2022昌吉州高二上学期期中数学试题含解析

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2021-2022学年第一学期新疆昌吉教育体系高二年级期中质量检测数学试卷试卷满分：150分   考试时间：120分钟   注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（共60分）1. 袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少有一个白球；红､黑球各一个【答案】D【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解【详解】解：对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A不是互斥的；对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，故选：D【点睛】此题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题.2. 如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为 (　　)A.  B.  C.  D. 无法计算【答案】C【解析】【分析】求出正方形的面积，利用几何概型可求阴影区域的面积.【详解】设阴影区域的面积为，，所以.故选C.【点睛】本题考查几何概型的应用，属基础题.3. 命题“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是（    ）A. ∀x∈R，x2﹣x+1＜0 B. ∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0C. ∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0 D. ∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题,对原命题进行否定可得答案.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0故选：B.【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题.4. “”是“方程表示椭圆”的A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先求得方程表示椭圆的m的取值范围，再利用充分必要条件去判断可得答案.【详解】方程表示椭圆，即且所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件故选C【点睛】本题考查了椭圆的概念与简易逻辑用语，易错点为椭圆中，属于较为基础题.5. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的. 6. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.7. 下列说法正确的是（    ）A. “若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题B. 命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题C. “∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2－x>0”D. “”是“”的一个充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】举反例判断A错误；通过逆否命题的真假可判断原命题的真假；“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，”，C错误；“”是“”的一个必要不充分条件，D错误.【详解】对于A，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故A不正确；对于B，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故B正确；对于C，“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，”，故C不正确；对于D，由可推得，但由不能推出，故D错误.故选：B【点睛】本题考查四个命题之间的基本关系及其真假判断、必要不充分条件的判断、命题的否定，属于基础题.8. 某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择全理科的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】列举法求得选物理和历史的所有种数，再利用古典概型求解【详解】在2（物理，历史）选（化学、生物、地理、政治）选2中，选物理的有6种，分别为：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，同时，选历史也有6种，共计12种，其中选择全理科有1种，某考生选择全理科的概率是.故选：D9. 已知命题，命题，则是成立的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．【详解】由可得，或﹔由可得，.所以是成立的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握绝对值不等式，对数不等式的解法是解题关键．命题对应集合，命题对应集合，是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件．10. 已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是（    ）A.  B. 或C.  D. 以上均不正确【答案】A【解析】【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得.【详解】设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，因椭圆过点和点，于是得 ，解得，所以所求椭圆方程为.故选：A11. 设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.12. 已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由已知和面积得到，，对进行化简，配方求最值.【详解】由已知的，故.∵的面积为，∴，∴.又∵，∴，，∴，又，∴，∴.∴的取值范围为.故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质，以及配方求最值的问题.第II卷（非选择题）二、填空题（共20分）13. 已知焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则m的值为____．【答案】 ##【解析】【分析】由条件可得，然后可求出答案.【详解】因为焦点在x轴上的椭圆的焦距为，所以所以故答案为：14. 从标有，，，，的五张卡中，依次抽出张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；【答案】【解析】【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A），P（AB），利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．【详解】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A），P（AB），则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P（A|B）．【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力．15. 命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）是命题q：x2+3x﹣4＜0成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____.【答案】m≥1或m≤﹣7【解析】【分析】先求出命题p和命题q中不等式解，再根据必要不充分条件列不等式求解.【详解】解：由x2+3x﹣4＜0得﹣4＜x＜1，由（x﹣m）2＞3（x﹣m）得（x﹣m﹣3）（x﹣m）＞0，即x＞m+3或x＜m，若p是q的必要不充分条件，则1≤m或m+3≤﹣4，即m≥1或m≤﹣7，故答案为：m≥1或m≤﹣7.【点睛】本题考查二次不等式的求解，考查充分性，必要性的应用，是中档题.16. 已知椭圆， 焦点F1（-c，0）， F2（c，0）（c> 0），若过F1的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是_______.【答案】【解析】【分析】由几何关系可得为，结合相似三角形可得的比例关系，联立焦点三角形公式即可求解【详解】由题可知，，，故，因为过F1的直线和圆相切，所以，又PF2⊥x轴，故，即，设则，椭圆离心率故答案为：三、解答题（共70分）17. 如图在墙上挂着一块边长为的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为，，，某人站在处向此木板投镖，设击中线上或没有投中木板时都不算，可重新投一次.问：（1）投中大圆内的概率是多少？ （2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？（3）投中大圆且未投中小圆的概率是多少？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】由镖投在板上任何位置的可能性相等，求出面积之比即可.【详解】镖投在板上任何位置的可能性相等，故概率与面积应成正比，设所求概率，，，于是有：（1）；（2）；（3）.18. 已知命题p：，命题．(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；(2)若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据命题为真命题，分类讨论a是否为0；再根据开口及判别式即可求得a的取值范围．（2）根据复合命题的真假关系，得出p,q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解可得范围.【详解】根据复合命题真假，讨论p真q假，p假q真两种情况下a的取值范围．（1）命题是真命题时，在范围内恒成立，∴①当时，有恒成立； ②当时，有，解得：； ∴的取值范围为：.（2）∵是真命题，是假命题，∴，中一个为真命题，一个为假命题， 由为真时得由，解得，故有：①真假时，有或，解得：；②假真时，有或，解得：；∴的取值范围为：.【点睛】本题考查了命题真假及复合命题真假的简单应用，求参数的取值范围，属于基础题．19. 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3【解析】【详解】（1）据直方图知组距=10，由，解得（2）成绩落在中学生人数为成绩落在中的学生人数为（3）记成绩落在中的2人为，成绩落在中的3人为、、，则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：故所求概率为 20. 线段的长等于3，两端点､分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.求曲线的方程.【答案】【解析】【分析】设､､，由两点间距离公式，向量平行的坐标表示把用表示后代入可得结果；【详解】设､､，由于，则①，∵，∴，所以，即，代入①式得点的轨迹曲线的方程为．21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.【答案】(1) (2) 【解析】【详解】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；
（2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．试题解析：（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.22. 已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.（Ⅱ）设联立得，，，.直线，令得，即；同理可得.因为,所以；，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．