2023威海乳山银滩高级中学高三上学期10月第二次月考数学试题含解析

2022-2023学年度高三数学阶段性检测

第I卷（选择题）

一、单选题

1. 设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤2}，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设函数，则不等式解集是（    ）

A. 或 B.

C.  D. 或

3. 若，则的值为（    ）

A. 3 B.  C. －3 D.

4. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：）

A. 72 B. 74 C. 76 D. 78

5. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数， 则的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数．则关于说法错误的是(    )

A. 图象向右平移个单位长度后所得的函数为

B. 的图象与的图象关于y轴对称

C. 的单调递减区间为

D. 在上有3个零点，则实数a的取值范围是

8. 已知函数，对任意实数，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A  B.  C.  D.

二、多选题

9. 已知是定义在上的函数的导数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 关于函数，下列描述正确的有（    ）

A. 在区间上单调递增 B.  的图象关于直线对称

C. 若则 D. 有且仅有两个零点

11. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）．

A. 该函数的解析式为

B. 该函数图象的对称中心为，

C. 该函数的单调递增区间是，

D. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象

12. 已知函数以下结论正确的是（    ）

A. 在区间上是增函数

B.

C. 若函数在上有6个零点，则

D. 若方程恰有3个实根，则

第II卷（非选择题）

三、填空题

13. 已知角的终边经过点，则___________.

14. 已知函数对满足，且，若的图像关于对称，，则_________.

15. 已知函数（且）的图像过定点P，且角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则等于___________.

16. 已知函数 ，若函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.

四、解答题

17. 在中，角的对边分别为.

（1）求的大小；

（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线长.

条件①：；条件②：；条件③：.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.

18. 已知函数，曲线在点处切线方程为．

（1）求的值；

（2）讨论的单调性，并求的极大值．

19. 已知函数．

（1）求其最小正周期；

（2）求函数图象的对称中心；

（3）讨论函数在上的单调性．

20. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．

（1）求的值；

（2）若，求的面积．

21. 已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

22. 已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

2022-2023学年度高三数学阶段性检测

第I卷（选择题）

一、单选题

1. 设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤2}，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出．

【详解】集合，集合，

∴．

故选：D．

2. 设函数，则不等式的解集是（    ）

A 或 B.

C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】利用解析式先算出，然后分和两种情况讨论，算出对应的范围，即可得到答案

【详解】解：由函数的解析式可得，

当时，不等式即，即，解得，此时；

当时，不等式即，解得，此时；

综上可得，的取值范围是或，

故选：.

3. 若，则的值为（    ）

A. 3 B.  C. －3 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据凑角的思路可得，再用正切的两角和公式求解即可.

【详解】,

故选：A.

4. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：）

A. 72 B. 74 C. 76 D. 78

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．

【详解】由于，所以，

依题意，则，

则，

由，

所以，即，

所以所需的训练迭代轮数至少为74次．

故选：B

5. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，对变形可得，则函数是周期为的周期函数，据此可得，，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案．

【详解】根据题意，函数满足任意的都有，则，

则函数是周期为的周期函数.

故，

又由函数是定义在上的奇函数，则，

时，，则，

则；

故；

故选：A．

6. 已知函数， 则的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出给定函数的导数并探讨其单调性，再利用单调性比较大小作答.

【详解】函数定义域为R，求导得，

因此函数在R上单调递减，而，则有，

所以的大小关系是，A正确.

故选：A

7. 已知函数．则关于说法错误的是(    )

A. 的图象向右平移个单位长度后所得的函数为

B. 的图象与的图象关于y轴对称

C. 的单调递减区间为

D. 在上有3个零点，则实数a的取值范围是

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式.根据图象平移对解析式的影响即可判断A，根据正弦函数对称性即可判断B，根据正弦函数单调性即可判断C，根据正弦函数图象的性质可判断D．

【详解】﹒

对于选项A，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，∴选项A正确；

对于选项B，∵，

∴与图象关于y轴对称，∴选项B正确；

对于C，由得，

即的单调递减区间为，∴选项C正确；

对于D，如图为的图象，

由图可知，在上有3个零点，则，解得，

∴选项D错误．

故选：D．

8. 已知函数，对任意的实数，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】不妨设，则由题意可得，令，则在上单调递增，所以在上恒成立，再次转化为．在上恒成立，令，利用导数求出其最大值即可.

【详解】不妨设，由，得，

即，

令，所以对任意的实数时，都有，

即在上单调递增，所以在上恒成立，

即．在上恒成立．

令．则，

令，解得，令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，

即实数a的取值范围是．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是设，然后将原不等式化为，令，将问题转化为在上单调递增，即可得在上恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.

二、多选题

9. 已知是定义在上的函数的导数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】构造函数，由的导数判断单调性后比较

【详解】设，则.

因为，所以，则在上单调递增.

因为，所以，即，所以，则A正确；

因为，的大小不能确定，所以，的大小不能确定，则B错误；

因为，所以，则，所以，则C正确；

因为，的大小不能确定，所以，不能确定，则D错误.

故选：AC

10. 关于函数，下列描述正确的有（    ）

A. 在区间上单调递增 B.  的图象关于直线对称

C. 若则 D. 有且仅有两个零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】作出函数的图象，由图象观察性质判断各选项．

【详解】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，

再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，

最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，

由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；

，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，

如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，

与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．

故选：ABD．

11. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）．

A. 该函数的解析式为

B. 该函数图象的对称中心为，

C. 该函数的单调递增区间是，

D. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据图象可得函数的解析式，然后根据三角函数的性质及图象变换规律逐项分析即得.

【详解】由题图可知，，周期，

所以，则，

因为当时，，即，

所以，，即，，

又，故，从而，故A正确；

令，，得，，故B错误；

令，，

得，，故C正确；

函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，

可得到，故D正确．

故选：ACD.

12. 已知函数以下结论正确的是（    ）

A. 在区间上是增函数

B.

C. 若函数在上有6个零点，则

D. 若方程恰有3个实根，则

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项：根据解析式画出函数图象即可判断单调性；B选项：根据的解析式代入即可求函数值；C选项：根据图象的对称性即可求；D选项：把方程的根的个数转化成函数和图象交点的个数，再根据图象求解即可.

【详解】

的图象如上图所示，

A选项：由图可知在区间上不单调，故A错；

B选项：，，所以，故B正确；

C选项：在上有六个零点，即与在有六个交点，如图所示，和关于轴对称，所以，和关于对称，所以，所以 ，故C正确；

D选项：方程有3个实数根，即的图象和的图象有3个交点，当时，由图可知与有两个交点，此时要想有3个交点，只需要与的图象有一个交点即可，即相切，由题可知的解析式为，联立，得，则，所以或5(舍去)，所以D错.

故选：BC.

第II卷（非选择题）

三、填空题

13. 已知角的终边经过点，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用三角函数定义求出，再利用二倍角公式化简，结合齐次式法计算作答.

【详解】因角的终边经过点，则，

所以.

故答案：

14. 已知函数对满足，且，若的图像关于对称，，则_________.

【答案】2

【解析】

【分析】根据条件可得，函数是周期为的偶函数，即可得到

，从而得到结果.

【详解】因为的图像关于对称，所以的图像关于对称，

即是偶函数.

对于，令，可得，又，所以，则.所以函数对满足.所以.

所以，即是周期为4的周期函数.

所以.

故答案为:

15. 已知函数（且）的图像过定点P，且角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则等于___________.

【答案】

【解析】

【分析】由指数函数性质求定点P的坐标，再根据三角函数定义得，最后应用诱导公式、三角恒等变换化简求值即可.

【详解】由题设知：过定点，故，

所以.

故答案为：

16. 已知函数 ，若函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】数形结合，分析与的交点个数为3时实数的取值范围即可.

【详解】由题意，函数有三个零点即有三个解，即与的交点个数为3.

作出与的图象，易得当时不成立，故.

当时与必有一个交点，则当有2个交点.

当时，因为恒过定点，此时与或有2个交点.

①当与有2个交点时，考虑临界条件，当与相切时，.

设切点，则，解得，此时切点，；

又最高点，故此时.

故.

②当与有2个交点时，考虑临界条件，当与相切时，，即，此时，即，解得，由图可得，故.

此时

综上

故答案为：.

四、解答题

17. 在中，角的对边分别为.

（1）求的大小；

（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.

条件①：；条件②：；条件③：.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.

【答案】（1）.   

（2）条件①：；条件③：.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可.

（2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得不满足条件，条件①：根据，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可.

【小问1详解】

在中因为，

由正弦定理得，

所以，即，

又因为，，所以，.

【小问2详解】

设边上的高为，

条件①：因为，所以 ，，

所以，根据三角形全等（角角边）可知存在且唯一确定.

所以，

则，解得，即边上的高为.

条件②：由余弦定理得，即，

解得，此时满足条件的三角形有两个，条件②不符合题意.

条件③：根据三角形全等（边角边）可得存在且唯一确定，

由余弦定理得，即，解得，

则，解得，即边上的高为.

18. 已知函数，曲线在点处切线方程为．

（1）求的值；

（2）讨论的单调性，并求的极大值．

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得，的值；（2）利用导数的正负，可得的单调性，从而可求的极大值．

试题解析：（1）．

由已知得，．

故，．

从而，．

（2）由（1）知，，

．

令得，或．

从而当时，；

当时，．

故在，上单调递增，在上单调递减．

当时，函数取得极大值，极大值为．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．

19. 已知函数．

（1）求其最小正周期；

（2）求函数图象的对称中心；

（3）讨论函数在上的单调性．

【答案】（1）   

（2），   

（3）单调递增区间为，单调递减区间为

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；

（2）（3）根据正弦函数的性质计算可得.

【小问1详解】

解：

，

即，所以函数的最小正周期；

【小问2详解】

解：令，，解得，，

所以函数的对称中心为，；

【小问3详解】

解：由，所以，

令，解得，所以函数在上单调递增，

令，解得，所以函数在上单调递减；

所以函数在上的单调递增区间为，单调递减区间为.

20. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．

（1）求的值；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）   

（2）8

【解析】

【分析】（1）由条件可得，然后化简变形可得答案；

（2）首先得到的值，然后由（1）可得，然后由余弦定理算出的值，然后可得答案.

【小问1详解】

由已知及正弦定理得，

，，即．

，，即，

【小问2详解】

，

由（1）可得，

根据余弦定理可得，，

．

21. 已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由导数法，对a分类讨论即可讨论单调性；

（2）由导数法讨论最小值得，则原命题等价于，由（1）结论对a分类讨论即可

【小问1详解】

的定义域为，

当时，，此时的增区间为，减区间为；

当时，，无单调性；

当时，，的增区间为，减区间为．

【小问2详解】

．设，

当时，，

是增函数，

当时，，，

由（1）知，当时，；

当时，；

当时，不恒成立.

综上可得．

22. 已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）对求导，然后分和两种情况讨论即可；

（2）利用分离参数的思路将原不等式转化成，然后求出的最小值即可.

【小问1详解】

函数的定义域为，

所以.

当时，，所以在上单调递增；

当时，令得，令得，

所以在上单调递减：在上单调递增.

综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

【小问2详解】

因为对恒成立，

即对恒成立.

设，其中，

所以，，

设，其中，则，

所以，函数在上单调递增.

因为，，

所以，存在，使得，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以.

因为，则，

设，其中，则，

所以函数在上为增函数，

因为，则，则，

由可得，所以，

所以，可得，

所以，所以.

所以实数a的取值范围为.

【点睛】解决恒成立问题，通常情况下有两个思路，一是直接求导，对参数讨论确定单调性，进而求出最值，解决问题；一是参变分离，进而构造新的函数，求导得出最值，使问题得以解决.