广东省佛山市顺德区东逸湾实验学校2022-2023学年上学期九年级第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份广东省佛山市顺德区东逸湾实验学校2022-2023学年上学期九年级第一次月考数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省佛山市顺德区东逸湾中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．如图，对这个几何图形判断正确的是（　　）

A．它的底面是矩形 B．它的侧面是三角形
C．它的底面是三角形 D．它是锥体
2．将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，则这枚硬币两次正面都向上的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．△ABC与△A'B'C′是相似图形，且△ABC与△A'B'C′的相似比是1：2，则△ABC与△A'B'C′的面积比是（　　）
A．1：2 B．1： C．1：4 D．2：1
4．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AB＝2，∠ACB＝30°，则对角线AC的长为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．2
5．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝0 B．（x﹣1）2＝1 C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2＝5
6．若＝＝，且3a﹣2b+c＝3，则2a+4b﹣3c的值是（　　）
A．14 B．42 C．7 D．
7．为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为20平方米提高到28.8平方米，若每年的年增长率相同，设年增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　）
A．28.8（1+x）2＝20 B．20（1+x）2＝28.8
C．20（1+2x）＝28.8 D．（1+2x）2＝28.8
8．下列判断不正确的是（　　）
A．四个角相等的四边形是矩形
B．对角线垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线垂直的平行四边形是菱形
9．如图，AB∥DC，AD与BC的交点为M，过点M作MH∥AB交BD于H．已知AB＝3，MH＝2，则△ABM与△MCD的面积之比为（　　）

A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9
10．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM、AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K，则下列结论：
①△ANH≌△GNF；
②∠AFN＝HFG；
③FN＝2NK；
④S△AFN：S△ADM＝1：4．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．方程x2＝4x的实数解是 　 　．
12．在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．则据此估计盒子中共有 　 　个球．
13．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、E、B点，直线CD分别交l1、l2、l3于C、F、D三点，且AE＝2，BE＝4，则的值为 　 　．

14．如图线段AB＝20cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PA的长为　 　cm．（结果保留根号）

15．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　．
16．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 　 　．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长．

19．已知，如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，并求点C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积（单位：平方单位）．

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
20．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级
频数
A
24
B
10
C
x
D
2
合计
y
（1）x＝　 　，y＝　 　，扇形图中表示C的圆心角的度数为　 　度；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．

21．“顺峰”在2021年“十一”长假期间，接待游客达2万人次，预计在2023年“十一”长假期间，接待游客2.88万人次，在顺峰，一家特色小面店希望在“十一”长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
22．如图，在▱ABCD中，AB＝BC，点E是BC的中点，且EF∥AB，AE、BP交于点O，连接EF，OC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求△OEC的面积．

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是 　 　；（填序号）
①3x2+4x+5＝0；②5x2+13x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2+2，求c的值．
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．

24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC点D，BC＝10cm，AD＝8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）用t在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积是10cm2，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．如图，对这个几何图形判断正确的是（　　）

A．它的底面是矩形 B．它的侧面是三角形
C．它的底面是三角形 D．它是锥体
【分析】应用三棱柱的特征进行判定即可得出答案．
解：根据题意可得，这个几何体是三棱柱，
所以它的底面是三角形，侧面是矩形．
故选：C．
2．将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，则这枚硬币两次正面都向上的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和这枚硬币两次正面都向上的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：根据题意画图如下：

共有4种等情况数，这枚硬币两次正面都向上的有1种，
则这枚硬币两次正面都向上的概率为，
故选：D．
3．△ABC与△A'B'C′是相似图形，且△ABC与△A'B'C′的相似比是1：2，则△ABC与△A'B'C′的面积比是（　　）
A．1：2 B．1： C．1：4 D．2：1
【分析】由△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′面积比是：1：4．
故选：C．
4．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AB＝2，∠ACB＝30°，则对角线AC的长为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．2
【分析】由矩形的性质得出OA＝OB＝AC，再证明△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝2，即可得出AC＝2OA＝4．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
∴AC＝2OA＝4；
故选：B．
5．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝0 B．（x﹣1）2＝1 C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2＝5
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方可得．
解：∵x2﹣2x＝1，
∴x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，
故选：C．
6．若＝＝，且3a﹣2b+c＝3，则2a+4b﹣3c的值是（　　）
A．14 B．42 C．7 D．
【分析】根据比例的基本性质，把比例式转换为等积式后，能用其中一个字母表示另一个字母，达到约分的目的即可．
解：设a＝5k，则b＝7k，c＝8k，
又3a﹣2b+c＝3，则15k﹣14k+8k＝3，
得k＝，
即a＝，b＝，c＝，
所以2a+4b﹣3c＝．故选D．
7．为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为20平方米提高到28.8平方米，若每年的年增长率相同，设年增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　）
A．28.8（1+x）2＝20 B．20（1+x）2＝28.8
C．20（1+2x）＝28.8 D．（1+2x）2＝28.8
【分析】设每年的增长率为x，则可以根据“住房面积由现在的人均约为20m2提高到28.8m2”作为等量关系即可列出得到方程．
解：设每年的增长率为x，
根据题意得20（1+x）2＝28.8，
故选：B．
8．下列判断不正确的是（　　）
A．四个角相等的四边形是矩形
B．对角线垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线垂直的平行四边形是菱形
【分析】分别利用矩形、菱形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、四个角相等的四边形是矩形，正确；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确．
故选：B．
9．如图，AB∥DC，AD与BC的交点为M，过点M作MH∥AB交BD于H．已知AB＝3，MH＝2，则△ABM与△MCD的面积之比为（　　）

A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9
【分析】根据AB∥DC，可得△ABM∽△MCD，根据MH∥AB，可得＝＝，所以＝，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论．
解：∵AB∥DC，
∴△ABM∽△MCD，
∴＝（）2
∵MH∥AB，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
则△ABM与△MCD的面积之比为：1：4．
故选：B．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM、AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K，则下列结论：
①△ANH≌△GNF；
②∠AFN＝HFG；
③FN＝2NK；
④S△AFN：S△ADM＝1：4．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由正方形的性质得到FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，求得∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，根据全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
②根据全等三角形的性质得到∠AHN＝∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②错误；
③根据全等三角形的性质得到AN＝AG＝1，根据相似三角形的性质得到∠AHN＝∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK＝∠AMG，根据直角三角形的性质得到FN＝2NK；故③正确；
④根据矩形的性质得到DM＝AG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，
∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，
∴AD＝4，AH＝2，
∠BAD＝90°，
∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，
∵∠ANH＝∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
∴∠AHN＝∠HFG，
∵AG＝FG＝2＝AH，
∴AF＝FG＝AH，
∴∠AFH≠∠AHF，
∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；
∵△ANH≌△GNF，
∴AN＝AG＝1，
∵GM＝BC＝4，
∴＝＝2，
∵∠HAN＝∠AGM＝90°，
∴△△AHN∽△GMA，
∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA，
∴AK＝NK，
∵AD∥GM，
∴∠HAK＝∠AMG，
∴∠AHK＝∠HAK，
∴AK＝HK，
∴AK＝HK＝NK，
∵FN＝HN，
∴FN＝2NK；故③正确；
方法二：可得N也是中点，结合已知H是中点，连接GD交AM于点P，则根据勾股定理GD＝2 ，
∵点P为对称中心，
∴GP＝，
又∵NK也是△AGP的中位线，
∴NK＝，
在Rt△FGN中，FN＝，
∴FN＝2NK，故③正确．
∵延长FG交DC于M，
∴四边形ADMG是矩形，
∴DM＝AG＝2，
∵S△AFN＝AN•FG＝×2×1＝1，
S△ADM＝AD•DM＝×4×2＝4，
∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确，
故选：C．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．方程x2＝4x的实数解是 　x1＝0，x2＝4　．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
解：x2＝4x，
x2﹣4x＝0，
分解因式得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4．
故答案为：x1＝0，x2＝4．
12．在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．则据此估计盒子中共有 　20　个球．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：设袋中白球有x个，
根据题意，得：＝0.2，
解得x＝20，
经检验x＝20是分式方程的解，
所以估计盒子中大约有白球20个，
故答案为：20．
13．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、E、B点，直线CD分别交l1、l2、l3于C、F、D三点，且AE＝2，BE＝4，则的值为 　　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AE＝2，BE＝4，
∴＝＝，
故答案为：．
14．如图线段AB＝20cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PA的长为　（10﹣10）　cm．（结果保留根号）

【分析】直接运用黄金分割的比值进行计算即可．
解：∵线段AB＝20cm，点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），
∴PA＝AB＝×20＝10﹣10（cm），
故答案为：（10﹣10）．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　4　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，然后解一次方程即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，
解得k＝4．
故答案为4．
16．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 　6cm　．

【分析】过D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，则DE＝DF＝3cm，由含30°角的直角三角形的性质得CD＝2DE＝6cm，再证四边形ABCD是平行四边形，然后证平行四边形ABCD是菱形，得BC＝AD＝CD＝6cm，进而证△P′BP是等边三角形，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得点P到A，B，C三点距离之和的最小值．
解：如图，过D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，
则DE＝DF＝3cm，
∵∠α＝30°，
∴CD＝2DE＝6cm，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC•DE＝AB•DF，
∵DE＝DF，
∴BC＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝CD＝6cm，
由旋转的性质得：A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，
∴△P′BP是等边三角形，
∴BP＝PP'，
∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，
根据两点间线段距离最短可知，当PA+PB+PC＝A'C时最短，
连接A'C，与BD的交点即为到A，B，C三点距离之和的最小的P点，
则点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．
∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，
∴∠A′BC＝90°，
∴A′C＝＝＝6（cm），
因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6cm，
故答案为：6cm．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
18．如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长．

【分析】可证明△ACD∽△ABC，则＝，即得出AC2＝AD•AB，从而得出AC的长．
解：在△ABC和△ACD中，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴＝．
即AC2＝AD•AB＝AD•（AD+BD）＝2×6＝12，
∴AC＝2．
19．已知，如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，并求点C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积（单位：平方单位）．

【分析】（1）利用位似变换的性质作出A，C的对应点A1，C1即可；
（2）把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求．
点C1的坐标是（1，0）；


（2）＝．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
20．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级
频数
A
24
B
10
C
x
D
2
合计
y
（1）x＝　4　，y＝　40　，扇形图中表示C的圆心角的度数为　36　度；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．

【分析】（1）随机抽取男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；扇形图中表示C的圆心角的度数360°×＝36°；
（2）先画树状图，然后求得P（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝．
【解答】（1）随机抽取男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；
C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；
扇形图中表示C的圆心角的度数360°×＝36°．
故答案为4，40，36；
（2）画树状图如下：

P（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝．
21．“顺峰”在2021年“十一”长假期间，接待游客达2万人次，预计在2023年“十一”长假期间，接待游客2.88万人次，在顺峰，一家特色小面店希望在“十一”长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
【分析】（1）设2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为x，利用2023年“十一”长假期间游客人次＝2021年“十一”长假期间游客人次×（1+2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每碗售价定为y元，则平均每天可销售（240﹣8y）碗，利用净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：（1）设2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为20%．
（2）设每碗售价定为y元，则平均每天可销售120﹣8（y﹣15）＝（240﹣8y）碗，
依题意得：（240﹣8y）y﹣10（240﹣8y）﹣168＝600，
整理得：y2﹣40y+396＝0，
解得：y1＝18，y2＝22（不符合题意，舍去）．
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天净利润600元．
22．如图，在▱ABCD中，AB＝BC，点E是BC的中点，且EF∥AB，AE、BP交于点O，连接EF，OC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求△OEC的面积．

【分析】（1）根据两组对边分别平行可得四边形ABEF是平行四边形，再根据AB＝BE，即可证明四边形ABEF是菱形；
（2）过点O作OG⊥BC于点G，根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质得OG的长度，再根据三角形的面积公式可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝BC，点E是BC的中点，
∴AB＝，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：如图，过点O作OG⊥BC于点G，

由（1）知，AB＝BE＝CE，
∵四边形ABEF是菱形，
∴∠ABE＝60°，
∴AB＝BE＝CE＝，∠OBE＝30°，∠BOE＝90°，
∴OE＝，∠OEB＝60°，
∴GE＝，
∴OG＝，
∴S＝2．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是 　②　；（填序号）
①3x2+4x+5＝0；②5x2+13x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2+2，求c的值．
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．

【分析】（1）根据a，b，c是Rt△ABC的三边长，由“直系一元二次方程”的定义可得出答案；
（2）将x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0得：a+b＝c，根据a+b+c＝2+2可得出答案；
（3）计算Δ＝（ c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab，根据a2+b2＝c2，代入得Δ＝2a2+2b2﹣4ab＝2（a2﹣2ab+b2）＝2（a﹣b）2即可．
解：（1）∵52+122＝132，
∴5x2+13x+12＝0是“直系一元二次方程”．
故答案为②；
（2）∵x＝﹣1是方程的一个根，
∴a﹣c+b＝0，
∴a+b＝c，
∵△ABC的周长为2+2，
∴a+b+c＝2+2，
∴c+c＝2+2，
∴c＝2．
（3）证明：由Δ＝﹣4ab，
又∵c2＝a2+b2，
∴Δ＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴该一元二次方程必有实数根；
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC点D，BC＝10cm，AD＝8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）用t在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积是10cm2，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由AB＝AC，得∠B＝∠C，由平移得EF∥BC，DH＝2tcm，即可证明∠AEF＝∠AFE，则AE＝AF，由AD⊥BC，AD＝8cm，BC＝10cm，得∠AHE＝∠ADB＝90°，BD＝CD＝BC＝5cm，所以AH⊥EF，则EH＝FH，当t＝2时，则AH＝DH＝4cm，即可证明四边形AEDF为菱形；
（2）由EF∥BC证明△AEF∽△ABC，得＝，其中AH＝（8﹣2t）cm，BC＝10cm，可推导出EF＝（4﹣t）cm，则×2t×（4﹣t）＝10，即可求得t＝2，则BP＝6cm；
（3）分三种情况讨论，一是∠PEF＝90°，则PE＝DH＝2tcm，由PE∥AD证明△EBP∽△ABD，则＝，解得t＝0，不符合题意；二是∠EPF＝90°，作EG⊥BC于点G，FI⊥BC于点I，可证明△GPE∽△IFP，得＝，再由△EBG∽△ABD，得＝，则BG＝×2t＝tcm，再证明△BEG≌△CFI，则BG＝CI＝tcm，于是可列方程＝，可求得t＝；三是∠PFE＝90°，先证明PF＝DH＝2tcm，再由PF∥AD证明△FCP∽△ACD，得＝，则＝，可求得t＝．
【解答】（1）证明：如图1，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
由平移得EF∥BC，DH＝2tcm，
∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AD⊥BC，AD＝8cm，BC＝10cm，
∴∠AHE＝∠ADB＝90°，BD＝CD＝BC＝5cm，
∴AH⊥EF，
∴EH＝FH，
当t＝2时，DH＝2×2＝4（cm），
∴AH＝DH＝4cm，
∵EH＝FH，AH＝DH，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵AD⊥EF，
∴四边形AEDF为菱形．
（2）解：如图2，∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
∵AH＝（8﹣2t）cm，BC＝10cm，BP＝3tcm，
∴EF＝＝＝（4﹣t）cm，
∴×2t×（4﹣t）＝10，
解得t1＝t1＝2，
∴BP＝3×2＝6（cm），
∴线段BP的长是6cm．
（3）解：存在，
当∠PEF＝90°时，如图3，
∵∠PEH＝∠DHE＝∠HDP＝90°，
∴四边形PDHE是矩形，
∴PE＝DH＝2tcm，
∵PE∥AD，
∴△EBP∽△ABD，
∴＝，
∴＝，
解得t＝0，不符合题意，舍去；
当∠EPF＝90°时，如图4，作EG⊥BC于点G，FI⊥BC于点I，
∵∠PGE＝∠EIP＝90°，
∴∠GPE＝∠IFP＝90°﹣∠IPF，
∴△GPE∽△IFP，
∴＝，
∵EF∥BC，EG⊥BC于点G，FI⊥BC于点I，HD⊥BC于点D，
∴EG＝FI＝DH＝2tcm，
∵EG∥AD，
∴△EBG∽△ABD，
∴＝，
∴BG＝•EG＝×2t＝tcm，
∵∠B＝∠C，∠BGE＝∠CIF＝90°，EG＝FI，
∴△BEG≌△CFI（AAS），
∴BG＝CI＝tcm，
∴＝，
整理得t（183t﹣280）＝0，
解得t1＝，t2＝0（不符合题意，舍去）；
当∠PFE＝90°时，如图5，
∵∠PFH＝∠DHF＝∠HDP＝90°，
∴四边形PDHF是矩形，
∴PF＝DH＝2tcm，
∵PF∥AD，
∴△FCP∽△ACD，
∴＝，
∴＝，
解得t＝，
综上所述，此时刻t的值是或．