:
当a=0时,函数f(x)=x2+2|x|-4,
f(-x)=(-x)2+2|-x|-4=x2+2|x|-4=f(x),又因为x∈R,定义域关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数;
当a≠0时,可得f(2)=2|2-a|, f(-2)=2|a+2|,因为f(2)≠f(-2),f(2)≠-f(-2),
所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)对任意实数x,不等式f(x)≥-1恒成立,只需使得f(x)min≥-1成立,
设g(x)=(x+1)2-2a-5,x≥a,h(x)=(x-1)2+2a-5,x
当a<-1时,g(x)min=g(-1)=-2a-5;
当a≥-1时,g(x)min=g(a)=a2-4.
对于h(x)=(x-1)2+2a-5,x
当a≥1时,h(x)min=h(1)=2a-5.
①当a<-1时,a2-4-(-2a-5)=a2+2a+1=(a+1)2≥0,则f(x)min=g(x)min=g(-1)=-2a-5,由-2a-5≥-1,解得a≤-2,满足题意;
②当-1≤a<1时,f(x)min=a2-4,由a2-4≥-1,解得a<-3或a>3,不符合题意;
③当a≥1时,a2-4-(2a-5)=a2-2a+1=(a-1)2≥0,则f(x)min=h(x)min=h(1)=2a-5,由2a-5≥-1,解得a≥2,满足题意.
综上,实数a的取值范围是a≤-2或a≥2.
5.4 函数的奇偶性
必练基础
题组一 函数奇偶性的概念及图象特征
1.对于定义域是R的任意奇函数f(x),下列结论正确的是( )
A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0
2.(多选)下列说法中正确的有 ( )
A.图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B.奇函数的图象一定经过原点
C.若偶函数的图象不经过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数
D.图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数
3.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是 ( )
A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a))
C.(-a,-f(-a)) D.(a, f(-a))
4.(2021江苏南通如东高一上期中)函数f(x)=-4x2+12x4的大致图象是 ( )
题组二 函数奇偶性的判断
5.已知f(x)=x4,则f(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
6.(2021江苏苏州外国语学校高一月考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( )
A.y=x2 B.y=x5+1 C.y=1x D.y=x3
7.若函数f(x)=1,x>0,-1,x<0,则f(x) ( )
A.是偶函数
B.是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
8.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xx-1;
(2)f(x)=x2-1+1-x2;
(3)f(x)=2x2+2xx+1;
(4)f(x)=x(1-x),x<0,x(1+x),x>0.
题组三 函数奇偶性的应用
9.(2021江苏常州第二中学高一月考)已知f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=2x-3,则当x<0时,f(x)= ( )
A.-2x-3 B.2x+3 C.-2x+3 D.2x-3
10.(2021江苏南通海门中学高一月考)若函数f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数,则a= ( )
A.12 B.23 C.34 D.1
11.函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=4x+m,则f -12= ( )
A.1 B.-2 C.-1 D.-32
12.(2021山东寿光一中高一月考)设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是 ( )
A.(2,5) B.(-5,-2)∪(2,5)
C.(-2,0)∪(2,5) D.(-5,0)∪(2,5)
13.(2020江苏南通西亭高级中学高一月考)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,若f(1-a)
C.-3
选练素养
题组一 函数奇偶性的概念及图象特征
1.(多选)()若f(x)为R上的奇函数,则下列四个说法正确的是 ( )
A.f(x)+f(-x)=0 B.f(x)-f(-x)=2f(x)
C.f(x)·f(-x)<0 D.f(x)f(-x)=-1
2.(2020山东青岛二中高一上期中,)函数f(x)=1-x2x3的图象可能是 ( )
题组二 函数奇偶性的判断
3.()函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域,且对定义域中的任意x,有f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,g(0)=1,则F(x)=2f(x)g(x)-1+f(x) ( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
4.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)下列函数是偶函数的是 ( )
A.f(x)=x3-1x
B.f(x)=1-x2|x-2|-2
C.f(x)=(x-1)1+x1-x
D.f(x)=|2x+5|+|2x-5|
5.(多选)(2021山东省实验中学高一上期中,)设函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足①x∈(-1,0)时, f(x)>0;②f(x)+f(y)=f x+y1+xy,x,y∈(-1,1).下列说法正确的是 ( )
A. f(x)是奇函数
B. f(x)是偶函数
C. f(x)在定义域上是减函数
D. f(x)在定义域上是增函数
题组三 函数奇偶性的综合应用
6.(2020山西大学附属中学校高一月考,)若函数f(x)=x3+2x2+3x,x≥0,x3+ax2+bx,x<0为奇函数,则实数a,b的值分别为 ( )
A.2,3 B.-2,3
C.-2,-3 D.2,-3
7.(2020江苏常州高一期中,)若函数f(x)=(x-3)·(ax-b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2-x)>0的解集为 ( )
A.{x|-2
C.{x|0
8.(多选)(2021江苏太仓高级中学高一月考,)已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-1,若f(a)f(-a)=4,则实数a的值可以为 ( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
9.(2020江苏苏州木渎高级中学高一期末,)已知函数f(x+1)是偶函数,当x1,x2∈(1,+∞)时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0恒成立,设a=f-12,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.b
C.1 D.2
11.(多选)(2020江苏如皋第一中学高一期中,)函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)<0,f(1)=13,则下列命题正确的是 ( )
A.f(x)是R上的减函数
B.f(x)在[-6,6]上的最小值为-2
C.f(x)是奇函数
D.若f(x)+f(x-3)≥-1,则实数x的取值范围为[0,+∞)
12.(2020江苏海安高级中学高一期中,)设函数f(x)=-1,-2≤x≤0,x-1,0
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)设a>0,g(x)=f(x)x,x∈(0,a]为减函数,求实数a的取值范围.
14.()设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R,a∈R.
(1)王鹏同学认为,无论a取何值, f(x)都不可能是奇函数,你同意他的观点吗?请说明你的理由;
(2)若f(x)是偶函数,求a的值;
(3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间.
15.(2020江苏扬州中学高一上期中,)已知函数f(x)=x2+2|x-a|-4(其中a为实数).
(1)若a=2,结合图象写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若对任意实数x,不等式f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围.
答案全解全析
5.4 函数的奇偶性
必练基础
1.C 显然A,B不正确.对任意奇函数f(x),有f(-x)=-f(x),则f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,故C正确,D不正确.
2.ACD 由奇、偶函数的图象特征易知A,C,D正确.故选ACD.
3.B ∵y=f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a),
∴点(-a,-f(a))一定在函数y=f(x)的图象上.
4.D 函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)=f(x),所以f(x)=-4x2+12x4是偶函数,故排除A,B,C,故选D.
5.B 函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以f(x)为偶函数.故选B.
6.D y=x2是偶函数,故A错误;
y=x5+1既不是奇函数又不是偶函数,故B错误;
y=1x在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,故C错误;
y=x3既是奇函数又是增函数,故D正确.
故选D.
7.B 作出函数f(x)的图象,如图所示,可以看出该图象关于原点对称,故f(x)为奇函数.
8.解析 (1)f(x)=xx-1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)=xx-1既不是奇函数又不是偶函数.
(2)依题意得x2-1≥0且1-x2≥0,则x2-1=0,解得x=±1.
∴函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,
∴f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(4)易知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x).∴函数f(x)为奇函数.
9.A 当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-2x-3,
又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
所以f(x)=-2x-3(x<0).故选A.
10.A ∵函数f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴-x(-2x+1)(-x-a)=−x(2x+1)(x-a),
∴(-2x+1)(-x-a)=(2x+1)(x-a),
∴(2a-1)x=0,∴a=12.故选A.
11.C 由函数f(x)为定义在R上的奇函数,得f(0)=0,即40+m=0,解得m=-1,
所以f(x)=4x-1(x≥0).
所以f12=412-1=1.
所以f-12=−f12=-1.故选C.
12.B 由题图知,当x∈[0,5]时,不等式f(x)<0的解集是(2,5),
又f(x)为偶函数,所以当x∈[-5,0)时,不等式f(x)<0的解集是(-5,-2),
所以f(x)<0的解集是(-5,-2)∪(2,5).
故选B.
13.A 因为f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且f(1-a)
所以|1-a|<2,解得-1
1.AB ∵f(x)在R上为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故A正确; f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故B正确;当x=0时,f(x)·f(-x)=0,故C不正确;当x=0时,f(x)f(-x)的分母为0,无意义,故D不正确.
2.A 函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)=-1-x2x3=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,C.当x>1时, f(x)<0,当0
3.B 由已知得g(x)≠1,所以在F(x)中,x≠0.F(-x)=2f(-x)g(-x)-1+f(-x)=-2g(x)f(x)1-g(x)-f(x)=2f(x)+2f(x)[g(x)-1]g(x)-1-f(x)=2f(x)g(x)-1+f(x)=F(x),且定义域关于原点对称,所以F(x)是偶函数.
4.D 在选项A中,f(x)=x3-1x的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 且f(-x)=-x3+1x=-f(x),所以f(x)是奇函数;在选项B中,f(x)=1-x2|x-2|-2=1-x2-x(-1≤x≤1,x≠0),且f(-x)=1-x2x=-f(x),所以f(x)是奇函数;在选项C中,f(x)=(x-1)·1+x1-x的定义域为{x|-1≤x<1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数;在选项D中,f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x∈R),且f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x+5|+|2x-5|=f(x),所以f(x)是偶函数,故选D.
5.AC 令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,
令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,
又因为x∈(-1,1),关于原点对称,
所以f(x)为奇函数,故A正确,B错误;
任取x1,x2∈(-1,1),且x1
所以x1-x21-x1x2<0,因为x1-x21-x1x2+1=(1+x1)(1-x2)1-x1x2>0,所以x1-x21-x1x2>-1,
所以-1
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,
因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,故C正确,D错误.
故选AC.
6.B ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,
则(-x)3+2(-x)2+3(-x)=-x3-ax2-bx,
即-x3+2x2-3x=-x3-ax2-bx,
∴a=-2,b=3.故选B.
7.B ∵f(x)=(x-3)(ax-b)=ax2-(3a+b)x+3b为偶函数,
∴f(-x)=ax2+(3a+b)x+3b=ax2-(3a+b)x+3b,
∴3a+b=0,即b=-3a,
∴f(x)=(x-3)(ax+3a)=a(x-3)(x+3)=ax2-9a,
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴a>0,
∵f(2-x)=a(-x-1)(5-x)>0,
∴(x+1)(x-5)>0,解得x<-1或x>5,
∴不等式的解集为{x|x<-1或x>5}.故选B.
8.BC 由题意可分两种情况讨论:
①当a>0时,f(a)f(-a)=[f(-a)]2=(-a-1)2=4,解得a=1或a=-3(舍去);
②当a<0时,f(a)f(-a)=[f(a)]2=(a-1)2=4,解得a=-1或a=3(舍去).
综上,a的值为-1或1.故选BC.
9.A 因为x1,x2∈(1,+∞),[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0恒成立,
所以函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
由于函数f(x+1)是偶函数,
所以函数f(x+1)的图象关于y轴对称,
所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以a=f-12=f52.
因为2<52<3,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
所以f(2)
又当x1,x2∈(-∞,0]时,f(x2)-f(x1)x2-x1<0成立,所以函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,所以函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.
因为f(2ax)
当x≠0时,不等式化为|a|<|2x2+1||2x|=x+12x,又|2x2+1||2x|=|x|+12x≥2|x|·12x=2,当且仅当|x|=1|2x|,即|x|=22时,等号成立,所以|a|<2,因此-2
11.BCD 令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即-f(x)=f(-x),易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数,C正确;
任取x1,x2∈R,且x1
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,即f(x1)
易得f(-6)=f(-3)+f(-3)=2f(-3)=-2f(3),f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×13=1,故f(-6)=-2,所以f(x)在[-6,6]上的最小值为-2,B正确;
由f(x)+f(x-3)≥-1,得f(2x-3)≥f(-3),因为函数f(x)是R上的增函数,
所以2x-3≥-3,解得x≥0,故实数x的取值范围为[0,+∞),D正确.
故选BCD.
12.答案 12
解析 ∵函数g(x)=f(x)-ax,x∈[-2,2]为偶函数,
∴g(2)=g(-2),∴f(2)-2a=f(-2)+2a,∴1-2a=-1+2a,∴a=12.
当a=12时,g(x)=f(x)-12x
=-1-12x,x∈[-2,0],12x-1,x∈(0,2].
检验,当x∈(0,2]时,-x∈[-2,0),
g(-x)=-1-12(-x)=-1+12x=g(x),满足g(x)为偶函数.
13.解析 (1)因为f(x)为偶函数,且x∈R,所以f(-x)=f(x),
即(-x)2+|-x-a|=x2+|x-a|,
即|-x-a|=|x-a|,即|-x-a|2=|x-a|2,
所以4ax=0对一切x∈R恒成立,所以a=0.
(2)因为a>0,且x∈(0,a],
所以g(x)=f(x)x=x2+|x-a|x=x2+a-xx=x+ax-1.
在(0,a]上任取x1,x2且满足0
因为0
所以a≥a2,又a>0,所以0
理由如下:
假设f(x)是奇函数,
则由f(a)=a2+3, f(-a)=a2-4|a|+3,
可得f(a)+f(-a)=0,
即a2-2|a|+3=0,
显然a2-2|a|+3=0无实数解,
故f(x)不可能是奇函数.
(2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a),
即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0.
经验证,此时f(x)=x2-2|x|+3是偶函数.
(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,
由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).
15.解析 (1)当a=2时,函数f(x)=x2+2|x-2|-4=x2+2x-8,x≥2,x2-2x,x<2.
画出函数的图象,如图所示,
结合图象可得函数的单调递增区间为(1,+∞).
(2)当a=0时,f(x)为偶函数,当a≠0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.理由如下:
当a=0时,函数f(x)=x2+2|x|-4,
f(-x)=(-x)2+2|-x|-4=x2+2|x|-4=f(x),又因为x∈R,定义域关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数;
当a≠0时,可得f(2)=2|2-a|, f(-2)=2|a+2|,因为f(2)≠f(-2),f(2)≠-f(-2),
所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)对任意实数x,不等式f(x)≥-1恒成立,只需使得f(x)min≥-1成立,
设g(x)=(x+1)2-2a-5,x≥a,h(x)=(x-1)2+2a-5,x
当a<-1时,g(x)min=g(-1)=-2a-5;
当a≥-1时,g(x)min=g(a)=a2-4.
对于h(x)=(x-1)2+2a-5,x
当a≥1时,h(x)min=h(1)=2a-5.
①当a<-1时,a2-4-(-2a-5)=a2+2a+1=(a+1)2≥0,则f(x)min=g(x)min=g(-1)=-2a-5,由-2a-5≥-1,解得a≤-2,满足题意;
②当-1≤a<1时,f(x)min=a2-4,由a2-4≥-1,解得a<-3或a>3,不符合题意;
③当a≥1时,a2-4-(2a-5)=a2-2a+1=(a-1)2≥0,则f(x)min=h(x)min=h(1)=2a-5,由2a-5≥-1,解得a≥2,满足题意.
综上,实数a的取值范围是a≤-2或a≥2.
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