2022-2023学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   的相反数是(    )A.  B.  C.  D.    下列所给的事件中，是必然事件的是(    )A. 买注福利彩票会中奖
B. 某校的名学生中，至少有名学生的生日是同一天
C. 连续次投掷质地均匀的硬币，会有次硬币正面朝上
D. 年的春节假期长沙会下雪   奥运火炬时隔年再次在“鸟巢”点燃，北京由此成为世界上首个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运会的“双奥之城”，下列各届冬奥会会徽图案中，是中心对称图形的是(    )A.  B.
C.  D.    下列运算中，正确的是(    )A.  B.
C.  D.    二次函数的顶点坐标是(    )A.  B.  C.  D.    方程的解为(    )A.  B.  C.  D.    如图，已知，，若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D.
    如图，将绕点顺时针旋转得到若点，，在同一条直线上，，则的度数是(    )
 A.  B.  C.  D.    如图，是的直径，弦于，若，，则长为(    )
A.  B.  C.  D. 如图，等边的边长为，分别以顶点、、为圆心，长为半径作弧、弧、弧，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形．设点为对称轴的交点，如图，将这个图形的顶点与等边的顶点重合，且，，将它沿等边的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是(    )
A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18分）由得到的条件是： ______ 填“”，“”或“”．已知点与点关于原点对称，则的值为______．小强投一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，则向上的一面的点数大于且小于的概率为______．如图，若以为边长作的内接正多边形，则这个多边形是正______边形．
 如图，是的直径，切于点若，则的大小为          
 
 如图，在中，，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，的面积为，则的长为______．
  三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：．本小题分
先化简，再求值：，其中．本小题分
如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：
画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标；
计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度．
本小题分
为了解某校九年级全体男生米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为、、、四个等级，绘制出如下两幅不完整的统计图表，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表成绩等级频数表中的______，扇形图中表示的圆心角的度数为______度．
甲、乙、丙、丁是等级中的四名学生，学校决定从这四名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，请用列表法或画树状图法，求同时抽到甲和乙两名学生的概率．
本小题分
如图，四边形内接于，为的直径，．
试判断的形状，并给出证明；
若，，求的长度．
 
本小题分
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的北上徐则臣著和牵风记徐怀中著两种书共本．已知购买本北上和本牵风记需元；购买本北上与购买本牵风记的价格相同．
求这两种书的单价；
若购买北上的数量不少于所购买牵风记数量的一半，且购买两种书的总价不超过元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？本小题分
如图，是圆被直径分成的半圆上一点，过点的圆的切线交的延长线于点，连接，，．
求证：；
若，求的度数；
在的条件下，若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号．
本小题分
定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“阶方点”．
在；；三点中，是正比例函数图象的“阶方点”的有______填序号；
若关于的一次函数图象的“阶方点”有且只有一个，求的值；
若函数图象恰好经过“阶方点”中的点，则点称为此函数图象的“不动阶方点”，若关于的二次函数的图象上存在唯一的一个“不动阶方点”，且当时，的最小值为，求的值．本小题分
已知为的外接圆，．
如图，延长至点，使，连接．
求证：为直角三角形；
若的半径为，，求的值；
如图，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数．在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 2.【答案】 【解析】解：、买注福利彩票会中奖是随机事件，故本选项不符合题意；
B、某校的名学生中，至少有名学生的生日是同一天是必然事件，故本选项不符合题意；
C、连续次投掷质地均匀的硬币，会有次硬币正面朝上是随机事件，故本选项不符合题意；
D、年的春节假期长沙会下雪是随机事件，故本选项不符合题意．
故选：．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 3.【答案】 【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 4.【答案】 【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法判断选项；根据合并同类项判断选项；根据幂的乘方与积的乘方判断选项；根据积的乘方和同底数幂的乘法判断选项．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握，是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标为．
故选：．
直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，找出函数图象的顶点坐标是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
经检验是原方程的解，
则方程的解为．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解
此题考查了分式方程的解，注意解分式方程时，先把分式方程转化为整式方程再求解，最后注意需验根．
 7.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】【分析】
此题考查旋转的性质，等腰直角三角形，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转得到，，
，，，
是等腰直角三角形，
，
点，，在同一条直线上，
，
，
，
故选：．  9.【答案】 【解析】解：，是直径，
，
，
在中，．
故选：．
先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，然后根据含度的直角三角形三边的关系得到的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
 10.【答案】 【解析】解：如图中，等边的边长为，等边的边长为，
，
由题意知，，，
，
，
图形在运动过程中所扫过的区域的面积为；
故选：．
先判断出莱洛三角形等边绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；
本题考查轨迹，弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解题的关键是判断出莱洛三角形绕等边扫过的图形．
 11.【答案】 【解析】解：根据不等式的性质，由得到的条件是：．
故答案为：．
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：、不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；、不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；、不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 12.【答案】 【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
．
故答案为：．
利用关于原点对称的点的坐标特征得到，，从而得到的值．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
 13.【答案】 【解析】解：一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，点数大于且小于的有，，，共个，
这个骰子向上的一面点数大于且小于的概率为．
故答案为：．
骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数大于且小于有几种，直接应用求概率的公式求解即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 14.【答案】六 【解析】解：连接，
，
是等边三角形，
，
，
故这个多边形是正六边形．
故答案为：六．
连接，由题意得到是等边三角形，于是得到结论．
本题考查了正多边形和圆的有关知识、等腰三角形的判断和性质以及多边形内角和定理的运用，熟记多边形内角和定理计算公式是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】【分析】
直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出答案．
此题主要考查了切线的性质，正确得出的度数是解题关键．
【解答】
解：连接，
切于点，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．  16.【答案】 【解析】解：如图所示，过作于，
由题可得，平分，，
，
设，
的面积为，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
过作于，依据角平分线的性质，即可得到，再根据的面积为，即可得到的长．
本题考查了作图基本作图、角平分线的性质的运用，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 17.【答案】解：

． 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 18.【答案】解：

，
当时，原式

． 【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 19.【答案】解：如图所示，即为所求，其中，，
，，
弧的长度． 【解析】分别作出点、绕点顺时针旋转所得对应点，再与点首尾顺次连接即可得；
利用弧长的公式求解可得．
本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及扇形的面积公式．
 20.【答案】   【解析】解：根据题意可得，总体为，某校九年级全体男生米跑步的成绩，
人，
可得人，
，
故答案为：，；
从甲、乙、丙、丁中任取两人，所有可能出现的结果情况如下：


共有种可能出现的结果，其中同时抽到甲、乙两名学生的有种，
所以同时抽到甲、乙两名学生的概率为．
由统计图表可得“等级”的频数为人，占调查人数的，从而求出调查人数，根据各组频数之和等于样本容量，可求出的值，求出“等级”所占得出人数的百分比，进而估计总体中“等级”所占的百分比，进而求出相应的圆心角的度数；
列举出所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查统计的过程与方法，列表法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结构情况是正确解答的关键．
 21.【答案】解：是等腰直角三角形，证明过程如下：
为的直径，
，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形．
在中，，
，
在中，，，
．
即的长为：． 【解析】根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键．
 22.【答案】解：设购买北上的单价为元，牵风记的单价为元，
由题意得：，
解得．
答：购买北上的单价为元，牵风记的单价为元；
设购买北上的数量为本，则购买牵风记的数量为本，
根据题意得，
解得：，
则可以取、、、，
当时，，共花费元；
当时，，共花费元；
当时，，共花费元；
当时，，共花费元；
所以，共有种购买方案分别为：购买北上和牵风记的数量分别为本和本
购买北上和牵风记的数量分别为本和本
购买北上和牵风记的数量分别为本和本
购买北上和牵风记的数量分别为本和本；
其中购买北上和牵风记的数量分别为本和本费用最低，最低费用为元． 【解析】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
设购买北上的单价为元，牵风记的单价为元，根据“购买本北上和本牵风记需元”和“购买本北上与购买本牵风记的价格相同”建立方程组求解即可；
设购买北上的数量本，则购买牵风记的数量为本，根据“购买北上的数量不少于所购买牵风记数量的一半”和“购买两种书的总价不超过元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
 23.【答案】证明：是半圆的直径，
，
是半圆的切线，
，
，
；
解：由知，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
答：的度数是；
解：由知，
，
，，
，
阴影部分的面积是，
答：阴影部分的面积是． 【解析】由是半圆的直径，是半圆的切线，可得，即得；
由，可得，从而，，可得的度数是；
，可得，，即得，故阴影部分的面积是．
本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
 24.【答案】 【解析】解：到轴距离为，不符合题意，
到两坐标轴的距离都等于，符合题意，
到轴距离为，到轴距离为，符合题意，
故答案为：．
，
函数经过定点，
在以为中心，边长为的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“阶方点”有且只有一个，

由图可知，，，
一次函数图象的“阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，
解得，此时图象的“阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，
解得，此时图象的“阶方点”有且只有一个，

综上所述：的值为或．
点在直线上，
的图象上存在唯一的一个“不动阶方点”时，方程有两个相等实数根，
，
，
当时，的最小值为，
若，则的最小值为，则，
解得，不符合题意．
当时，若，则取最小值，即
解得舍或，
当时，若，则取最小值，即
解得舍或，
综上所述，或．
根据定义进行判断即可；
在以为中心，边长为的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“阶方点”有且只有一个，结合图象求的值即可；
在以为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
 25.【答案】证明：，，
．
，

即
为直角三角形；
解：连接，，如图，

，
，
且．
的半径为，
．
设，则，
，
，
．
解得：．
．
由知：，
，
．
，
．
，，三者之间的数量关系为：理由：
延长交于点，连接，，如图，

，，
．
，．
．
．
与关于对称，
，
，
．
．
．
即．
，
．
在和中，

≌．
．
． 【解析】利用“如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么可以证得这个三角形是直角三角形”可得出结论；
连接，，利用垂径定理得到且，设，则，利用勾股定理列出方程求得的值，再利用三角形的中位线定理得到；
猜想，，三者之间的数量关系为：延长交于点，连接，，由已知可得；利用同弧所对的圆周角相等，得到，，由于与关于对称，于是，则得为等腰直角三角形，为直角三角形；利用勾股定理可得：，；利用≌得到，等量代换可得结论．
本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．