四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试卷（含答案）

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绵阳市高中2020级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．    BDABC      BBCDA      DC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 14．31       15．10.5           16．(-2，1) 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）．……4分 令()，……………………………………………6分 解得()， ∴函数f(x)的单调递减区间为()．…………………………8分 （2）由，得， ∵，∴．………………………………………………9分 ∴，……………………………………………………………11分 解得． …………………………………………………………………12分18．解：（1）证明：∵， ∴，  即．  ……………………………………………………………………3分 ∵，∴，……………………………………………………4分 ∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列． …………………………6分 （2）由（1）知，， ………………………………………8分 ∴．   ………………………………………11分     当n=1时，.    综上所述，.   ………………………………………12分19．解：（1）∵， 由正弦定理，得，………………………………………1分 即， ∴， …………………………………………………………………3分 ∴或（舍），即，…………………………………4分 ∴， ∴． ………………………………………………………6分（2）由锐角△ABC，可得，，．即， ∴．………………………………………………9分∵． ………11分∴． …………………………………………………………………12分20．解：由题意得．   …………………………1分 （1）当时，由，函数在上单调递增． 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增．  ………………………3分 当时，易知函数在(k，4)上单调递减，在，上单调递增． ……………………5分 （2）当k≤0或k≥3时，函数在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点． 当时，函数在(0，k)上单调递增，在(k，3)上单调递减． …………7分 要使函数在(0，3)上有两个零点，则需满足： 且 解得．………………………………………………9分 ∴． ………………………………………………………10分 又，∴当时，；当时，． 又 ，∴………………………………………12分21．解：（1）由题意得． 令g(x)=，则． ∴函数在区间上单调递增， 则函数的最小值为．………………………………………………3分 ①当2-a≥0，即a≤2时，可得，∴函数f(x)在上单调递增． 又f(0)=0，∴f(x)≥f(0)=0恒成立．……………………………………………………4分 ②当2-a，即a>2时，函数的最小值为<0， 且存在x0>0，当时，<0． 又f(0)=0，∴当时，<0，这与x≥0时，f(x)≥0相矛盾．   ……………………………………………………5分 综上，实数a的取值范围是．…………………………………………………6分（2）由(1) 得当a=2时，不等式f(x)=2ex-x2-2x-2≥0恒成立， ∴2ex-1≥x2+2x+1． 令x=n，得2en-1≥n2+2n+1．  ……………………………………………………8分∴．  …………………………………9分 令，则，时，，为上的增函数；时，，为上的增函数；∴，则.∴，   ………………………………………10分 ∴   =   <=   ．∴． ………………………………12分22．解：（1）由题意得圆C的普通方程为． 直线的普通方程为．…………………………………………………4分 ∵圆心C到直线的距离， ∴直线和圆C相离．…………………………………………………………………5分 （2）设． 由， ∴，则． ………………………………7分 ∴=，则，  …………………………………………………………8分 ∴，   …………………………………………………………………9分∴．     ……………………………………………………………10分23．解：（1）≥= …………………………………3分≥．(当且仅当时，取等) ………………………………………4分 ∴函数f(x)的最小值为．……………………………………………………………5分 （2）∵f(a)＋f(b)＋f(c)＝18， ∴．…………………………………………………………………………6分 由 ≥9，               得． ………………………………………………………………………8分 ∵， ∴． ……………………………………………………………………9分 ∴， ∴． …………………………………………………………10分