苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质5.4 函数的奇偶性达标测试

课时分层作业(二十三)　函数的奇偶性

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)

A．y＝x3   B．y＝|x|＋1

C．y＝－x2＋1   D．y＝－

B　[对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－不是偶函数．]

2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)

A．偶函数

B．奇函数

C．既是奇函数也是偶函数

D．非奇非偶函数

A　[F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．

又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．]

3．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调增区间为(　　)

A．[1，＋∞)   B．[－1,0]

C．[－1，＋∞)   D．[－1,0]和[1，＋∞)

D　[偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1,0]和[1，＋∞)．]

4．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)

A．－   B．－1 

C．   D．1

C　[函数f(x)的定义域为．

又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝．]

5．已知偶函数f(x)在区间 [0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f(1)的x取值范围是(　　)

A．(－1,0)   B．(0,1)

C．(1,2)   D．(－1,1)

B　[首先函数定义域是R，再者根据f(2x－1)<f(1)和偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，可得|2x－1|<1，解得0<x<1，故选B．]

二、填空题

6．函数f(x)在R上为奇函数，且f(x)＝＋1，x>0，则当x<0时，f(x)＝　　　　．

－－1　[当x<0，即－x>0时，f(－x)＝＋1．

∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即

－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1，(x<0)．]

7．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝　　　　．

1　[∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，

∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1．

∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．

∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1．

∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1．]

8．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x，则f的值为　　　　．

ln 2　[由已知可得f＝ln ＝－2，

所以f＝f(－2)．

又因为f(x)是偶函数，

所以f＝f(－2)＝f(2)＝ln 2．]

三、解答题

9．判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝3，x∈R；

(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；

(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；

(4)f(x)＝

(5)f(x)＝ln(－x)．

[解]　(1)∵f(－x)＝3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(3)∵f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，

∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；

当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，∴f(－x)＝－f(x)；

当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0．

综上，对任意x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为R上的奇函数．

(5)因为对于任意x∈R，－x>|x|－x≥0，所以函数f(x)的定义域为R，

又f(－x)＝lg(＋x)＝ln

＝－lg(－x)＝－f(x)，

所以函数f(x)是奇函数．

10．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．

[解]　由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，

可知f(x)在(0，＋∞)上递减．

∵2a2＋a＋1＝2＋>0，

2a2－2a＋3＝2＋>0，

且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，

∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，

即3a－2>0，解得a>．

1．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a为(　　)

A．－1   B．2

C．－1或2   D．不存在

A　[假设a≥0，则f(a)＝a(a＋1)＝－2，即a2＋a＋2＝0，方程无解，所以a≥0不成立，因此a<0，则－a>0，所以f(－a)＝－a(－a＋1)，由奇函数f(－a)＝－f(a)，即f(－a)＝a2－a＝2，解得a＝－1或a＝2(舍)．]

2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(1)＝0，则不等式≥0的解集为(　　)

A．(－∞，－1]∪(0,1]

B．[－1,0]∪[1，＋∞)

C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D．[－1,0)∪(0,1]

C　[由奇函数的定义可知不等式≥0即≥0，则≤0，

结合奇函数的性质绘制函数f(x)的大致图象如图所示，原不等式等价于：

 或 ，

结合函数图象可得不等式的解集分别为(－∞，－1]和[1，＋∞)，

综上可得，不等式≥0的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．选C．]

3．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是　　　　．

0　[由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0．]

4．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2，则奇函数f(x)的值域是　　　　．

{－2,0,2 }　[奇函数的图象关于原点对称，所以当x<0时，f(x)＝－2，又定义域为R，所以f(0)＝0，因此函数的值域为{－2,0,2 }．]

5．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2．若当x∈[1,3]时，n≤f(x)≤m恒成立，求m－n的最小值．

[解]　当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2＝－，

∴当x∈[－3，－1]时，f(x)min＝f＝－，f(x)max＝f(－3)＝2．

又∵函数为奇函数，∴函数在x∈[1,3]时的最小值和最大值分别是－2，，∴m的最小值为，n的最大值为－2，∴(m－n)min＝－(－2)＝，即m－n的最小值为．