江苏省泰州市兴化市2023届九年级上学期第一次月度质量评价数学试卷(含答案)

2022年秋学期九年级学生第一次月度质量评价

数学试卷

一、选择题（每题3分，共18分）

1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）

A.  B.  

C.  D.

2. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D=85°，则∠B的度数为（　　）

A. 95° B. 105° C. 115° D. 125°

3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）

A. 开口向上 B. 当x＝2时，y有最小值是3 

C. 对称轴是 D. 顶点坐标是（-2，3）

4. 根据圆规作图痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）

A.  B.

C.  D.

5. 用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 如图，⊙O半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=8cm，将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O相切时，则平移的距离为（　　）

A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 8cm

二、填空题（每题3分，共27分）

7. 已知关于x的函数y＝（a﹣1）x2﹣3x+6是二次函数，则a满足的条件是___．

8. 如图，点A，B，C在上，，则________度．

9. 如图，在⊙O中，，A、C之间的距离为4，则线段BD＝______．

10. 一个正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数为________．

11. 已知直角三角形的两条直角边分别为6、8，则它的外接圆半径R=___________

12. 扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留）为____________．

13. 二次函数y＝（x﹣1）2，当x＜1时，y随x的增大而___（填“增大”或“减小”） ．

14. 如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，以点D为圆心，半径长为r作⊙D，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是 ___________．

15. 如图，在中，∠C=90°，AC=3，BC=4，半径为2的⊙O与AC，BC分别相切于点D，E，将线段AB沿着射线CA的方向平移得到线段，若与⊙O相切于点F，连接EF，则EF的值为___________．

三、解答题（共8题，共75分）

16. 解方程：

（1）；

（2）.

17. 已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．

18. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．

19. 如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．

（1）若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．

（2）求证：AD平分∠BDO．

20. 用一段长为30m篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．

（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为        m（用含x的代数式表示）；

（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．

21. 已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？

古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S（其中a，b，c是三角形的三边长，p，S为三角形的面积），并给出了证明

例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它面积可以这样计算：

∵a＝3，b＝4，c＝5

∴p6

∴S6

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．

根据上述材料，解答下列问题：

如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9

（1）用海伦公式求△ABC的面积；

（2）求△ABC的内切圆半径r．

22. 如图，在中，点D是AC边上一点，以线段AB为直径作⊙O，分别交BD，AC于点E，点F.给出下列信息：①AD=AB；②∠BAC=2∠CBD；③BC是⊙O的切线.

（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个正确的命题.你选择的条件是___________、___________，结论是___________（只要填写序号）.试证明这个命题.

（2）在（1）条件下，若CD=4，BC=8，求的面积.

23. 已知⊙O直径AB为10，D为⊙O上一动点（不与A、B重合），连接AD、BD．

（1）如图1，若AD=8，求BD的值；

（2）如图2，弦DC平分∠ADB，过点A作AE⊥CD于点E，连接BE．

① 当△BDE为直角三角形时，求BE的值；

② 在点D的运动过程中，BE的值是否存在最小值？若存在，请直接写出BE的最小值；若不存在，请说明理由．

答案

1-6 CADCB  B

7. a≠1

8. 31

9. 4

10. 九##9

11. 5

12.

13. 减小

14. 4＜r＜5

15.

16. 【小问1详解】

，

，

，即，

∴，

∴；

【小问2详解】

，

，

∴或，

∴

17. 解：证法错误；

证明：连结OC，

∵⊙O与AB相切于点C，

∴OC⊥AB，

∵OA＝OB，

∴AC＝BC．

18. 如图，连接OC，

∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，

∴EM⊥CD．

∴CM=MD．

∵CD=10，

∴CM=5．

设OC=x，则OM=25-x，

在Rt△COM中，根据勾股定理，得

52+（25-x）2=x2．

解得 x=13．

∴⊙O的半径为13．

19. 【小问1详解】

解：连接OA，

∵∠ACB＝20°，

∴∠AOD＝40°，

∴，

．

【小问2详解】

证明：，

，

切于点，

，

，

，

，

，

平分．

20. （1）（30－2x）   

（2）解：根据题意得：x（30−2x）＝100，

∴x2−15x＋50＝0，因式分解得，解得x＝5或x＝10，

当x＝5时，30−2x＝20>18；当x＝10时，30−2x＝10<18；

∴x＝5不合题意，舍去，即x＝10，

答：x的值为10m．

21. 解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，

∴p10，

∴S10；

故△ABC的面积10；

（2）∵Sr（AC+BC+AB），

∴10r（5+6+9），

解得：r，

故△ABC的内切圆半径r．

22. （1）①，②，③

证明：连接AE，

∵线段AB为⊙O直径，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BD，∠BAE+∠ABE=90°，

∵AD=AB，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAC=2∠BAE，

∵∠BAC=2∠CBD，

∴∠BAE=∠CBD，

∴∠ABE+∠CBD=∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：连接BF，

∵线段AB为⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∴AF⊥AC，

在中，，BC=8，AC=AD+CD=AB+4，

∴，

∴AB=6，

∴AC=10，

∵S△ABC=AB•BC=AC•BF，

∴，

．

23. 【小问1详解】

解：如图1，为的直径，

°，

；

故BD的值为6．

【小问2详解】

解：①°，DC平分，

，

当°时，如图2，

，

°，

，

点E在AB上，

°，

，

是以AB为斜边的等腰直角三角形，

点E与O重合，

；

当°时，如图3，

°，

，

，

°，

，

，

又°，

即，

解得（舍去）

综上所述，BE的长为5或；

②在点D的运动过程中，BE存在最小值，解答如下：

如图3，连接OC、AC，取AC中点F，连接EF、BF，过点F作于H，

，

°，

°，

，

，，

，F为AC中点，

，

°

，

，

，

（当且仅当点E在线段BF上时等号成立），

即，

BE的最小值是．