2022-2023学年江苏省南通市海安市紫石中学九年级（上）调研数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南通市海安市紫石中学九年级（上）调研数学试卷（10月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市海安市紫石中学九年级（上）调研数学试卷（10月份）一、选择题（本题共10小题，共30分）   下列方程中是关于的一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D.    已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值等于(    )A.  B.  C.  D.    如果将抛物线先向下平移个单位，再向左平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是(    )A.  B.  C.  D.    在某次聚会上每两个人都握了一次手，所有人共握手次．设有人参加这次聚会，则列出方程正确的是(    )A.  B.  C.  D.    已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )A.  B.  C. 且 D. 且   二次函数，自变量与函数的对应值如表：下列说法正确的是(    )A. 抛物线的开口向下 B. 二次函数的最小值是
C. 当时，随的增大而增大 D. 抛物线的对称轴是  已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为(    )A.  B.  C.  D.   如图，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是(    )A.
B.
C.
D.
   已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等，点的坐标为，是抛物线上一动点，则周长的最小值是(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，在矩形中，，点，同时从点出发、终点都是点速度都是，点的运动路径是，点的运动路径是设线段与左侧矩形的边围成的阴影部分面积为，则面积与运动时间之间的函数图象为(    )
A.  B.
C.  D. 二、填空题（本题共8小题，共32分）一元二次方程的一个根是，则的值是______．如图所示，中，，将绕点按顺时针方向旋转，对应得到，则的度数为______．
 设，分别为一元二次方程的两个实数根，则______．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，、分别是、的中点，若，，则线段的长为______．
 对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则的取值范围是______ ．已知实数，满足，则代数式的最小值等于______．飞机着陆后滑行的距离单位：关于滑行时间单位：的函数解析式是在飞机着陆滑行中，最后滑行的距离是______新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为二倍点．若二次函数为常数在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是______．三、解答题（本题共8小题，共90分）解下列方程：
配方法；
．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
写出方程的两个根；
写出随增大而增大时自变量的取值范围；
若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
如图，在等边三角形内有一点，，，，求的度数提示：利用旋转
已知关于的方程．
证明：不论为何值时，方程总有实数根；
为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．
求此抛物线的解析式；
若点是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为元，经过市场调查，一周的销售量件与销售单价元件的关系如表：销售单价元件一周的销售量件试销过程发现，一周销量万件与销售单价元件之间关系可以近似地看作一次函数，求出与的函数关系式；
设一周的销售利润为元，请求出与的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润不低于元？
在雅安地震发生时，商家已将商品一周的销售利润全部寄往灾区，已知商家购进该商品的货款不超过元，请你分析该商家当时最大捐款数额是多少元？二次函数．
求该二次函数的对称轴；
若图象过点，且，求的取值范围；
若点，在该二次函数图象上，且，求的取值范围．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”例如，点是函数的图象的“等值点”．
判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
求函数的图象的“等值点”坐标；
若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，求出的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意；
B.当、、均为常数，而时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C.它是一元二次方程，故此选项符合题意；
D.含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行判断即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
 2.【答案】 【解析】解：把代入一元二次方程可得：，
即，
故选：．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，将代入原方程即可求的值．
此题应注意把当成一个整体，利用了整体的思想．
 3.【答案】 【解析】解：将抛物线先向下平移个单位，再向左平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是：，即；
故选：．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 4.【答案】 【解析】解：设人参加这次聚会，则每个人需握手：次，
根据题意得：．
故选B．
如果有人参加了聚会，则每个人需要握手次，人共需握手次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手次”，据此可列出关于的方程．
此题主要考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，关键是理清题意，找对等量关系，需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．
 5.【答案】 【解析】解：根据题意列出方程组，
解之得且．
故选：．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
二次项系数不为零；
在有不相等的实数根下必须满足．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
 6.【答案】 【解析】解：
当或时，，当时，，
，解得，
，
抛物线开口向上，对称轴为，最小值为，当时，随的增大而增大，
故选：．
利用表中所给数据可求得抛物线解析式，再化为顶点式，逐项判断即可．
本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向和对称轴，根据，，与对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．
 8.【答案】 【解析】解：将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，
点的对应点为点，点的对应点为点，
作线段和的垂直平分线，它们的交点为，
旋转中心的坐标为．
故选：．
先根据旋转的性质得到点的对应点为点，点的对应点为点，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段的垂直平分线，也在线段的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心．
本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，确定点的位置是解题的关键．过点作轴于点，交抛物线于点，由结合三角形三边关系，即可得出此时周长取最小值，再由点、的坐标即可得出、的长度，进而得出周长的最小值．
【解答】
解：过点作轴于点，交抛物线于点，此时周长最小值，
、，
，，
周长的最小值．
故选：．  10.【答案】 【解析】解：当时，点在上，点在上，此时阴影部分为，
由题意：，
．
此时的函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线的一部分；
当时，点在上，点在上，此时阴影部分为直角梯形，如图，

由题意：，，
，
此时的函数图象为直线的一部分，是一条线段；
当时，点在上，点在上，此时阴影部分为五边形，如图，

由题意：，
，
此时的函数图象为抛物线的一部分，
综上，面积与运动时间之间的函数图象为：．
故选：．
分，，三种情形求得线段与左侧矩形的边围成的阴影部分面积为，利用与的关系式可以判断得出正确选项．
本题主要考查了动点问题的函数图象，一次函数的图象，二次函数的图象，三角形、矩形，梯形的面积．利用分类讨论的思想分情形求得与的关系式是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案为．
根据一元二次方程解的定义，把代入方程得，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：，将绕点按顺时针方向旋转，对应得到，
，，
．
故答案为：．
先利用旋转的性质得到，，从而得到的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 13.【答案】 【解析】解：，分别为一元二次方程的两个实数根，
，，
则原式


．
故答案为：．
先由方程的解的概念和根与系数的关系得出，，将其代入原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系和方程的解，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
 14.【答案】 【解析】解：如图，连接，，
，，
，
是的中点，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
连接，，先利用勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出，然后连接、，再根据旋转的性质求出，，再利用勾股定理列式求解即可．
本题考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理进行计算．
 15.【答案】 【解析】解：对于任意实数，抛物线与轴都有交点，
，则，
整理得，
，
的最小值为，
，
故答案为．
根据题意得到，即，求得的最小值，即可得到的取值范围．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的最值，根据题意得到是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：，
，，



，
，
，
即代数式的最小值等于．
故答案为．
把变形为，代入所求式子，根据配方法进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．
 17.【答案】 【解析】解：当取得最大值时，飞机停下来，
则，
此时，飞机着陆后滑行米才能停下来．
因此的取值范围是；
即当时，，
所以，
答案：．
由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当取得最大值时，也取得最大值，求得的取值范围即可，结合取值范围求得最后滑行的距离．
此题考查二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．
 18.【答案】 【解析】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，

联立方程，
当时，抛物线与直线有两个交点，
即，
解得，
此时，直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入得，
把代入得，
，
解得，
满足题意．
故答案为：．
由点的纵坐标是横坐标的倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
 19.【答案】解：，
，
则，即，
，
则，；
，
，
则，
或，
解得，． 【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 20.【答案】解：当时，函数图象与轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根，由图可知，
方程的两个根为，；
根据函数图象，在对称轴的右侧，随的增大而减小，此时，，
自变量的取值范围是；
如图：

方程有两个不相等的实数根，即函数与有两个交点，
此时，，
解得．
的取值范围是． 【解析】根据函数与方程的关系，当时，函数图象与轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根；
根据函数的性质可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到的取值范围；
方程有两个不相等的实数根，即函数与有两个交点，据此即可直接求出的取值范围．
本题考查了二次函数与轴的交点，充分利用函数图象，直观解答是解题的关键，体现了数形结合思想的优越性．
 21.【答案】解：为等边三角形，
，，
把绕点顺时针旋转得到，连接，如图，
，，，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，
，
． 【解析】根据等边三角形的性质得到，，则把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得到，，，则为等边三角形，所以，，由于，，，则，根据勾股定理的逆定理得到，于是有．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
 22.【答案】证明：
时，该方程为一元一次方程，有实数根；
时，该方程为一元二次方程，


，
不论为何值时，，
，
方程总有实数根；
综上，不论为何值时，方程总有实数根．

解：解方程得，，
，，
方程有两个不相等的正整数根，为整数，
． 【解析】求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出的值．
本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键．
 23.【答案】解：抛物线对称轴是直线且经过点
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点
设抛物线的解析式为
即：
把代入得：

抛物线的解析式为：．
设直线的解析式为，设的面积为，
，，
，
解得
直线为，
如图，作轴于，交直线于，

设，则，
，
．
当时，，，
的面积的最大值为，此时点的坐标为 【解析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
因为对称轴是直线，所以得到点的对称点是，因此利用交点式，求出解析式．
根据面积的和差，可得的面积函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
 24.【答案】解：设，
由题意得，，
解得：，
则函数关系式为：；
由题意得，

，
当时，
，
解得：，，
，
函数图象开口向下，对称轴为直线，
当时，销售利润一周的销售利润不低于元；
由
解得：，
又由于最大进货量为：，
由题意可知，当时，可以销售件商品，结合图形，故此时利润最大．
元，
该商家在元内的进货条件下，最大捐款为元． 【解析】设，把点的坐标代入解析式，求出、的值，即可得出函数解析式；
根据利润售价进价销售量，列出函数关系式，继再利用销售利润为，进而得出销售单价的范围；
根据购进该商品的贷款不超过元，求出进货量，然后求最大销售额即可．
本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
 25.【答案】解：对称轴为直线；
将代入二次函数解析式中得：

，
，
二次函数的二次项系数不等于，
，
，
；
，
它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，
，
当时，，
，
综上所述，；
当时，即时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
，
；
当时，即时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
，
或． 【解析】根据计算即可；
将代入二次函数解析式中得的表达式，从而得到的表达式，根据二次函数的图象得到的取值范围；
二次函数的图象分开口向上和开口向下两种情况，分别计算的取值范围即可．
本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的图象，二次函数的性质，体现了分类讨论，数形结合的数学思想，第问进行分类讨论是解题的关键．
 26.【答案】解：不存在，理由：
在中，令，得不成立，
函数的图象上不存在“等值点”；
令，
解得：，，
函数的图象上有两个“等值点”或；
当时，，两部分组成的图象上必有个“等值点”或，
：，
：，
令，
整理得：，
的图象上不存在“等值点”，
，
，
，
当时，有个“等值点”、、，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，． 【解析】根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
根据中求出的的图象上有两个“等值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可．
本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．