2022-2023学年四川省德阳市中江县凯江中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

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2022-2023学年四川省德阳市中江县凯江中学九年级（上）第一次月考数学试卷 题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   关于的方程是一元二次方程，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 或   下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是(    )A.  B.  C.  D.    对于任意实数，多项式的值是一个(    )A. 非负数 B. 正数 C. 负数 D. 无法确定   把抛物线绕原点旋转后得到的图象的解析式为(    )A.  B.
C.  D.    下列方程有两个不相等的实数根的是(    )A.  B.  C.  D.    某经济开发区，今年一月份工业产值达亿元，第一季度总产值为亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为(    )A.  B.
C.  D.    已知点、、都在二次函数上，则、、的大小关系为(    )A.  B.  C.  D.    已知等腰三角形中．，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为(    )A.  B.  C. 或 D. 或   函数和是常数，且在同一直角坐标系中的图象可能是(    )A.  B.
C.  D. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值(    )A.  B.  C.  D. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 如图，二次函数的图象与轴的两个交点分别为，对于下列命题：；；，其中正确的个数是(    )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共8小题，共32分）把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______．若方程的一个根是，则另一个根是______ ．已知一个三角形的三边都是方程的根，则此三角形的周长为______ ．已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是______ ．若关于的方程的解是，、、均为常数，，则方程的解是______．如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为______
 已知点在二次函数的图象上，当时，的取值范围是______．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度米与小球运动时间秒之间关系是，则小球从抛出后运动秒共运动的路径长是______米． 三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解方程：
配方法；
；
分解因式法；
．本小题分
已知：关于的一元二次方程有实根．
求的取值范围；
若原方程两个实数根为，，是否存在实数，使得？请说明理由．本小题分
已知：如图，抛物线与直线交于、两点，若点的坐标为求：
抛物线与直线的解析式；
点的坐标；
的面积．
本小题分
某商品进价为每件元，现售价为每件元，每星期可卖出件，经市场调查反映，每次涨价元，每星期可少卖件．
在一个星期内要想获利元的利润，尽量减少库存，该商品应涨价多少元；
在一个星期内能否获利元，若能，请求出商品的定价，若不能，请说明理由．本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
求这个二次函数的关系解析式，满足什么值时？
点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，
，
解得，
故选：．
根据关于的方程是一元二次方程，可得且，进一步求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】【分析】
根据二次函数的性质，开口向下，二次项系数小于，二次项系数的绝对值越小，开口越大解答．
本题考查了二次函数的性质，熟记二次项系数与二次函数的开口方向和开口大小的关系是解题的关键．
【解答】
解：抛物线开口向下，
二次项系数小于，
，
的开口更大．
故选：．  3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了配方法的应用和非负数的性质，灵活运用这一性质是解决此类问题的关键．
根据完全平方公式，将转化为完全平方的形式，再进一步判断．
【解答】
解：，
，
，
所以的最小值是，
故多项式的值是一个正数，
故选B．  4.【答案】 【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
绕原点旋转后的抛物线的顶点坐标为，
所得到的图象的解析式为．
故选：．
求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
 5.【答案】 【解析】解：、，此方程无实数根，故本选项错误；
B、原方程可化为，，此方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
C、，此方程无实数根，故本选项错误；
D、，此方程有两个不相等的实数根，故本选项正确．
故选：．
根据根的判别式对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选B．
增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几个月的产值，再根据题意列出方程即可．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质、解题的关键是灵活运用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
二次函数抛物线开口向下，且对称轴为根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】
解：二次函数，，
该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：．
点、、都在二次函数的图象上，
而三点横坐标离对称轴的距离按由近到远为：
、、，
．
故选：．  8.【答案】 【解析】解：根据题意，若为等腰三角形的腰，则方程有一个根为，
将代入得：，
解得：，
当时，方程为，解得：或，符合题意；
若为等腰三角形的底边，则方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
此时方程为，解得，符合题意；
综上的值为或，
故选：．
分两种情况：若为等腰三角形的腰，即方程有一个根为，将代入方程求得的值，再将的值代回方程求得的值，根据三角形三边之间的关系判断是否能构成三角形；若为等腰三角形的底边，则方程有两个相等的实数根，根据判别式为求得的值，再判断即可得．
本题主要考查根的判别式、方程的解的定义、等腰三角形的性质及三角形三边之间的关系，根据等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误．故选：．
可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
 10.【答案】 【解析】解：抛物线与轴的一个交点为，
，
解得，
，
故选：．
由于函数图象上的点的坐标满足函数关系式，于是把代入抛物线关系式中，求出接下来求出的值，然后将的值整体代入的中计算即可得到答案．
本题考查抛物线上的点与抛物线的关系式之间的关系，正确理解两者关系是解决本题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，

由图象可知：，
解得．
故选：．
根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于列式计算即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：根据图象可得：，，
对称轴：，
它与轴的两个交点分别为，，
对称轴是直线，
，
，
故错误；
，
，
，
，故错误；
，
，
，
又由得，
，
故此选项正确；
根据图示知，当时，，
，
由知，，
；
故错误；
正确的有个．
故选A．
首先根据二次函数图象开口方向可得，根据图象与轴交点可得，再根据二次函数的对称轴，结合图象与轴的交点可得对称轴为直线，结合对称轴公式可判断出的正误；根据对称轴公式结合的取值可判定出，根据、、的正负即可判断出的正误；利用，求出，再利用当时，，则，由知，，得出．
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
 13.【答案】 【解析】解：向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为；
故答案是：．
根据二次函数图象与几何变换的方法即可求解．
主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 14.【答案】 【解析】解：设方程的另一个根为，
根据题意得，
所以．
故答案为．
设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
 15.【答案】或或 【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．首先解方程求得方程的解，然后确定三角形的三边长，从而确定三角形的周长．
【解答】
解：
，
则或，
则，．
当三边长都是时，三角形的周长是；
当三边长都是时，三角形的周长是；
当有两边长是，一边长是时，周长是．
故答案是：或或．  16.【答案】，且 【解析】解：由题意知，，，
且．
方程有两个不相等的实数根，则，建立关于的不等式，求出的取值范围．
总结：
一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
一元二次方程的二次项系数不为．
 17.【答案】， 【解析】解：关于的方程的解是，、、均为常数，，
方程中或，
解得：或，
即方程的解是，，
故答案为：，．
根据已知方程的解得出或，求出即可．
本题考查了解一元二次方程，能根据已知方程的解得出或是解此题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：抛物线经过点，对称轴是直线，
与轴的另一交点为，
．
故答案为：．
根据二次函数的对称性求出抛物线与轴的另一交点为，由此求出的值．
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线与轴的另一交点为是解题的关键．
 19.【答案】 【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式和题意，可以求得相应的的取值范围，本题得以解决．
【解答】
解：二次函数，
该函数对称轴是直线，当时，取得最小值，此时，
，，
当时，，取得最大值，此时，
点在二次函数的图象上，
当时，的取值范围是：，
故答案为：．  20.【答案】 【解析】解：，
当时，取得最大值，此时，
小球从抛出后运动秒共运动的路径长是：米，
故答案为：．
根据题目中的函数解析式可以求得的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动秒共运动的路径长，本题得以解决．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的总的路径的长．
 21.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
，
，
，
，
；
，
，
，
或，
，；
，
，
，
，，． 【解析】移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
整理成一般式，然后利用因式分解法求解即可；
移项，然后利用因式分解法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法、直接开平方法、公式法、配方法．
 22.【答案】解：方程是一元二次方程，
，

，
解得：，
即的取值范围为：且，
，
假设存在实数，使得，
，，
把，代入得：
，
解得：，
的取值范围为：且，
不合题意舍去，
即不存在实数，使得． 【解析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键：根据判别式，列出关于的一元一次方程，正确掌握根与系数的关系，列出一元二次方程．
【解答】
根据“关于的一元二次方程有实根”，判别式，得到关于的一元一次方程，解之即可，
根据“”，通过整理变形，根据根与系数的关系，得到关于的一元二次方程，解之，结合的结果，即可得到答案．
 23.【答案】解：直线过点，
，
解得，
直线所表示的函数解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
抛物线所表示的函数解析式为．
解，得或，
的坐标为
由直线所表示的函数解析式为，
可知直线与轴的交点的坐标为，
的面积，的面积，
的面积． 【解析】将点的坐标代入中，可求直线的解析式，将点坐标代入中，可求抛物线的解析式．
联立方程，解方程组即可求得的坐标；
根据的面积的面积的面积，即可求得．
本题考查了一次函数、二次函数解析式的求法，以及直线和抛物线的交点，与坐标轴的交点等，属于基础题目，需熟练掌握．
 24.【答案】解：设每件涨价元，则每件的利润为元，每星期可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
尽量减少库存，
．
答：该商品应涨价元．
设每件涨价元，则每件的利润为元，每星期可售出件，
依题意得：，
整理得：，
，
此方程没有实数根，
不能获利元． 【解析】设每件涨价元，则每件的利润为元，每星期可售出件，利用销售该商品一个星期内获得的利润每件的利润每星期的销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽量减少库存，即可确定的值；
设每件涨价元，则每件的利润为元，每星期可售出件，利用销售该商品一个星期内获得的利润每件的利润每星期的销售数量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程没有实数根，进而可得出不能获利元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 25.【答案】解：函数表达式为：，
，解得：，
抛物线的表达式为：，
当或时，；
存在，理由：
过点作平行于轴的直线交于点，

将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，
解得：，
故直线的表达式为：，
设点，则点，
面积，
，故当时，有最大值，
 【解析】函数表达式为：，即可求解；
面积，即可求解．
本题考查抛物线与轴的交点，关键是对二次函数性质的应用．