2022-2023学年吉林省长春市九台区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省长春市九台区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市九台区九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   下列各式中，是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D.    下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D.    将方程化成的形式，则，，的值分别为(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，   若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为(    )A.  B.  C.  D.    在解一元二次方程时，童威看错了常数项，得到方程的两个根是、，胖何看错了一次项系数，得到方程的两个根是、，则原来的方程是(    )A.  B.
C.  D.    下列各组的四条线段，，，是成比例线段的是(    )A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，   如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，则的长是(    )A.
B.
C.
D.    如图，矩形的两边在坐标轴上，点为平面直角坐标系的原点，以轴上的某一点为位似中心，作位似图形，且点，的坐标分别为，，则位似中心的坐标为(    )A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共6小题，共18分）   二次根式中的最小整数值是______．若，则______．若，且，则______．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______．如图，平行于的线段把分成面积相等的两部分，则______．
 如图，在中，，是的中位线，，分别平分和，与交于点，点在点的左侧，若，，则的面积是______．
  三、解答题（本大题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
化简：．本小题分
解方程：．本小题分
如图，四边形∽四边形．
______
求边，的长度．
本小题分
某市计划今年年底实现垃圾分类，第一季度已经有个社区实现垃圾分类，第三季度有个社区实现垃圾分类．若该市每个季度实现垃圾分类的社区数量的增长率相同，求实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率．本小题分
图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图，图，图给定的网格中按要求画图．
在图中，画出格点，使，用黑色实心圆点标出点所有可能的位置．
在图中，在线段上画出点，使．
在图中，在线段上画出点，使保留作图痕迹
本小题分
如图．已知是的角平分线，是延长线上的一点且．
求证：∽；
若，，，求的长．
本小题分
月日上午，庆祝中国共产主义青年团成立周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在处竖立一根标杆，地面上的点、标杆顶端和点在一条直线上，米，米，米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在点时点、、在一条直线上，米，米，，已知，，，点、、、在同一水平直线上，点在上，求旗帜的宽度．
 
本小题分
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．猜想：如图，在中，点、分别是与的中点．
根据画出的图形，可以猜想：
，且．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．【定理证明】请根据教材内容，结合图，写出证明过程．
【定理应用】如图，已知矩形中，，，点在上从向移动，、、分别是、、的中点，则______．
【拓展提升】在中，，点是的中点，过点作平分线的垂线，垂足为点，连结，若，则______．
 本小题分
某商店以元千克的价格新进一批商品，经调查发现，销量千克与销售价格千克之间存在如图所示的函数关系．
求与的函数表达式；
要使销售利润达到元，销售价格应定为每千克多少元？
本小题分
如图，在平行四边形中，，，点沿方向以每秒个单位长度运动，点为中点，连结，作点关于直线的对称点设点的运动时间为秒．
求的长．
求的长用含的代数式表示．
当点、、三点共线时，求的值．
当点落在直线上时，直接写出的面积．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次根式的加减、二次根式的化简、二次根式的乘除等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
分别根据二次根式的加减法则、二次根式的化简方法、二次根式的乘法法则求解，然后选择正确选项．
【解答】
解：、和不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，原式计算正确，故正确；
C、，原式计算错误，故错误；
D、，原式计算错误，故错误．
故选B．  3.【答案】 【解析】解：将方程化成的形式，可得，
则，，的值分别为，，，
故选：．
任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
，
由题意知，
解得，
故选：．
将左边展开，再移项可得关于的方程，解之即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 5.【答案】 【解析】解：设此方程的两个根是、，
根据题意得：，，
则以、为根的一元二次方程是．
故选：．
先设这个方程的两根是、，根据两个根是，和两个根是，，得出，，从而得出符合题意的方程．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 6.【答案】 【解析】解：，故不符合题意；
B.，故不符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，故符合题意．
故选：．
根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
 7.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
利用平行线分线段成比例定理求出，可得结论．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
 8.【答案】 【解析】解：如图，连接交轴于，

四边形和四边形是矩形，点，的坐标分别为，，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，，
点的坐标为，
故选：．
连接交轴于，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，求出点的坐标即可．
本题主要考查位似变换，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
的最小整数值是．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数得到的取值范围即可得到的最小整数值．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：由题意可得：，
解得：，
则，
故．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的值是解题关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案为：．
由，可得，然后代入所求的分式计算可得答案．
此题考查的是比例的性质，根据比例性质进行变形是解决此题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 13.【答案】 【解析】解：，
∽，
把分成面积相等的两部分，
，
，
，
故答案为：．
由平行于的直线把分成面积相等的两部分，可知与相似，且面积比为，则相似比为，即可得出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：是的中位线，，
，，
，，
，分别平分和，
，，
，，
，，
，，
，
是的中位线，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，，根据等腰三角形的判定定理得到，，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 15.【答案】解：



． 【解析】先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减运算，合并同类二次根式．
此题考查了二次根式的加减运算能力，关键是能按先化简，后加减的顺序进行正确计算．
 16.【答案】解：，

则
，． 【解析】本题考查解一元二次方程配方法．
根据配方法可以解答此方程．
 17.【答案】 【解析】解：四边形∽四边形，
，
，
故答案为；
四边形∽四边形，
，
解得，．
直接利用相似多边形的性质即可得到答案．
此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．
 18.【答案】解：设实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率为． 【解析】设实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率为，利用第三季度实现垃圾分类的社区数量第一季度实现垃圾分类的社区数量平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率为．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 19.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求． 【解析】构造等腰直角三角形即可；
利用平行线分线段成比例定理作出图形即可；
利用平行线分线段成比例定理作出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 20.【答案】证明：是的角平分线，
．
，
．
．
，
∽．
解：，，
．
∽，
．
，，
．
． 【解析】是角平分线可得，可得，从而，再利用对顶角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得结论；
由中的结论，利用相似三角形对应边成比例得出比例式，将已知线段代入可求．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确合理的使用相似三角形的判定定理是解题的关键．
 21.【答案】解：如图，延长交于，则，，

，，
，
∽，
，即，
，
同理得：∽，
，
，
，
米．
答：旗帜的宽度是米． 【解析】如图，延长交于，则，，证明∽和∽，可得和的值，最后由线段的和差可得结论．
本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
 22.【答案】   【解析】证明：点、分别是与的中点，
，
∽，
，，
，；

解：如图，连接，

是的中点，是的中点，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
解：如图，延长交于点，

平分，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
点是的中点，
是的中点，
是的中位线，
．
，
故答案为：．
利用两边成比例，夹角相等证明∽，即可证明；
连接，在中求出，再由中位线的性质求即可；
延长交于点，证明≌，得出，，再根据中位线的判定与性质定理得出，即可求解．
本题是四边形综合题，综合考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线点的定义，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 23.【答案】解：当时，；
当时，设与的函数表达式为，
把，代入，
可得，
解得，
，
与的函数表达式为；
若销售利润达到元，
若，则，
解得，，
若，则，
解得不合题意，
要使销售利润达到元，销售单价应定为每千克元或元． 【解析】当，销售量为得出函数解析式；当时，利用待定系数法即可得到与的函数表达式；
根据销售利润达到元，可得方程，解方程即可得到销售单价．
本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解方程即可．
 24.【答案】解：，为中点，
，，
；
当时，此时点在上，
由题意得：，
；
当时，此时点在上，
由题意得：点移动的距离，
，
综上，的长为或；
当点、、三点共线时，如图，

四边形是平行四边形，
，，
为中点，
，
．
，
，
，
，
．
由知：，
．
．
当点、、三点共线时，的值为；
当点落在直线上时，的面积为或理由：
当时，此时点在上，
过点作于点，如图，

由轴对称的性质得：，，．
．
，，
，
，
．
，，
，
，，
，
．
解得：，
．
的面积；
当时，此时点在上，
过点作于点，如图，

由轴对称的性质得：，．
．
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
．
解得：，
．
的面积，
综上，当点落在直线上时，的面积为或． 【解析】利用等腰三角形的性质和勾股定理解答即可；
利用分类讨论的方法，根据距离速度时间解答即可；
画出符合题意的图形，利用平行线的性质求得的长度，利用时间距离速度解答即可得出结论；
依据分类讨论的方法，画出图形，利用平行线分线段成比例定理求得值，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是动点问题，利用含的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．