北师大版九年级下册第二章 二次函数综合与测试一课一练

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九年级下册第二章《二次函数》练习题
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1. 下列函数中，不是二次函数的是(　　)
A. y＝1－x2 B. y＝2(x－1)2＋4
C. y＝ (x－1)(x＋4) D. y＝(x－2)2－x2
【答案】D
【解析】
【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．
【详解】解：A．y＝1x2是二次函数，
B．y＝2（x﹣1）2+4＝2x2﹣4x+6，是二次函数，
C．y（x﹣1）（x+4）x2x﹣2，是二次函数，
D．y＝（x+2）2﹣x2＝4x+4，是一次函数．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．掌握二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．
2. 抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A. (3 ,0) B. (0 ,3) C. (0, ) D. (,0)
【答案】B
【解析】
【分析】把x=0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．
【详解】当x=0时，y=3，
则抛物线y=x2+3与y轴交点的坐标为（0，3），
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
3. 把二次函数用配方法化成的形式（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法的步骤换成顶点式即可．
【详解】．
故选C．
【点睛】本题考查顶点式的转换,关键在于熟练掌握配方法．
4. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　）
A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1
【答案】A
【解析】
【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A.
考点：二次函数图象的平移法则.
5. 对抛物线y=－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是（ ）
A. 与x轴有两个交点 B. 开口向上
C. 与y轴交点坐标是(0，3) D. 顶点坐标是(1，-2)
【答案】D
【解析】
【分析】根据判别式的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
详解】解：A、∵△=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；
B、∵二次项系数-1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；
C、当x=0时，y=-3，抛物线与y轴交点坐标为（0，-3），本选项错误；
D、∵y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，∴抛物线顶点坐标为（1，-2），本选项正确．
故选D．
6. 二次函数的图象如图所示，则m的值是

A. －8 B. 8 C. ±8 D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据抛物线与x轴只有一个交点，对应的一元二次方程根的判别式△=0（或由抛物线顶点的纵坐标等于0），列式求出m的值，再根据对称轴在y轴的左边求出m的取值范围，从而得解：
∵由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，
∴对应的一元二次方程的△=m2﹣4×2×8=0，解得m=±8，
∵对称轴为直线，∴m＞0．
∴m的值为8．故选B．
7. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵，
∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称，
故，
故选：D．

8. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）

A. 有最小值-5、最大值0 B. 有最小值-3、最大值6
C. 有最小值0、最大值6 D. 有最小值2、最大值6
【答案】B
【解析】
【详解】由二次函数的图象可知，
∵-5≤x≤0，
∴当x=﹣2时函数有最大值，y最大=6；
当x=-5时函数值最小，y最小=-3．
故选：B．
9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，下列结论正确的是(　　)

A. a<0 B. b2－4ac<0 C. 当－10 D. －=1
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据二次函数的图象和性质进行判断即可.
解：∵抛物线开口向上，
∴
∴A选项错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴B选项错误，
由图象可知，当－1 ∴C选项错误，
由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（－1，0）和（3，0）可知对称轴为
即－＝1，
∴D选项正确，
故选D.
10. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解．
【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键．
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11. 若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.
【答案】-5
【解析】
【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
【详解】∵函数y=（m－3）是二次函数，
∴m2+2m-13=2且m-3≠0
解得：m=-5.
考点：二次函数的定义．
12. 二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____．
【答案】-4
【解析】
【分析】根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答．
【详解】∵二次函数y=2x2﹣+bx+3的对称轴是直线x=1，
∴x=﹣=1，
∴b=﹣4．
故答案为﹣4．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解答本题的关键．
13. 如果抛物线y＝(m +1)2x2+x+m2﹣1经过原点，那么m的值等于____．
【答案】1.
【解析】
【分析】先把原点坐标代入解析式得到m=1或m=-1，然后利用二次函数的定义确定满足条件的m的值．
【详解】解：把（0，0）代入得m2-1=0，解得m1=1，m2=-1．
而m+1≠0，
所以m=1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数解析式．也考查了二次函数的定义，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）.
14. 已知抛物线与x轴仅有一个公共点，则m的值为____．
【答案】9
【解析】
【分析】将抛物线交点问题转化成一元二次方程根的问题，令即可求解.
【详解】解：∵抛物线与x轴仅有一个公共点，
∴方程只有一个根,即，
解得：.
故答案为：9.
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，抛物线与x轴的交点问题，中等难度，熟悉解题方法和思路是解题关键.
15. 抛物线的部分图像如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是_____．

【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性写出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故答案为﹣1＜x＜3．
【点睛】本题考查了求抛物线与x轴的交点和图像法解一元二次不等式，解题的关键是通过数形结合的方法求解一元二次不等式．
16. 如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3），则二次函数的图象的顶点坐标是_______．

【答案】（2，-1）
【解析】
【详解】试题分析：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，可设解析式为：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），即y=a（x-1）（x-3），把点C（0，3），代入得a=1．则y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3=（x-2）2-1．
所以图象的顶点坐标是（2，-1）．
考点：用待定系数法求函数解析式．
17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于C、BD⊥y轴于D，则图中阴影部分图形的面积和为_____．

【答案】18
【解析】
【分析】先把原点坐标代入解析式求出k得到B点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD，从而根据矩形面积公式计算即可．
【详解】把（0，0）代入y（x﹣3）2+k得：（0﹣3）2+k=0，解得：k=6，∴抛物线解析式为y（x﹣3）2+6，∴B点坐标为（3，6）．
∵BC⊥x轴于C，∴图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD=3×6=18．
故答案为18．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
18. 如图，在正方形ABCD中，E为 BC上的点，F为 CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设EC=x，△AEF 的面积为y，则y与x之间的函数关系式是____.

【答案】y=-x2+4x
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，再利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根据△AEF的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积列式整理即可得解．
【详解】解：在正方形ABCD中，AB=AD，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，
∵CE=x，
∴BE=DF=4-x，
∴y=42-2××4×（4-x）-x2，
=-x2+4x，
故答案为：y=-x2+4x．
三、解答题(本大题共5小题，共46分)
19. 求经过A(1,4)，B(－2,1)两点，对称轴为x＝－1的抛物线的解析式．
【答案】y=x2+2x+1
【解析】
【分析】先设出抛物线的顶点式，然后将A，B两点代入，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可.
【详解】解：∵对称轴为x＝－1，
∴设其解析式为y＝a(x＋1)2＋k(a≠0)，
∵抛物线过A(1,4)，B(－2,1)，
∴，
解得，
∴y＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1.
20. 已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象交于点A(－1，m)．
(1)求m，c的值；
(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【答案】（1），；（2）对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)．
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求出m的值，再将求出的点A的坐标代入二次函数的解析式就可以求出c的值；
（2）将求出二次函数的解析式的一般式化为顶点式就直接求出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【详解】解：（1）∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴点A坐标为．
∵点A在二次函数图象上，
∴－1－2＋c＝﹣5，即c＝﹣2；
（2）∵二次函数的解析式为，
∴，
∴对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质，掌握反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．
21. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，桥洞与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面的景观灯，把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离．

【答案】（1）y=（0≤x≤10）；（2）两景观灯间的距离为5米．
【解析】
【分析】（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；
（2）要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是它们的距离．
【详解】（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，得：a=﹣，∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10），即（0≤x≤10）；
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，∴4=﹣（x﹣5）2+5，∴（x﹣5）2=1，∴x1=，x2=，∴两景观灯间的距离为 ﹣=5米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用系，从图象中看出点的坐标是解题的关键．
22. 元旦期间，某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若房价定为200元时，求宾馆每天的利润；
（2）房价定为多少时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）宾馆每天的利润为8640；（2）房价定为350时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10890元．
【解析】
【分析】（1）根据每天游客居住的房间数量等于50-减少的房间数即可解决问题；
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）若房价定为200元时，宾馆每天的利润为：（200﹣20）×（50﹣2）＝8640（元），
答：宾馆每天的利润为8640；
（2）设总利润为y元，则y＝（50﹣）（x﹣20）
＝﹣x2+70x+1360＝﹣（x﹣350）2+10890
故房价定为350时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10890元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题．
23. 如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求线段AC的长度；
（2）若点P在抛物线上，点P位于第二象限，过P作PQ⊥AB，垂足为Q．已知PQ＝，求点P的坐标．

【答案】（1）线段AC的长是4；（2）点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
【解析】
【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可得到点A的坐标，进而求得函数解析式，再令y=0，即可得到点C的坐标，从而可以得到线段AC的长；
（2）根据点A和点B的坐标可以得到直线AB的函数解析式，然后根据二次函数的性质和平行线的性质，可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【详解】（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与y轴交于点B，且OA＝OB，
∴点B的坐标为（0，3），∴OB＝OA＝3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），∴0＝﹣（﹣3）2+b×（﹣3）+3，解得，b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴点C的坐标为（1，0），∴AC＝1﹣（﹣3）＝4，
即线段AC的长是4；
（2）∵点A（﹣3，0），点B（3，0），
∴直线AB函数解析式为y＝x+3，
过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，
设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），则点D的坐标为（m，m+3），
∴PD＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∵PD∥y轴，∠ABO＝45°，
∴∠PDQ＝∠ABO＝45°，
又∵PQ⊥AB，PQ＝，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴PD＝＝2，∴﹣m2﹣3m＝2，解得，m1＝﹣1，m2＝﹣2，
当m＝﹣1时，﹣m2﹣2m+3＝4，
当m＝﹣2时，﹣m2﹣2m+3＝3，
∴点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
24. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）联结AM，求S△AOM；
（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．

【答案】（1）y＝；（2）S△AOM＝；（3）y＝；y＝．
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以写出点B和点A的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；
（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M的坐标，从而可以求得直线AM的函数解析式，从而可以求得S△AOM；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F的坐标，从而可以求得抛物线C2的表达式．
【详解】（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°，
∴点B（2，0），点A（﹣1，﹣），
∴，
得，
∴该抛物线的解析式为y＝；
（2）连接MO，AM，AM与y轴交于点D，

∵y＝＝，
∴点M的坐标为（1，），
设过点A（﹣1，﹣），M（1，）直线解析式为y＝mx+n，
，得，
∴直线AM的函数解析式为y＝x﹣，
当x＝0时，y＝﹣，
∴点D的坐标为（0，﹣），
∴OD＝，
∴S△AOM＝S△AOD+S△MOD＝；
（3）当△AOM∽△FBM时，，
∵OA＝2，点O（0，0），点M（1，），点B（2，0），
∴OM＝，BM＝，
∴，
解得，BF＝2，
∴点F的坐标为（4，0），
设抛物线C2的函数解析式为：y＝+c，
∵点F（4，0）在抛物线C2上，
∴0＝+c，得c＝，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝+；
当△AOM∽△MBF时，
，
∵OA＝2，点O（0，0），点M（1，），点B（2，0），
∴OM＝，BM＝，
∴，
解得，BF＝，
∴点F的坐标为（，0），
设抛物线C2的函数解析式为：y＝+d，
∵点F（，0）在抛物线C2上，
∴0＝，得d＝，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝+．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答．