江苏省扬州市江都三中2022-2023学年九年级上学期第一次段考数学试卷(含答案)

这是一份江苏省扬州市江都三中2022-2023学年九年级上学期第一次段考数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州市江都三中九年级（上）第一次段考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡相应位置上．）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）已知的半径为，到圆心的距离为，则点在　　
A．外部 B．内部 C．上 D．不能确定
3．（3分）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的内心到三角形各边的距离相等； （4）长度相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（3分）如图，已知，，，那么的度数为　　

A． B． C． D．
5．（3分）如图，网格中的小正方形边长都是1，则以为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形面积等于　　

A． B． C． D．
6．（3分）如图，四边形是圆内接四边形，是圆的直径，若，则等于　　

A． B． C． D．
7．（3分）如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止，过点作射线的垂线，垂足为，点运动的路径长为　　

A． B． C． D．
8．（3分）如图，，是的弦，，点在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为2，则的长度的最大值是　　

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将答案填在答题卡相应位置上．）
9．（3分）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　．
10．（3分）某厂今年一月份新产品的研发资金为元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年三月份新产品的研发资金（元关于的函数关系式为　　．
11．（3分）已知的半径为，直线，且与相切，圆心到的距离为，则与的距离为　　．
12．（3分）若圆的一条弦把圆分成度数的比为的两条弧，则该弦所对劣弧的所对的圆周角等于　　．
13．（3分）已知实数、满足，则的值为　 　．
14．（3分）如图，在中，是的内接正六边形的一边，是的内接正十边形的一边，则　　．

15．（3分）如图， 点为的内心， 点为的外心， 若，则　 　．

16．（3分）如图，是的内接三角形，，的半径为5，若点是上的一点，在中，，则的长为　　．

17．（3分）已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，那么的根是　　；
18．（3分）如图，是半径为2的的弦，将沿着弦折叠，正好经过圆心，点是折叠后的上一动点，连接并延长交于点，点是的中点，连接，，．则的最小值为 　　．

三、解答题（本大题共10小题，共96分.请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
20．（8分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点、、．
（1）画出该圆弧所在圆的圆心的位置，并连接、．
（2）请在（1）的基础上，以点为原点、水平方向所在直线为轴、竖直方向所在直线为轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题：
①的半径为 　　（结果保留根号）；
②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 　　；
③若，直线与的位置关系是 　　．

21．（8分）已知关于的方程．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
22．（8分）已知关于的一元二次方程为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程的根，则　　，方程的另一个根为 　　；
（2）若它的一个实数根是关于的方程的根，求的值．
23．（10分）如图，是的直径，、是的切线，切点分别是点、
（1）如图1，若，求的度数．
（2）如图2，若是劣弧上一点，，求的度数．

24．（10分）如图，为外接圆的直径，且．
（1）求证：与相切于点；
（2）若，，，求的长．

25．（10分）如图，在半径为5的中，直径的不同侧有定点和动点，已知，点在弧上运动．
（1）当点与点关于对称时，求的长；
（2）当点运动到弧的中点时，求的长．

26．（10分）某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为元，销售量为套．
（1）求出与的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元？
（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
27．（12分）（1）如图1，是等边的外接圆，请你在图中作，并回答点在 　　上；
（2）如图2，已知矩形，，，点为线段上任一点．若，请在图中用尺规作图画出符合要求的点；（保留作图痕迹，不要求写做法）
（3）将（2）中矩形的“”改为“”，其它条件不变，若符合（2）中要求的点必定存在，求的取值范围．

28．（12分）在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题：

（1）如图1，当为几秒时，的面积等于？
（2）如图2，以为圆心，为半径作．
①在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
②若与四边形有三个公共点，请直接写出的取值范围．

2022-2023学年江苏省扬州市江都三中九年级（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡相应位置上．）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；
、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项错误；
、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
、方程二次项系数可能为0，不是一元二次方程，故本选项错误．
故选：．
2．（3分）已知的半径为，到圆心的距离为，则点在　　
A．外部 B．内部 C．上 D．不能确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：，
点在圆外．
故选：．
3．（3分）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的内心到三角形各边的距离相等； （4）长度相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据等弧的定义，确定圆的条件，垂径定理，三角形的内心的性质进行判断即可．
【解答】解：（1）不共线的三点确定一个圆，则（1）不符合题意；
（2）平分（不是直径）弦的直径垂直于弦，则（2）不符合题意；
（3）三角形的内心到三角形三边的距离相等，则（3）符合题意；
（4）能够重合的弧叫等弧，则（4）不符合题意．
故选：．
4．（3分）如图，已知，，，那么的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】先根据圆周角定理得出的度数，再由求出的度数，进而可得出结论．
【解答】解：，
．
，
，
．
故选：．
5．（3分）如图，网格中的小正方形边长都是1，则以为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形面积等于　　

A． B． C． D．
【分析】直接利用阴影部分所在扇形减去所在三角形面积即可得出答案；
【解答】解：由题意得：扇形的圆心角为，半径为，
图中的阴影部分面积为：；
故选：．
6．（3分）如图，四边形是圆内接四边形，是圆的直径，若，则等于　　

A． B． C． D．
【分析】由是圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由，即可求得的度数，然后由圆的内接四边新的性质，即可求得的度数．
【解答】解：是圆的直径，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
．
故选：．
7．（3分）如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止，过点作射线的垂线，垂足为，点运动的路径长为　　

A． B． C． D．
【分析】由，可知点在以为直径的上运动，运动路径为，由题意求出圆心角和半径即可．
【解答】解：，
点在以为直径的上运动，运动路径为，

连接，
，，
，
，
的长为，
故选：．
8．（3分）如图，，是的弦，，点在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为2，则的长度的最大值是　　

A． B． C． D．
【分析】连接、、，作于．首先求出的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题；
【解答】解：连接、、，作于．

，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
当是直径时，的值最大，最大值为2，
的最大值为．
故选：．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将答案填在答题卡相应位置上．）
9．（3分）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　且　．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两不等式解集的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且△，
解得且．
故答案为且．
10．（3分）某厂今年一月份新产品的研发资金为元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年三月份新产品的研发资金（元关于的函数关系式为　　．
【分析】由一月份新产品的研发资金为元，根据题意可以得到2月份研发资金为，而三月份在2月份的基础上又增长了，那么三月份的研发资金也可以用表示出来，由此即可确定函数关系式．
【解答】解：一月份新产品的研发资金为元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，
月份研发资金为，
三月份的研发资金为．
故填空答案：．
11．（3分）已知的半径为，直线，且与相切，圆心到的距离为，则与的距离为　1或15　．
【分析】根据直线与圆的位置关系由与相切得到点到的距离为，而圆心到的距离，根据平行线间的距离的定义得到当圆心在两平行直线之间：与之间的距离；当圆心在两平行直线的同侧：与之间的距离为．
【解答】解：与相切，
点到的距离为，
当圆心在两平行直线之间：与之间的距离；
当圆心在两平行直线的同侧：与之间的距离为，
到的距离为或．
故答案为：1或15．
12．（3分）若圆的一条弦把圆分成度数的比为的两条弧，则该弦所对劣弧的所对的圆周角等于　　．
【分析】圆的一条弦把圆分成度数之比为的两条弧，则所分的劣弧的度数是，则该弦所对劣弧的所对的圆周角等于．
【解答】解：如图所示，弦将分成了度数比为两条弧．
连接、；
则；
弦所对劣弧的所对的圆周角；
故答案为．

13．（3分）已知实数、满足，则的值为　3　．
【分析】根据题目中的式子进行变形，即可求得的值．
【解答】解：，
，
，
解得，或（舍去），
故答案为：3．
14．（3分）如图，在中，是的内接正六边形的一边，是的内接正十边形的一边，则　132　．

【分析】连接，，，根据正六边形的性质得到，根据正十边形的性质得到，于是得到结论．
【解答】解：连接，，，
是内接正六边形的一边，
，
，
是内接正十边形的一边，
，
，
，
；
故答案为：132．

15．（3分）如图， 点为的内心， 点为的外心， 若，则　 160 　．

【分析】因为点为的内心， 推出，推出，推出，
作的外接圆如图， 在上取一点，连接、． 因为，根据即可解决问题 ．
【解答】解：点为的内心，
，
，

点为的外心， 作的外接圆如图， 在上取一点，连接、．
，
．
故答案为 160 ．

16．（3分）如图，是的内接三角形，，的半径为5，若点是上的一点，在中，，则的长为　　．

【分析】连接、，连接交于，根据圆周角定理得到，根据正弦的概念计算即可．
【解答】解：连接、，连接交于，
由圆周角定理得，，
，
，，
则，
，
故答案为：．

17．（3分）已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，那么的根是　，　；
【分析】根据一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，可得关于的方程，解方程可求的值，将的值代入方程求解即可．
【解答】解：一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，
，
，
，
解得（舍去），，
把代入得，
解得，．
故答案为：，．
18．（3分）如图，是半径为2的的弦，将沿着弦折叠，正好经过圆心，点是折叠后的上一动点，连接并延长交于点，点是的中点，连接，，．则的最小值为 　　．

【分析】首先证明是等边三角形，再证明，求出，，可得结论．
【解答】解：连接和，作．连接，．

由题知：沿着弦折叠，正好经过圆心，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
是中点，
，
又，
是中点，
即，是斜边中线，
，
即，点在以为直径的圆上运动．
所以，当、、在同一直线时，长度最，
此时，，，
的半径是2，即，，
（勾股定理），
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
（4）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1），
，
或，
所以，；
（2），

，
，
，
所以，．
20．（8分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点、、．
（1）画出该圆弧所在圆的圆心的位置，并连接、．
（2）请在（1）的基础上，以点为原点、水平方向所在直线为轴、竖直方向所在直线为轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题：
①的半径为 　　（结果保留根号）；
②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 　　；
③若，直线与的位置关系是 　　．

【分析】（1）①分析可知，圆心必在弦的垂直平分线上，则只需作出弦、的垂直平分线即可；
②根据题意建立平面直角坐标系即可；
（2）①观察图形，利用勾股定理求出的半径；
②对图形中的点进行标注，证明全等三角形，联系全等三角形的性质证明，联系侧面展开图的弧长是底面周长求解即可；
③根据根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：（1）①线段和的垂直平分线的交点即为圆心，如图所示．
②如图所示．

（2）①的半径，
故答案为：；
②在和中，，，，
，
．
，
，
，
的长，
圆锥的底面半径为：，
故答案为：；
③直线与相交．
理由：，，，
，
不为直角三角形，
直线与相交．
21．（8分）已知关于的方程．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）根据（1）的结论可得出，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程，此题得解．
【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
（2）根据题意得：，
此时原方程为，即，
解得：，．
22．（8分）已知关于的一元二次方程为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程的根，则　1　，方程的另一个根为 　　；
（2）若它的一个实数根是关于的方程的根，求的值．
【分析】（1）两个方程的根相同，把（1）中的方程解出来的根代入题干的方程中求即可；
（2）两个方程里面含有两个未知数，解决方法是消元．
【解答】解：（1）解得：，
将代入，得：，
将代入，得：或，
另一个解为，
故答案为：1；．

（2）由得：，
将代入，得，
解得：或，
故的值为1或．
23．（10分）如图，是的直径，、是的切线，切点分别是点、
（1）如图1，若，求的度数．
（2）如图2，若是劣弧上一点，，求的度数．

【分析】（1）先根据切线长定理得到，则利用等腰三角形的性质得，再根据切线的性质得，于是利用互余计算出，然后根据三角形内角和定理计算的度数．
（2）在弧上取一点，连接，，利用已知条件和圆的内接四边形的性质即可求出的度数．
【解答】解：（1），是的切线，
，
，
为切线，
．
，
，
，
；
（2）在弧上取一点，连接，，
，
，，
，
，
，
．

24．（10分）如图，为外接圆的直径，且．
（1）求证：与相切于点；
（2）若，，，求的长．

【分析】（1）连接，根据同圆的半径相等可得：，由同弧所对的圆周角相等及已知得：，再由直径所对的圆周角是直角得：，可得结论；
（2）先证明，由垂径定理得：，，根据勾股定理计算、、的长即可．
【解答】证明：（1）连接，交于，则，
，
，
，
，
，（2分）
是的直径，
，
即，（3分）
，即，
，
与相切于点；（4分）
（2），，
，（5分）
，，
，
，，
，，
在中，，
在中，，
，（7分）
，
在中，．（8分）

25．（10分）如图，在半径为5的中，直径的不同侧有定点和动点，已知，点在弧上运动．
（1）当点与点关于对称时，求的长；
（2）当点运动到弧的中点时，求的长．

【分析】（1）由点与点关于对称，根据垂径定理，即可得，又由为的直径，即可得是直角，然后根据勾股定理与相交弦定理，即可求得的长；
（2）首先连接，过点作于点，由点运动到弧的中点，根据圆周角定理，即可求得的长，的度数，由勾股定理，求得的长，继而求得的长．
【解答】解：（1）点与点关于对称，
，设垂足为．
为的直径，
．
，，
，．
又，
，
；
（2）当点运动到弧的中点时，连接，过点作于点．
是弧的中点，
，，
，
，
，
，
．


26．（10分）某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为元，销售量为套．
（1）求出与的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元？
（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）由销售单价为元得到销售减少量，用240减去销售减少量得到与的函数关系式；
（2）直接用销售单价乘以销售量等于14000，列方程求得销售单价；
（3）设一个月内获得的利润为元，根据题意得：，然后利用配方法求最值．
【解答】解：（1）销售单价为元，则销售量减少，
故销售量为；
（2）根据题意可得，，
解得，（不合题意舍去），
故当销售价为70元时，月销售额为14000元；
（3）设一个月内获得的利润为元，根据题意得：


．
当时，的最大值为6400．
故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．
27．（12分）（1）如图1，是等边的外接圆，请你在图中作，并回答点在 　　上；
（2）如图2，已知矩形，，，点为线段上任一点．若，请在图中用尺规作图画出符合要求的点；（保留作图痕迹，不要求写做法）
（3）将（2）中矩形的“”改为“”，其它条件不变，若符合（2）中要求的点必定存在，求的取值范围．

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，即可求解；
（2）①以为圆心为半径作圆；②以为圆心为半径作圆；③两圆的交点为，连接、，得到等边三角形；④作的垂直平分线； ⑤作的垂直平分线； ⑥以两条线段的垂直平分线的交点为圆心，为半径作圆；所求点在圆与线段的交点处；
（3）分别求出点在边上的极限情况：当点与点重合时，是等边三角形，在中，由勾股定理求；当点在边上时，是等边三角形的高，由等边三角形的性质求出，即可得到．
【解答】解：（1），，
点在上时，
故答案为：；
（2）①以为圆心为半径作圆；
②以为圆心为半径作圆；
③两圆的交点为，连接、，得到等边三角形；
④作的垂直平分线；
⑤作的垂直平分线；
⑥以两条线段的垂直平分线的交点为圆心，为半径作圆；
所求点在圆与线段的交点处；
（3）当点与点重合时，点是矩形的中心，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
解得；
当点在边上时，是等边三角形的高，
；
．


28．（12分）在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题：

（1）如图1，当为几秒时，的面积等于？
（2）如图2，以为圆心，为半径作．
①在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
②若与四边形有三个公共点，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积列方程求解即可；
（2）①当时，点与点重合时，点与点重合，此时圆与相切；当正好与四边形的边相切时，由圆的性质可知，然后依据勾股定理列方程求解即可；
②先求得与四边形有两个公共点时的值，然后可确定出的取值范围．
【解答】解：（1）当运动时间为秒时，，，
，
的面积等于，
．
，
解得：，，
答：当为1秒或5秒时，的面积等于；
（2）①（Ⅰ）由题意可知圆与，不相切，
（Ⅱ）如图1所示：当时，点与点重合时，点与点重合，

，
，
．
为圆的切线，
（Ⅲ）当正好与四边形的边相切时，如图2所示，

由题意可知：，，，
在中，由勾股定理可知：，即，
解得：，（舍去），
综上所述，当或时，与四边形的一边相切；
②（Ⅰ）当时，如图1所示：与四边形有两个公共点；
（Ⅱ）如图3所示：当圆经过点时，与四边形有两个公共点，

由题意知：，，，，
由勾股定理可知：，，
，
．
整理得：．
解得：，（舍去）．
当时，与四边形有三个公共点．