山西省临汾市吉县2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份山西省临汾市吉县2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省临汾市吉县九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）
1．2022的倒数是（　　）
A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣
2．一个机械零件是如图所示的几何体，下面的图形不是它的三视图的是（　　）

A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．﹣a2+2a2＝a2 B．2a2•3a2＝6a2
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．腾讯网2月23日消息：北京冬奥会主火炬已熄灭，但是被竞技点燃的消费热情却并未退去．闭幕式当天，100万个冰墩墩及多种商品售罄，奥林匹克官方旗舰店的特许商品卖出160余万件，销售额近1.8亿元．1.8亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.8×109 B．1.8×108 C．18×107 D．180000000
5．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝2，则OB的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为D，对称轴为x＝1，点A的横坐标为﹣1，与y轴交于点C．下面五个结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜2a；③9a+c＞3b；④8a+b+2c＞0；⑤M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2．其中正确的结论有（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解25x﹣xy2＝　 　．
8．已知二次函数y＝x2−6x+7与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则＝　 　．
9．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》中的数学问题大多浅显易懂，其中一些趣味问题在后世广为流传．其中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 　 　．
10．若一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为　 　．
11．如图，在▱ABCD中，∠BAD＝30°，AD＝2．若▱ABCD沿边AB作轴对称图形ABEF，连接BD．若D，B，E在同一直线上，则AB的长为 　 　．

12．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝2，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点（点F不与点AD重合）．将△AEF沿EF所在直线翻折，点A的对应点为A'，连接A'D，A'C．当△A'DC是等腰三角形时，AF的长为 　 　．

三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．计算：（π﹣2）0+（﹣）﹣1+4cos30°﹣|﹣|．
14．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．

15．先化简：（+1）÷，再从﹣2≤a≤2中选取一个合适的整数代入求值．
16．已知四边形ABCD为平行四边形，E为AB边的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作出AD边的中点P；
（2）在图2中，在AD边上求作一点M，使△ABM的面积为口ABCD面积的．


17．学校新冠疫情防控常态化的做法之一，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条，分别为：红外热成像测温（M通道）和人工测温（N通道和P通道）．在三条通道中，每位同学都要随机选择其中的一条通过．某天早晨，该校小红和小明两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）下列事件是必然事件的　 　；
A．小红同学从M测温通道通过进入校园
B．小明同学从N测温通道通过进入校园
C．有一位同学从Q测温通道通过进入校园
D．两位同学都要从测温通道通过进入校园
（2）请用列表或画树状图的方法求小红和小明从不同类型测温通道通过进入校园的概率．
18．政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个A商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元．
（1）求出商品A、B每个的标价．
（2）若商品A、B的折扣相同，商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 　 　，a＝　 　%，b＝　 　%，“常常”对应扇形的圆心角为 　 　；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校共有2300名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？
20．自“新冠”病毒出现后，瓶装酒精成了人们家中常备之物．一种酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD'，此时BD'∥EF（如图3）．
（1）求BD转动到BD'扫过的面积（结果保留π）；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
21．如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点（不与P点重合），过点M作MD⊥AP于点D，若∠PMD＝45°，求点M的坐标．


五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．

23．某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（Ⅰ）列表（完成以下表格）．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y1＝x2﹣4x+3
…
15
8
　 　
0

0
3
　 　
15
…
y＝|x2﹣4x+3|
…
15
8
　 　
0

0
3
　 　
15
…

（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数y1＝x2﹣4x+3的图象如何变化得到？
答：　 　．
（2）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E，F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是　 　．
（3）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线BC的解析式；
②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值．
六、（本大题共12分）
24．【性质探究】

（1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，则：
①DE与BC的位置关系为　 　；
②如图2，连接CD，BE，若点M为BE的中点，连接AM，请探究线段AM与CD的关系并给予证明．
【拓展应用】
（2）如图3，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，点M为BG的中点，连接AM．
①若AB＝4，BE＝3，求AM的长；
②若AB＝a，BE＝b，则AM的长为　 　（用含a，b的代数式表示）．


参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）
1．2022的倒数是（　　）
A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
解：2022的倒数是．
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．一个机械零件是如图所示的几何体，下面的图形不是它的三视图的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据简单组合体的三视图进行判断即可．
解：选项A是它的主视图，选项B是它的俯视图，选项D是它的左视图，选项C不是它的三视图．
故选：C．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，掌握视图的意义是正确判断的前提．
3．下列计算正确的是（　　）
A．﹣a2+2a2＝a2 B．2a2•3a2＝6a2
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘单项式、积的乘方运算法则、完全平方公式分别计算，进而判断得出答案．
解：A．﹣a2+2a2＝a2，故此选项符合题意；
B．2a2•3a2＝6a4，故此选项不合题意；
C．（﹣3a2b）2＝9a4b2，故此选项不合题意；
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式乘单项式、积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．腾讯网2月23日消息：北京冬奥会主火炬已熄灭，但是被竞技点燃的消费热情却并未退去．闭幕式当天，100万个冰墩墩及多种商品售罄，奥林匹克官方旗舰店的特许商品卖出160余万件，销售额近1.8亿元．1.8亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.8×109 B．1.8×108 C．18×107 D．180000000
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：1.8亿＝180000000＝1.8×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝2，则OB的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据垂径定理可得AD＝BD＝4，再根据勾股定理列方程求解即可．
解：∵AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，且AB＝8，
∴AD＝BD＝AB＝4，
设半径OB＝x，则OD＝x﹣2，
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
OD2+BD2＝OB2，
即（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝5，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的前提．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为D，对称轴为x＝1，点A的横坐标为﹣1，与y轴交于点C．下面五个结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜2a；③9a+c＞3b；④8a+b+2c＞0；⑤M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2．其中正确的结论有（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤
【分析】由抛物线与x轴的交点坐标判断系数a、b、c之间的关系、二次函数图象的特点，进而对所得结论进行推断．
解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x＝1，点A的横坐标为﹣1，
∴A（﹣1，0）、B（3，0），
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A，
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a）＝16a2，
∴若b2﹣4ac＜2a，即16a2＜2a，
∴a＜．
根据题目已有条件，无法推断出a＜，
∴②无法定论．
∵x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b，
故③正确．
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴8a+b+2c＝8a﹣2a﹣6a＝0，
故④错误．
∵对称轴为x＝1，x1+x2＞2，
∴点M（x1，y1）到对称轴的距离小于点N（x2，y2）的距离，
∵抛物线开口向上，
∴y1＜y2，故⑤正确．
故选：C．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解25x﹣xy2＝　x（5+y）（5﹣y）　．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
解：25x﹣xy2
＝x（25﹣y2）
＝x（52﹣y2）
＝x（5+y）（5﹣y），
故答案为：x（5+y）（5﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
8．已知二次函数y＝x2−6x+7与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则＝　　．
【分析】由根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝7，结合已知即可求解．
解：由题意可得x1，x2是方程x2﹣6x+7＝0的两个实数解，
可得x1+x2＝6，x1x2＝7，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，根与系数的关系；灵活运用并掌握根与系数的关系是解题的关键．
9．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》中的数学问题大多浅显易懂，其中一些趣味问题在后世广为流传．其中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 　　．
【分析】由绳子比木头长4.5尺得：y﹣x＝4.5；由绳子对折后比木头短1尺得：x﹣＝1；组成方程组即可．
解：由题意得：；
故答案为：．
【点评】本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．
10．若一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为　　．
【分析】根据众数的定义先判断出x，y中至少有一个是5，再根据平均数的计算公式求出x+y＝11，然后代入方差公式即可得出答案．
解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴（4+x+5+y+7+9）＝6，
∴x+y＝11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数据的方差为[（4﹣6）2+2（5﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（9﹣6）2]＝；
故答案为：．
【点评】此题考查了众数、平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]；解答本题的关键是掌握各个知识点的概念．
11．如图，在▱ABCD中，∠BAD＝30°，AD＝2．若▱ABCD沿边AB作轴对称图形ABEF，连接BD．若D，B，E在同一直线上，则AB的长为 　2　．

【分析】直接利用轴对称图形的性质结合平行四边形的性质得出∠DAB＝∠DBA，再利用等腰三角形的性质计算得出答案．
解：过点D作DM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD沿边AB作轴对称图形ABEF，D，B，E在同一直线上，
∴AF∥BE，∠BAF＝30°，
∴∠ABE＝150°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝BD，
∴DM＝AD＝1，
∴AM＝BM＝，
∴AB＝2．
故答案为：2．

【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质，正确得出∠DAB＝∠DBA是解题关键．
12．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝2，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点（点F不与点AD重合）．将△AEF沿EF所在直线翻折，点A的对应点为A'，连接A'D，A'C．当△A'DC是等腰三角形时，AF的长为 　或1或　．

【分析】存在三种情况：当A′D＝DC，连接ED，勾股定理求得ED的长，可判断E，A′，D三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当A′D＝A′C，证明AEA′F是正方形，于是得到结论；当A'C＝DC时，连接EC，FC，证明点E，A′，C三点共线，再用勾股定理可得答案．
解：①当A′D＝DC时，连接ED，如图：

∵点E是AB的中点，AB＝2，BC＝2，四边形ABCD是矩形，
∴AE＝1，AD＝BC＝2，∠A＝90°，
∴DE＝＝3，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴A′E＝AE＝1，
∵A′D＝DC＝AB＝2，
∴DE＝3＝A′E+A′D，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A＝90°，
∴∠FA′E＝∠FA′D＝90°，
设AF＝x，则A′F＝x，FD＝2﹣x，
在Rt△FA′D中，A'D2+A'F2＝DF2，
∴22+x2＝（2﹣x）2，
解得：x＝，
∴AF＝；
②当A′D＝A′C时，如图：

∵A′D＝A′C，
∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴EA′是AB的垂直平分线，
∴∠AEA′＝90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴∠A＝∠EA′F＝90°，AF＝FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF＝AE＝1；
③当A'C＝DC时，连接EC，FC，如图：

∵点E是AB的中点，AB＝2，BC＝2，四边形ABCD是矩形，
∴BE＝1，∠B＝90°，
∴CE＝＝3，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴A′E＝AE＝1，
∵A′C＝DC＝AB＝2，
∴CE＝3＝A′E+A′C，
∴点E，A′，C三点共线，
∵∠A＝90°，
∴∠FA′E＝∠FA′C＝90°，
设AF＝x，则A′F＝x，FD＝2﹣x，
在Rt△FA′C中，A'C2+A'F2＝FC2，
在Rt△DFC中，FD2+DC2＝FC2，
∴A'C2+A'F2＝FD2+DC2，
即22+x2＝（2﹣x）2+22，
解得：x＝，
∴AF＝；
综上所述，AF的长为或1或，
故答案为：或1或．
【点评】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．计算：（π﹣2）0+（﹣）﹣1+4cos30°﹣|﹣|．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．
解：原式＝1﹣3+4×﹣2
＝1﹣2+2﹣2
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
14．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．

【分析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
【点评】此题主要考查了学生对全等三角形的判定，平行四边形的性质及矩形的判定等知识点的掌握情况．
15．先化简：（+1）÷，再从﹣2≤a≤2中选取一个合适的整数代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算可得．
解：原式＝[+1]÷
＝（+）÷
＝•
＝，
∵a≠2，a≠0，a≠±1，
∴a＝﹣2
则原式＝＝＝1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
16．已知四边形ABCD为平行四边形，E为AB边的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作出AD边的中点P；
（2）在图2中，在AD边上求作一点M，使△ABM的面积为口ABCD面积的．


【分析】（1）先作对角线AC、BD，它们相交于点O，延长EO交CD于F，再连接AF交BD于Q，则连接CQ并延长交AD于P点；
（2）在（1）的作图基础上连接FP交OD于G点，连接CG并延长交AD于M，则点M满足条件．
解：（1）如图1，点P为所作；
（2）如图2，点M为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
17．学校新冠疫情防控常态化的做法之一，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条，分别为：红外热成像测温（M通道）和人工测温（N通道和P通道）．在三条通道中，每位同学都要随机选择其中的一条通过．某天早晨，该校小红和小明两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）下列事件是必然事件的　D　；
A．小红同学从M测温通道通过进入校园
B．小明同学从N测温通道通过进入校园
C．有一位同学从Q测温通道通过进入校园
D．两位同学都要从测温通道通过进入校园
（2）请用列表或画树状图的方法求小红和小明从不同类型测温通道通过进入校园的概率．
【分析】（1）根据随机事件、确定事件的定义对各选项进行判断即可；
（2）画树状图展示所有9种等可能的情况数，找出小红和小明从不同类型测温通道通过的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）两位同学都要从测温通道通过进入校园为必然事件；
故选D；

（2）画树状图为：

共有9种等可能的情况数，其中小红和从不同类型测温通道通过的有4种情况，分别是（M，N）（N，M）（M，Q）和（Q，M），
所以小红和小明从不同类型测温通道通过的概率是．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了随机事件．
18．政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个A商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元．
（1）求出商品A、B每个的标价．
（2）若商品A、B的折扣相同，商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？
【分析】（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，根据“不打折时，6个A商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设商店打m折出售这两种商品，根据“打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用获得的优惠＝不打折时购买这些商品所需费用﹣打折后购买这些商品所需费用，即可求出结论．
解：（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每个A商品的标价为9元，每个B商品的标价为12元．
（2）设商店打m折出售这两种商品，
依题意得：9×9×+8×12×＝141.6，
解得：m＝8，
9×9+12×8﹣141.6＝35.4（元）．
答：商店打8折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 　200　，a＝　12%　%，b＝　36%　%，“常常”对应扇形的圆心角为 　108°　；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校共有2300名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？
【分析】（1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%，求出该调查的样本容量为多少；然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量，求出a、b的值各是多少；用360°乘以“常常”的人数所占比例．
（2）求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可．
（3）用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可．
解：（1）∵44÷22%＝200（名）
∴该调查的样本容量为200；
a＝24÷200＝12%，
b＝72÷200＝36%，
“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%＝108°．
故答案为：200、12、36、108°；

（2）常常的人数为：200×30%＝60（名），
补全图形如下：


（3）∵2300×36%＝828（名）
∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有828名．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．自“新冠”病毒出现后，瓶装酒精成了人们家中常备之物．一种酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD'，此时BD'∥EF（如图3）．
（1）求BD转动到BD'扫过的面积（结果保留π）；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【分析】（1）根据平行线的性质可求出∠D′BE＝72°，从而求出∠DBD′＝36°，然后根据扇形的面积计算公式即可解答；
（2）过点D作DG⊥BD′，垂足为G，过点E作EH⊥BD′，垂足为H，分别在Rt△BDG和Rt△BHE中，利用锐角三角函数的定义求出DG，EH的长，进行计算即可解答．
解：（1）∵BD'∥EF，∠BEF＝108°，
∴∠D′BE＝180°﹣∠BEF＝72°，
∵∠DBE＝108°，
∴∠DBD′＝∠DBE﹣∠D′BE＝108°﹣72°＝36°，
∵BD＝6cm，
∴BD转动到BD'扫过的面积＝＝（cm2），
∴BD转动到BD'扫过的面积为cm2；
（2）过点D作DG⊥BD′，垂足为G，过点E作EH⊥BD′，垂足为H，

在Rt△BDG中，∠DBG＝36°，
∴DG＝BDsin36°≈6×0.59＝3.54（cm），
在Rt△BHE中，∠EBH＝72°，
∴EH＝BEsin72°≈4×0.95＝3.80（cm），
∴DG+EH＝3.54+3.80≈7.3（cm），
∴点D到直线EF的距离为7.3cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点（不与P点重合），过点M作MD⊥AP于点D，若∠PMD＝45°，求点M的坐标．


【分析】（1）根据一次函数表达式可得点P的坐标，再将点P代入反比例函数，可得答案；
（2）过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，利用AAS证明△PGD≌△DHM，得PG＝DH，DG＝MH，设D（m，m+1），表示出点M的坐标，从而得出m的方程，解方程即可．
解：（1）对于y＝x+1，当y＝4时，x＝6，
∴P（6，4），
将点P（6，4）代入y＝得，m＝6×4＝24；
（2）过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，

∵△PMD是等腰直角三角形，
∴PD＝DM，
∵∠PDG+∠MDH＝90°，∠PDG+∠DPG＝90°，
∴∠DPG＝∠MDH，
∵∠G＝∠H，
∴△PGD≌△DHM（AAS），
∴PG＝DH，DG＝MH，
设D（m，m+1），
∴DG＝m﹣6，PG＝m﹣3，
∴MH＝m﹣6，DH＝m﹣3，
∴M（m﹣3，7﹣m），
∵点M在反比例y＝的图象上，
∴（m﹣3）×（7﹣m）＝24，
解得m1＝6，m2＝10，
当m＝6时，M（6，4）（舍），
当m＝10时，M（12，2），
∴M（12，2）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形表示出点M的坐标是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．

【分析】（1）由垂径定理得，由圆周角定理得∠CAD＝∠FCD，再由公共角∠ADC＝∠CDF，即可得出△ACD∽△CFD；
（2）连接OC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠ABC+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB，证出∠OCB＝∠GCA，得出∠OCG＝90°，即可得出结论；
（3）连接BD，由圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，则sin∠CAD＝sin∠CBD＝＝，设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x，由勾股定理得BE＝，则BC＝2BE＝，在Rt△OBE中，由勾股定理得（r﹣x）2+（）2＝r2，解得r＝x，则AB＝2r＝9x，由勾股定理求出AC＝7x，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴，
∴∠CAD＝∠FCD，
又∵∠ADC＝∠CDF，
∴△ACD∽△CFD；
（2）证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA，
∴∠OCB＝∠GCA，
∴∠OCG＝∠GCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝90°，
∴CG⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CG是⊙O的切线；
（3）解：连接BD，如图2所示：
∵∠CAD＝∠CBD，
∵OD⊥BC，
∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝＝，BE＝CE，
设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x
在Rt△BDE中，BE＝＝＝，
∴BC＝2BE＝，
在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，
即（r﹣x）2+（）2＝r2，
解得：r＝x，
∴AB＝2r＝9x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+（）2＝（9x）2，
∴AC＝7x或AC＝﹣7x（舍去），
∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝＝＝．


【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理、垂径定理和勾股定理是解题的关键．
23．某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（Ⅰ）列表（完成以下表格）．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y1＝x2﹣4x+3
…
15
8
　3　
0

0
3
　8　
15
…
y＝|x2﹣4x+3|
…
15
8
　3　
0

0
3
　8　
15
…

（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数y1＝x2﹣4x+3的图象如何变化得到？
答：　x轴下方图象关于x轴对称，x轴上方图象不变　．
（2）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E，F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是　x＞5或x＜﹣1　．
（3）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线BC的解析式；
②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值．
【分析】（I）直接代入x值即可；
（II）先描点，再连线便可得到函数图象；
（III）（1）通过观察函数图象，直接写出结论便可；
（2）根据x是取值范围，观察图象直接求解不等式；
（3）画出函数图象，通过观察可知，m＝0时就有三个交点；当直线向上平移时发现，直线与二次函数y＝﹣x2+4x﹣3有且只有一个交点，再求这时的m值即可．
【解答】I解：（Ⅰ）列表（完成表格）
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y1＝x2﹣4x+3
…
15
8
3
0
﹣1
0
3
8
15
…
y＝|x2﹣4x+3|
…
15
8
3
0
1
0
3
8
15
…
（Ⅱ）描点并画图．

（Ⅲ）（1）y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数y1＝x2﹣4x+3将x轴下方图象关于x轴对称，x轴上方图象不变得到；
故答案为x轴下方图象关于x轴对称，x轴上方图象不变；
（2）结合图象，|x2﹣4x+3|＞8时，y＝|x2﹣4x+3|图象在y＝8的上方，
∴解集是x＞5或x＜﹣1；
故答案为x＞5或x＜﹣1
（3）①令x＝0，则y＝|x2﹣4x+3|＝3，
令y＝0，则y＝|x2﹣4x+3|＝0，解得x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则
∴
∴y＝﹣x+3；
②直线BC过（0，3），（2，1）和（3，0）三个点，如图所示，

此时，直线BC与y＝|x2﹣4x+3|的图象只有3个交点，
∴m＝0．
设直线BC向上平移后的直线为y＝﹣x+3+m，
∵平移后的直线与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，
∴直线BC只能向上平移，且直线y＝﹣x+3+m和y＝﹣x2+4x﹣3有且只有一个交点，
则只有一个解，
于是，消去y得x2﹣5x+6+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝1﹣4m＝0，
∴m＝．
综上所述，m＝0或m＝时将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点．
【点评】本题考查绝对值的性质，二次函数的图象，两个函数图象的交点．能够根据x的取值范围去掉绝对值符号，分段画出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键．
六、（本大题共12分）
24．【性质探究】

（1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，则：
①DE与BC的位置关系为　DE⊥BC　；
②如图2，连接CD，BE，若点M为BE的中点，连接AM，请探究线段AM与CD的关系并给予证明．
【拓展应用】
（2）如图3，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，点M为BG的中点，连接AM．
①若AB＝4，BE＝3，求AM的长；
②若AB＝a，BE＝b，则AM的长为　　（用含a，b的代数式表示）．
【分析】（1）①由旋转的性质可得出结论；
②延长BA至点N，使AN＝AB，连接NE，证明△ACD≌△AEN（SAS），由全等三角形的判定与性质得出CD＝EN，由三角形的中位线定理得出AM∥EN，由可得出结论；
（2）①连接DE，DG，证明△BAE≌△DAG（SAS），由△DAG可以由△BAE绕点A逆时针旋转90°得到，由勾股定理求出答案；
②方法同①由勾股定理可求出答案．
解：（1）①∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴DE⊥BC；
帮答案为DE⊥BC；
②AM⊥CD，AM＝CD，
证明：延长BA至点N，使AN＝AB，连接NE，

∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴∠DAB＝∠EAC＝90°，AE＝AC，AD＝AB，
∴∠DAC＝90°﹣∠DAE＝∠NAE，
∴△ACD≌△AEN（SAS），
∴CD＝EN，
∵∠CAE＝∠DAN＝90°，
∴△AEN可以由△ACD绕点A逆时针旋转90°得到，
由①可知EN⊥CD，
∵AN＝AB，M为BE的中点，
∴AM∥EN，
∴AM⊥CD，AM＝CD，
（2）①如图，连接DE，DG，

∵四边形ABCD，AEFG为正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠EAD＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴△DAG可以由△BAE绕点A逆时针旋转90°得到，
∵AB＝4，BE＝3，
∴CE＝1，CD＝4，
由（1）中②可知AM＝DE，
∴AM＝DE＝＝＝，
②同①可知EC＝AB﹣BE＝a﹣b，CD＝a，
∴DE＝＝＝，
∴AM＝DE＝．
故答案为．
【点评】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．