2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    方程的一次项系数、常数项分别是(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

2.    方程的根的情况是(    )

A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根
C. 无实根 D. 以上三种情况都有可能

3.    已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    已知方程的两个根分别是和，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.    顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.    将抛物线先向上平移个单位，再向右平移个单位后所得的抛物线是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    已知二次函数的图象上有三点，，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成个细胞，那么可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    下列说法：
   若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是
   若，则是一元二次方程的一个根
   若，则一元二次方程有不相等的两个实数根
   当取整数或时，关于的一元二次方程与的解都是整数．
   其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 设关于的方程有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 方程的根为______．
12. 已知是方程的一个根，则的值为______ ．
13. 抛物线的顶点坐标是______ ．
14. 飞机着陆后滑行的距离单位：关于滑行时间单位：的函数解析式是在飞机着陆滑行中，最后滑行的距离是______
15. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：；；；其中判断正确的序号是______．

16. 如图，是等边三角形，，点在边上，且，是边的中点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，，当为直角三角形时，______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    请按指定的方法解方程．
    用公式法解方程：；
    用配方法解方程：．
18. 本小题分

已知关于的一元二次方程

求证：方程有两个不相等的实数根；

如果方程的两实根为、，且，求的值．

19. 本小题分
    如图，有一面积是平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙墙长米，另三边用竹篱笆围成，墙对面有一个米宽的门，篱笆总长米，求：鸡场的长和宽各为多少米？

20. 本小题分
    如图所示，在由边长为的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，格点的顶点坐标分别为、、，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列作图要求保留必要的作图痕迹，并回答下列问题：
    在上找点，使．
    点关于直线的对称点为，在上找点，使．
    将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，使点的对应点为点，画出线段，并写出点的坐标______．

21. 本小题分
    已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是．
    求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
    当为何值时；为等腰三角形？并求的周长．
    当为何值时，是以为斜边的直角三角形？
22. 本小题分
    某公司销售一种商品，成本为每件元，经过市场调查发现，该商品的日销售量件与销售单价元是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：

求与的关系式；
若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润；
若物价部门规定该商品销售单价不能超过元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的倍，在日销售量件与销售单价元保持中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是元，求的值．

23. 本小题分
    在和中，，，．
    连接、，点、分别为、的中点，连接，
    如图，当、、三点在一条直线上时，与关系是______．
    如图，当等腰绕点顺时针旋转时，中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
    如图，当等腰绕点顺时针旋转时，连接、，点、分别为、的中点，连接，若，，则的最大值是______．
     
24. 本小题分
    已知抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，顶点坐标．
    求抛物线的解析式．
    如图，点在第二象限的抛物线上，且，求点的坐标．
    如图，将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，、在新抛物线上且在的左侧，过、的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点，过作轴交于，交抛物线于，求证：是中点．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程的一次项系数、常数项分别是，，
故选：．
根据一元二次方程的一般形式找出一次项系数和常数项即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是、、为常数，，找一次项系数和常数项带着前面的符号．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
计算出判别式的值即可得出答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

3.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程的两个根分别是和，
，，
，，
故选：．
根据根与系数的关系得即可求解．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．
 

5.【答案】 

【解析】解：顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是，
故选：．
根据开口方向、形状与函数的图象相同，可知所求抛物线的二次项系数为，再根据顶点，即可写出相应的函数解析式．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是根据题目中的条件，可以写出相应的函数解析式．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把向上平移个单位，再向右平移个单位后得到对应点的坐标为，所以平移后抛物线解析式为．
故选：．
先得到抛物线线的顶点坐标为，再利用点的平移规律得到点平移后对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

7.【答案】 

【解析】解：二次函数，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
关于直线的对称点为，
，
故选：．
根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断．
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
 

8.【答案】 

【解析】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成个细胞，那么可列方程为，
故选：．
第一轮分裂成个细胞，第二轮分裂成个细胞，结合题意可得答案．
本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮分裂后细胞的人数，再根据题意得出第二轮分裂后细胞的人数，而已知第二轮分裂后细胞的人数，故可得方程．
 

9.【答案】 

【解析】解：若一元二次方程有一个根是，则
整理得出：，
则代数式，故此选项正确；

若，则是一元二次方程的一个根，故此选项错误；

若，那么，
当，时，；当，时，；当时，，
，故此选项正确；

关于的一元二次方程与有解，
则，

，
，即；
，
，
，；
，而是整数，
所以，舍去，一个为，另一个为，冲突，故舍去，
当时，即，方程的解是；
即，方程的解是，；
当时，时，方程是不是一元二次方程，故舍去．
故，故此选项错误；
故正确的有个，
故选：．
将代入方程得出的值即可；利用，即是一元二次方程的一个根得出答案，利用，分析得出即可；
这两个一元二次方程都有解，因而根与判别式，即可得到关于不等式，从而求得的范围，再根据是整数，即可得到的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定的值．
此题主要考查了根的判别式以及方程的解，解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系，首先根据根的判别式确定的范围是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．根与系数的关系为：，．

根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．又存在，即，，利用根与系数的关系，从而最后确定的取值范围．

【解答】

解：方程有两个不相等的实数根，
则且，
由，
解得，
，，
又，
，，
那么，
，
即，
解得，
最后的取值范围为：．
故选D．
 

11.【答案】， 

【解析】解：，
，
，
，或，
，，
故答案为：，．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法．
 

12.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
．
故答案为：．
把代入方程得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查二次函数的性质，掌握配方法化为顶点式是解决问题的关键利用配方法化为顶点式求得顶点坐标即可．
【解答】
解：，
所以顶点的坐标是．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：当取得最大值时，飞机停下来，
则，
此时，飞机着陆后滑行米才能停下来．
因此的取值范围是；
即当时，，
所以米，
故答案是：．
由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当取得最大值时，也取得最大值，求得的取值范围即可，结合取值范围求得最后滑行的距离．
本题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：图象开口向上，
，
对称轴为直线，
，
，
图象与轴交点在轴负半轴，
，
，错误．
，
，正确．
抛物线与轴有两个交点，
，正确，
观察图象，当时，，
正确．
故答案为：．
利用图象开口方向，对称轴位置和与轴交点判断，由对称轴为直线判断，由抛物线与轴交点与的关系判断，由图象，判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程的关系．
 

16.【答案】或 

【解析】解：是等边三角形，是边的中点，
只能是，
当点在内时，，此时，点、、三点共线，且在、之间，
，
，
；
当点在外时，，此时，点、、三点共线，且在、之间，
此时，，
，
故答案为：或．
根据题意，判断出只能是，分两种情形，点、、三点共线，且在、之间，或点、、三点共线，且在、之间，分别通过勾股定理求的长即可．
本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，以及勾股定理等知识，判断出是解题的关键．
 

17.【答案】解：，，，
，
，
，．
，
，
，即，
，
，． 

【解析】求出的值，再代入公式求出即可；
移项，配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
 

18.【答案】证明：，
，
方程有两个不相等的实数根；
解：根据一元二次方程根与系数的关系，得，．

，
，

，

解得，，

的值为或．

【解析】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答．
要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的的值大于即可；
根据根与系数的关系可以得到关于的方程，从而可以求得的值．
 

19.【答案】解：设鸡场平行于墙的一边长为米，
根据题意，得，
解得或不合题意，舍去，
米，
答：鸡场的长为米，宽为米． 

【解析】设鸡场平行于墙的一边长为米，根据鸡场的面积列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，点即为所求．

如图，点，点即为所求．
如图，点，线段即为所求，，
故答案为：．
取格点，，连接，交于点，作射线交于点，点即为所求．
根据对称性作出点，取格点，连接交于点，点，即为所求．
利用旋转变换的性质，作出点，线段即可．
本题考查作图旋转变换，线段的垂直平分线的性质，轴对称变换等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
解：由得，无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
第三边的长是，
当为等腰三角形时，为一元二次方程的一个根，
当时，，
解得或，
当时，方程变为，
设等腰三角形的底为，
根据根与系数的关系，，
，
的周长为：；
当时，方程变为，
设等腰三角形的底为，
根据根与系数的关系，，
解得，
的周长为；
综上，当时，是等腰三角形，此时的周长为；
当时，是等腰三角形，此时的周长为；
解：，的长是关于的一元二次方程的两个根，
，，
是以为斜边的直角三角形，且，
，
即，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不合题意，
综上，时，是以为斜边的直角三角形． 

【解析】计算判别式，即可得证；
根据是等腰三角形，可知是方程的一个根，代入方程，求出，当时，当时，再根据根与系数的关系，求出底，即可求出的周长；
根据根与系数的关系，可得，，再根据勾股定理列方程，求出的值，再检验即可确定．
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强．
 

22.【答案】解：设函数的表达式为，
将、代入上式，
得，
解得，
故与的关系式为；
公司销售该商品获得的最大日利润为元，
则，
，，，
，
，
故抛物线开口向下，
故当时，随的增大而增大，
当元时，的最大值为元，
故公司销售该商品获得的最大日利润为元；
当时，，
解得，，
，
，
又，
．
有两种情况，
时，即，
在对称轴左侧，随的增大而增大，
当时，，
时，即，
在范围内，
这种情况不成立，
． 

【解析】用待定系数法即可求解；
公司销售该商品获得的最大日利润为元，则，进而求解；
由题意得：，当时，，解得，，而，进而求解．
本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
 

23.【答案】，   

【解析】解：延长、交于，连接，如图：

，
，
，
是中点，
，
，
≌，
，，
，．
，即，
而，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
为中点，
，；
故答案为：，；
结论还成立，证明如下：
过作交延长线于，连接，如图：

，
，
是中点，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
又，
，
，，
≌，
，，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
是中点，
，；
连接并延长至，使，连接、，如图：

是中点，，
，
是中点，
，
，，
≌，
，
中，，
，即，
，
当等腰绕点顺时针旋转至、、共线不能构成时，如图：

此时最大，最大值为，
故答案为：．
延长、交于，连接，证明≌，得，，从而，是等腰直角三角形，可得，；
过作交延长线于，连接，证明≌，得，，可得，从而≌，即得，，可求出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故，；
连接并延长至，使，连接、，证明≌，得，中，，即知，故当等腰绕点顺时针旋转至、、共线时，最大，最大值为．
本题是几何变换综合题，考查了旋转变换性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

24.【答案】解：设抛物线解析式为，将点代入，
得：，
解得：，
抛物线解析式为．
如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点，
在中，令，得：，
解得：，，
，，
，，
，
，，，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
设，则，，，
，，
，
，
解得：，
，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，得，
解得：，，
点的坐标为
将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，
设，，
设直线解析式为，
由，得：，
直线与抛物线有唯一的公共点，
，
，
直线解析式为，即，
同理，设直线解析式为，
，
直线解析式为，即，
联立方程组，得：，
解得：，
，
设直线解析式为，
，，
，
解得：，
直线解析式为，
轴，
，，
，，
是中点． 

【解析】利用待定系数法即可求得答案；
如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点，利用≌和，求得，设，则，，，运用勾股定理建立方程求得，再求出直线的解析式为，联立方程组求解即可；
将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，设，，利用待定系数法求得直线解析式为，直线解析式为，联立方程组求得，再运用待定系数法求出直线解析式为，根据轴，分别求出，，即可证得结论．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数性质的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，中点坐标公式，利用参数求出，，的解析式是本题的关键．