2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知，则下列各式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    抛物线的对称轴是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中为米，则约为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

4.    将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    如图，已知，请你再添加一个条件________使得∽则下列选项不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，在平行四边形中，是边上等分点，交于点则与的面积比为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示下列说法正确的是(    )

A.
B.
C.
D. 其中

8.    使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量单位：与旋钮的旋转角度单位：度近似满足函数关系如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9.    请你写出一个二次函数，其图象满足条件：开口向上；与轴的交点坐标为此二次函数的解析式可以是______ ．
10. 如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，若，，，则的长是______．

11. 将二次函数化为的形式，结果为______．
12. 如图，中，，，，那么______．

13. 已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是______填“”，“”或“”
14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______．

15. 九章算术中记载了一种测量井深的方法如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为______ 米

16. 如图，抛物线将该抛物线在轴和轴上方的部分记作，将轴下方的部分沿轴翻折后记作，和构成的图形记作．
    关于图形，给出如下四个结论：图形关于轴成轴对称；图形有最小值，且最小值为；当时，图形的函数值都是随着的增大而增大的；当时，图形恰好经过个整点即横、纵坐标均为整数的点以上四个结论中，所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知二次函数．
    求该二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
    求该二次函数图象与轴、轴的交点．
18. 本小题分
    如图，在中，，点是上一点，于点求证：∽．

19. 本小题分
    如图，函数的图象经过点，，求此函数表达式．

20. 本小题分
    如图是边长为的正方形网格，的顶点均在格点上．
    在该网格中画出的顶点均在格点上，使∽；
    说明和相似的依据．

21. 本小题分
    一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：

求这个二次函数的表达式；
求的值；
在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
根据图象，写出当时，的取值范围．

22. 本小题分
    已知：如图，在中，，是边上的高．
    求证：∽；
    如果，，求的长．

23. 本小题分
    如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．
    求证：∽；
    若，，，求的长．

24. 本小题分
    年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．
    当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
    在的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？

25. 本小题分
    学习完相似形一章之后，数学兴趣小组利用相似三角形的有关知识测量校园内一棵树高，他们的方法如下：
    如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为，则可测得大树的高度．
    请你根据上述方法求出树高；
    请你设计一个其他的测量方案，并简述方案．

26. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知抛物线．
    求该抛物线的对称轴和顶点坐标用含的代数式表示；
    如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式；
    如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出的取值范围．

27. 本小题分
    如图，为四边形内一点，为的中点，，，．
    若，，求的长；
    用等式表示线段和之间的关系，并证明．

28. 本小题分
    对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是．
    函数和中是有上界函数的为______只填序号即可，其上确界为______；
    如果函数的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；
    如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，，所以选项符合题意，、、选项不符合题意．
故选：．
根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线，
对称轴为直线．
故选：．
直接根据抛物线顶点式即可求得．
本题考查的是二次函数的性质，即二次函数的顶点坐标是，对称轴直线．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
根据雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，因为图中为米，即可求出的值．
【解答】
解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，
，
为米，
米．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：原抛物线的顶点为，向右平移个单位，再向上平移个单位后，那么新抛物线的顶点为：．
可设新抛物线的解析式为，代入得．
故选：．
由抛物线平移不改变二次项系数的值，根据点的平移规律“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
当添加条件时，则∽，故选项A不符合题意；
当添加条件时，则∽，故选项B不符合题意；
当添加条件时，则∽，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意；
故选：．
根据相似三角形的判定方法即可得以解决．
本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，是上的等分点，
，，，
∽，
，
故选：．
利用平行四边形的性质以及相似三角形的判定得出∽，进而求出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出∽是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
，
，所以选项错误；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
，所以选项错误；
时，，
，所以选项错误；
时，有最大值，
，
即，所以选项正确．
故选：．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则根据判别式的意义可对选项进行判断；由于时，，则可对选项错误；根据二次函数的最值问题可对选项进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．
当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．
常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．
抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

8.【答案】 

【解析】解：把，，代入得：
，
解得，
，
，
时，最小为，
燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为，
故选：．
用待定系数法求出解析式，再用二次函数性质即可得到答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数解析式．
 

9.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质．
二次函数的解析式是、、为常数，，根据开口向上得出为正数，根据与轴的交点坐标为得出，写出一个符合的二次函数即可．
【解答】
 解：答案不唯一，
如：，
故答案为：答案不唯一．  

10.【答案】 

【解析】解：直线，
，
，，，
，
，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：
一般式：、、为常数；
顶点式：；
交点式与轴：
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，
故答案为：．
由线段的和差关系可得的长，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点、是二次函数图象上的两点，
，．
．
故答案为：．
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出，的值，比较后即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出，的值是解题的关键．
 

14.【答案】， 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线和轴的一个交点坐标为，
则根据二次函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，
则关于的一元二次方程的解为或，
故答案为：，．
抛物线的对称轴为直线，抛物线和轴的一个交点为，则根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，即可求解．
本题考查抛物线与轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
∽，
，
，
米，
故答案为．
根据平行线的判定定理得到，于是得到∽，相似三角形的性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图形可知，图形关于轴成轴对称，故正确；
图形有最小值，且最小值为，故正确；
当时，图形的函数值先随着的增大而减小，当函数值为后，再随的增大而增大，故错误；
当时，图形恰好经过，，，，共个整点即横、纵坐标均为整数的点，故正确，
所以，是正确的结论．
故答案为：．
画出翻折后的，然后根据图形即可判断．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为．
将代入得，
解得，，
抛物线与轴交点坐标为，，
将代入得，
抛物线与轴交点坐标为． 

【解析】由二次函数顶点式求解．
分别将，代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

18.【答案】证明：于点，
．
，
∽． 

【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形判定，本题属于中等题型．
 

19.【答案】解：函数的图象经过点，，，，，
，解得，
此函数表达式为． 

【解析】把、的坐标代入，求得、的值，利用待定系数法即可求得函数的表达式．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，即为所求；
相似的理由是三边成比例两三角形相似．
 

【解析】利用相似三角形的判定画出图形即可；
根据三边成比例两三角形相似判断即可．
本题考查作图相似变换，解题的关键是掌握相似变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：由图表可知抛物线的顶点坐标为，
所以，设这个二次函数的表达式为，
图象过点，
，
，
这个二次函数的表达式为；

时，；

函数图象如图所示；

时，或． 

【解析】先确定出顶点坐标，再设顶点式解析式为，然后将点代入求出的值，从而得解；
将代入函数解析式计算即可得解；
根据二次函数图象的画法作出图象即可；
根据函数图象，写出轴上方部分的的取值范围即可．
本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，从表格中判断出顶点坐标是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，是边上的高，
，
又，
∽；
解：，，
，
∽，
，
． 

【解析】由于，，从而可证明∽；
根据已知可求出，根据相似三角形的性质，从而可求出的长度．
本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
．
，
∽．
解：∽，
，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得出故，再由即可得出结论；
根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：由题意可知抛物线：过点和，将其代入得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意得：
，
整理得：，
解得：，舍去，
故运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米． 

【解析】根据题意将点和代入：求出、的值即可写出的函数解析式；
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意得：，解出即可．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：，，
∽，
：：，
即：：，
，
大树的高度为；
在距离树的米的处，用测角仪测得仰角，测角仪为．
再根据仰角的定义，构造直角三角形，求得树高出测角仪的高度，则树高为．
 

【解析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高；
在距离树的米的处，用测角仪测得仰角，测角仪为再根据仰角的定义，构造直角三角形，利用三角函数计算可得答案．
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 

26.【答案】解：，
该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
抛物线的顶点恰好在轴上，
方程有两个相等的根，
，
解得或舍去，
抛物线的表达式为；
的取值范围是． 

【解析】解：见答案；
见答案；
，
抛物线开口向上，
、、为该抛物线上三点，且总有，抛物线的对称轴为直线，
，解得，
或，该不等式组无解
的取值范围是．

解析式化成顶点式即可求得对称轴和顶点坐标；
根据题意，解得，即可得到抛物线的表达式为；
根据题意得到或，解不等式组即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：，，
∽，
，
，为的中点，
，
，
或不合题意舍去，
；
解：线段和的数量关系是，
证明：如图，延长到点，使得，连接，，

，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
通过证明∽，可得，即可求解；
如图，延长到点，使得，连接，，可证四边形是平行四边形，可得，，由“”可证，可得，可得结论．
 

28.【答案】，
，随值的增大而减小，
当时，，
上确界是，
，
函数的最小值不超过，
，
，
，
，
，
的取值范围为：；
的对称轴为直线，
当时，的最大值为，
为上确界，
，
舍；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
舍；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
舍，
综上所述：的值为． 

【解析】解：，
无上确界；
，
，
有上确界，且上确界为，
故答案为：，；
见答案；
见答案．

分别求出两个函数的最大值即可求解；
由题意可知：，再由，，，即可求的取值范围；
当时，，可得舍；当时，，可得舍；当时，，可得；当时，，可得舍．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．