还剩20页未读，
继续阅读
广东省深圳市南山区中科先进实验学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
展开
这是一份广东省深圳市南山区中科先进实验学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了下列说法中，错误的是等内容，欢迎下载使用。
南山区中科先进实验学校2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．如图，某几何体由6个大小相同的小立方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
2． 下列说法中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的四条边相等 D．四个内角都相等的四边形是矩形
3． 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．14 B．12 C．6 D．4
4． 方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
5． 如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，且＝3，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
6． 关于反比例函数y＝－，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限 B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（－6，－2） D．当x＜0时，y随x的增大而增大
7． 如图，AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（ ）
A． B． C． D．
8． 反比例函数y＝ 与y＝在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．1
9． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面五个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（每题3分，共15分）
11．已知，则的值为 ．
12．如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离2m，小明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为 ．
13．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2021＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝ ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是 ．
15．如图，矩形ABCD的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且OA＝3，OB＝2，对角线AC、BD交于点G，若曲线y＝(x＞0)经过点C、G，则k＝ ．
三．解答题（共55分）
16．（6分）解方程：
（1）2x2＋3x－1＝0； （2）（2x＋1）2＝3（2x＋1）．
17．（7分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图1和图2不完整的统计图．
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）参赛作文的篇数共 篇；
（2）图中：m＝ ，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为 °；
（3）把条形统计图补充完整；
（4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上，请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
19．（8分）如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？
20．（8分）某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x＋b经过点A（－1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．
（1）求b、k的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．
22．（9分）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．
操作发现：
（1）①图1中＝ ．
②创新小组将图1中的矩形DFGE绕点D旋转至如图2所示的位置，点G恰好落在边DA上，则＝ ．
拓展探究：
（2）勤奋小组将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，发现的大小不变，请仅就图3的情形给出证明．
实践探究：
（3）当矩形DFGE旋转至B、G、E三点共线时，直接写出线段CE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．如图，某几何体由6个大小相同的小立方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看有两列，左边一列是三个小正方形，右边一列是两个小正方形．
故选：D．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的四条边相等
D．四个内角都相等的四边形是矩形
【分析】由矩形的判定与性质、菱形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵矩形的对角线相等，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵菱形的四条边相等，
∴选项C不符合题意；
D、∵四个内角都相等的四边形是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．14 B．12 C．6 D．4
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
【解答】解：由题意可得，
20×0.3＝6（个），
即袋子中红球的个数最有可能是6个，
故选：C．
4．方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】计算出判别式的值即可作出判断．
【解答】解：∵a＝2，b＝－5，c＝3，
∴Δ＝（－5）2－4×2×3＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，且＝3，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
【分析】根据位似图形的性质得到AC∥A1C1，求出，△ABC与△A1B1C1的相似比，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴AC∥A1C1，
∵C1为OC的中点，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∵＝3，
∴△ABC的面积＝12，
故选：B．
6．关于反比例函数y＝－，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（－6，－2）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．
【解答】解：反比例函数y＝－，k＝－12＜0，
A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；
B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；
C、x＝－6时，y＝2≠－2，故本选项说法不正确；
D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法正确；
故选：C．
7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【解答】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；
B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；
C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；
D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；
故选：D．
8．反比例函数y＝ 与y＝在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．1
【分析】分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论．
【解答】解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，
∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC＝6，S△AOE＝3，S△BOC＝，
∴S△AOB＝S四边形OEAC－S△AOE－S△BOC＝6－3－＝．
故选：A．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×AE，
∴AE＝＝．
在Rt△ABE中，BE＝＝＝，
∴CE＝BC－BE＝5－＝，
∴的值为，
故选：C．
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面五个结论：
①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】依据△AEF∽△CBF，即可得出CF＝2AF；依据△BAE∽△ADC，即可得到AD＝CD；过D作DM∥BE交AC于N，依据DM垂直平分CF，即可得出DF＝DC；依据∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出S四边形CDEF＝S△ABF．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE＝AD＝BC，
∴＝，
∴CF＝2AF，故①正确；
设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
∵BE⊥AC，∠BAD＝90°，
∴∠ABE＝∠DAC，而∠BAE＝∠ADC＝90°，
∴△BAE∽△ADC，∴，即b＝a，
∴AD＝CD，故②正确；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF＝DC，故③正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故④正确；
如图，连接CE，
由△AEF∽△CBF，可得，
设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，
∴△ACE的面积为3s，
∵E是AD的中点，∴△CDE的面积为3s，
∴四边形CDEF的面积为5s，
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确．故选：D．
二．填空题
11．已知，则的值为 － ．
【分析】设＝＝＝k（k≠0）得出a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后将其代入，即可求得答案．
【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），
∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴＝＝－；故答案为：－．
12．如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离2m，小明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为 4m ．
【分析】根据题意，易证得△ACE∽△ABD，根据相似三角形的性质得到＝，然后利用比例性质求出BD即可．
【解答】解：如图，CE＝1.5m，
∵CE∥BD，∴△ACE∽△ABD，
∴＝，即＝，
∴BD＝4（m），即树的高度为4m．
故答案为：4m．
13．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2021＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝ 2019 ．
【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m＋n＝－2，m2＋2m＝2021，将其代入原式＝m2＋2m＋m＋n＝m2＋2m＋（m＋n）计算可得．
【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2021＝0的两个实数根，
∴m＋n＝－2，m2＋2m＝2021，
则原式＝m2＋2m＋m＋n＝m2＋2m＋（m＋n）＝2021－2＝2019．
故答案为：2019．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是 3：5 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，再证明△AEG∽△BCG，利用相似的性质得到＝，证明△EAG∽△EDC，利用相似比得到＝，所以S四边形ADCG＝15S△EAG，然后计算S△BGC：S四边形ADCG的值．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∵AE∥BC，∴△AEG∽△BCG，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，即S△BCG＝9S△AEG，
∵AG∥CD，∴△EAG∽△EDC，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，即S△EDC＝16S△EAG，
∴S四边形ADCG＝15S△EAG，
∴S△BGC：S四边形ADCG＝9S△AEG：15S△EAG＝3：5．故答案为：3：5．
15．如图，矩形ABCD的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且OA＝3，OB＝2，对角线AC、BD交于点G，若曲线y＝（x＞0）经过点C、G，则k＝ ．
【分析】分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，则CE∥GF，设C（m．n），利用矩形的性质可得AG＝CG，根据平行线得性质则可求得G点横坐标，且可求得G（，n），根据反比例函数系数k＝xy，得到mn＝×n，求得m＝1，作CH⊥y轴于H，通过证得△AOB∽△BHC，求得CE，得出C得坐标（1，），可求得k．
【解答】解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，∴CE∥GF，
设C（m．n），
∵四边形ABCD是矩形，∴AG＝CG，
∴GF＝CE，EF＝（3－m），
∴OF＝（3－m）＋m＝＋m，∴G（，n），
∵曲线y＝（x＞0）经过点C、G，
∴mn＝×n，解得m＝1，
作CH⊥y轴于H，∴CH＝1，
∵∠ABC＝90°，∴∠CBH＋∠ABO＝90°，
∵∠OAB＋∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBH，
∵∠AOB＝∠BHC＝90°，∴△AOB∽△BHC，
∴＝，即＝，∴BH＝，
∴OH＝＋2＝，∴C（1，），
∴k＝1×＝；故答案为．
三．解答题
16．解方程
（1）2x2＋3x－1＝0； （2）（2x＋1）2＝3（2x＋1）．
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）2x2＋3x－1＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝－1，
∴Δ＝32－4×2×（－1）＝17＞0，
∴x＝＝
∴x1＝，x2＝；
（2）（2x＋1）2＝3（2x＋1），
（2x＋1）2－3（2x＋1）＝0，
则（2x＋1）（2x－2）＝0，
∴2x＋1＝0或2x－2＝0，
∴x1＝－0.5，x2＝1．
17．为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图1和图2不完整的统计图．
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）参赛作文的篇数共 100 篇；
（2）图中：m＝ 45 ，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为 126 °；
（3）把条形统计图补充完整；
（4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上，请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
【分析】（1）根据七年级的作文篇数和所占的百分比，可以计算出参赛作文的总篇数；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出m的值和扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数；
（3）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出八年级参赛作文的篇数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
【解答】解：（1）参赛作文的篇数共20÷20%＝100（篇），
故答案为：100；
（2）m%＝×100%＝45%，∴m＝45，
扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为：360°×＝126°，
故答案为：45，126；
（3）八年级参加的作文篇数为：100－20－35＝45，
补全的条形统计图如右图所示；
（4）设七年级的那一篇记为A，八年级和九年级的三篇记为B，
树状图如下图所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中七年级特等奖作文被刊登在校报上的可能性有6种，
故七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率为．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝2，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，
∴OA＝＝4，
∴OE＝OA＝4．
19．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？
【分析】根据AH∥CB∥DE，可得△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，可得＝，＝，即可求得AH的值，即可解题．
【解答】解：由题意知，设AH＝x米，BH＝y米，
△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，
∴＝，＝，
∴3x＝1.5×（y＋3），5x＝1.5×（y＋30＋5），解得x＝24．
答：旗杆AH的高度为24m．
20．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类服装的出厂价＝2019年该类服装的出厂价×（1－下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（38－m）元，每天可售出（20＋2m）件，利用每天销售该服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合要减少库存即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1－x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200－m－162）＝（38－m）元，每天可售出20＋×10＝（20＋2m）件，
依题意得：（38－m）（20＋2m）＝1150，
整理得：m2－28m＋195＝0，解得m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x＋b经过点A（－1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．
（1）求b、k的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．
【分析】（1）作CH⊥y轴于点H，把点A坐标代入直线解析式中求出b，求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CH、BH，求出点C坐标，即可求出k；
（2）先求出点D坐标，求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（3）先求出EF＝2，设出点E坐标，分0＜m＜2、m＞2两种情况，表示出点F坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）作CH⊥y轴于点H，
∵直线y＝3x＋b经过点A（－1，0），
∴－1×3＋b＝0，解得b＝3，
对于直线y＝3x＋3，当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3，
∵CH∥OA，∴△AOB∽△CHB，
∴＝＝，即＝＝，解得，CH＝2，BH＝6，
∴OH＝OB＋BH＝9，
∴点C的坐标为（2，9），
∴k＝2×9＝18；
（2）∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标为3，
∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6，
∴△ABD的面积＝×6×3＝9；
（3）EF＝BD＝×6＝2，
设E（m，3m＋3），
当0＜m＜2时，点F的坐标为（m＋2，3m＋3），
∵点F在反比例函数y＝上，
∴（m＋2）（3m＋3）＝18，
解得，m1＝－4（舍去），m2＝1，
当m＞2时，点F的坐标为（m－2，3m＋3），
∵点F在反比例函数y＝上，
∴（m－2）（3m＋3）＝18，
解得，m3＝（舍去），m4＝，
综上所述，m的值为1或．
22．问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．
操作发现：
（1）①图1中＝ ．
②创新小组将图1中的矩形DFGE绕点D旋转至如图2所示的位置，点G恰好落在边DA上，则＝ ．
拓展探究：
（2）勤奋小组将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，发现的大小不变，请仅就图3的情形给出证明．
实践探究：
（3）当矩形DFGE旋转至B、G、E三点共线时，直接写出线段CE的长．
【分析】（1）①如图1，延长FG交BC于H．在解直角三角形求出EC，BG即可解决问题；②连接BD，通过证明△CDE∽△BDG，即可求解；
（2）如图3，连接BD，DG．通过证明△CDE∽△BDG，即可求解；
（3）分两种情形：①如图3－1中，当点G落在BG上时，利用勾股定理以及（2）中结论即可解决问题．②如图3－2中，当点G落在BE上时，同法可得EC的长．
【解答】解：（1）①如图1，延长FG交BC于H．
∵四边形ABCD，四边形DEGF都是矩形，
∴DE＝FG＝AB＝4，DF＝EG＝AD＝3，∠C＝∠CEG＝∠EGH＝90°，
∴四边形ECHG是矩形，
∴EC＝GH＝4，EG＝CH＝3，BH＝BC－CH＝6－3＝3，
∴BG＝＝＝5，∴＝，
故答案为；
②如图，连接BD，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，
在Rt△DEG中，DG＝＝＝5，
∵＝＝，＝，
∴，
由旋转的性质可得∠CDE＝∠BDG，
∴△CDE∽△BDG，∴；
（2）结论：不变．＝，
理由：如图3，连接BD，DG．
在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，
∵＝＝，＝，
∴，
由旋转的性质可得∠CDE＝∠BDG，
∴△CDE∽△BDG，
∴；
（3）①如图3－1，当点G落在BG的延长线上时，
在Rt△DEB中，∵DE＝4，BD＝10，
∴BE＝＝＝2，
∴BG＝EG＋BE＝3＋2，
由（2）可知，
∴CE＝BG＝；
②如图3－2，当点G落在BE上时，CE＝，
综上所述，满足条件的EC的值为或．
南山区中科先进实验学校2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．如图，某几何体由6个大小相同的小立方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
2． 下列说法中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的四条边相等 D．四个内角都相等的四边形是矩形
3． 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．14 B．12 C．6 D．4
4． 方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
5． 如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，且＝3，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
6． 关于反比例函数y＝－，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限 B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（－6，－2） D．当x＜0时，y随x的增大而增大
7． 如图，AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（ ）
A． B． C． D．
8． 反比例函数y＝ 与y＝在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．1
9． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面五个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（每题3分，共15分）
11．已知，则的值为 ．
12．如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离2m，小明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为 ．
13．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2021＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝ ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是 ．
15．如图，矩形ABCD的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且OA＝3，OB＝2，对角线AC、BD交于点G，若曲线y＝(x＞0)经过点C、G，则k＝ ．
三．解答题（共55分）
16．（6分）解方程：
（1）2x2＋3x－1＝0； （2）（2x＋1）2＝3（2x＋1）．
17．（7分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图1和图2不完整的统计图．
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）参赛作文的篇数共 篇；
（2）图中：m＝ ，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为 °；
（3）把条形统计图补充完整；
（4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上，请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
19．（8分）如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？
20．（8分）某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x＋b经过点A（－1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．
（1）求b、k的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．
22．（9分）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．
操作发现：
（1）①图1中＝ ．
②创新小组将图1中的矩形DFGE绕点D旋转至如图2所示的位置，点G恰好落在边DA上，则＝ ．
拓展探究：
（2）勤奋小组将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，发现的大小不变，请仅就图3的情形给出证明．
实践探究：
（3）当矩形DFGE旋转至B、G、E三点共线时，直接写出线段CE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．如图，某几何体由6个大小相同的小立方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看有两列，左边一列是三个小正方形，右边一列是两个小正方形．
故选：D．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的四条边相等
D．四个内角都相等的四边形是矩形
【分析】由矩形的判定与性质、菱形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵矩形的对角线相等，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵菱形的四条边相等，
∴选项C不符合题意；
D、∵四个内角都相等的四边形是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．14 B．12 C．6 D．4
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
【解答】解：由题意可得，
20×0.3＝6（个），
即袋子中红球的个数最有可能是6个，
故选：C．
4．方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】计算出判别式的值即可作出判断．
【解答】解：∵a＝2，b＝－5，c＝3，
∴Δ＝（－5）2－4×2×3＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，且＝3，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
【分析】根据位似图形的性质得到AC∥A1C1，求出，△ABC与△A1B1C1的相似比，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴AC∥A1C1，
∵C1为OC的中点，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∵＝3，
∴△ABC的面积＝12，
故选：B．
6．关于反比例函数y＝－，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（－6，－2）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．
【解答】解：反比例函数y＝－，k＝－12＜0，
A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；
B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；
C、x＝－6时，y＝2≠－2，故本选项说法不正确；
D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法正确；
故选：C．
7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【解答】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；
B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；
C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；
D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；
故选：D．
8．反比例函数y＝ 与y＝在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．1
【分析】分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论．
【解答】解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，
∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC＝6，S△AOE＝3，S△BOC＝，
∴S△AOB＝S四边形OEAC－S△AOE－S△BOC＝6－3－＝．
故选：A．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×AE，
∴AE＝＝．
在Rt△ABE中，BE＝＝＝，
∴CE＝BC－BE＝5－＝，
∴的值为，
故选：C．
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面五个结论：
①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】依据△AEF∽△CBF，即可得出CF＝2AF；依据△BAE∽△ADC，即可得到AD＝CD；过D作DM∥BE交AC于N，依据DM垂直平分CF，即可得出DF＝DC；依据∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出S四边形CDEF＝S△ABF．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE＝AD＝BC，
∴＝，
∴CF＝2AF，故①正确；
设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
∵BE⊥AC，∠BAD＝90°，
∴∠ABE＝∠DAC，而∠BAE＝∠ADC＝90°，
∴△BAE∽△ADC，∴，即b＝a，
∴AD＝CD，故②正确；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF＝DC，故③正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故④正确；
如图，连接CE，
由△AEF∽△CBF，可得，
设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，
∴△ACE的面积为3s，
∵E是AD的中点，∴△CDE的面积为3s，
∴四边形CDEF的面积为5s，
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确．故选：D．
二．填空题
11．已知，则的值为 － ．
【分析】设＝＝＝k（k≠0）得出a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后将其代入，即可求得答案．
【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），
∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴＝＝－；故答案为：－．
12．如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离2m，小明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为 4m ．
【分析】根据题意，易证得△ACE∽△ABD，根据相似三角形的性质得到＝，然后利用比例性质求出BD即可．
【解答】解：如图，CE＝1.5m，
∵CE∥BD，∴△ACE∽△ABD，
∴＝，即＝，
∴BD＝4（m），即树的高度为4m．
故答案为：4m．
13．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2021＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝ 2019 ．
【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m＋n＝－2，m2＋2m＝2021，将其代入原式＝m2＋2m＋m＋n＝m2＋2m＋（m＋n）计算可得．
【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2021＝0的两个实数根，
∴m＋n＝－2，m2＋2m＝2021，
则原式＝m2＋2m＋m＋n＝m2＋2m＋（m＋n）＝2021－2＝2019．
故答案为：2019．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是 3：5 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，再证明△AEG∽△BCG，利用相似的性质得到＝，证明△EAG∽△EDC，利用相似比得到＝，所以S四边形ADCG＝15S△EAG，然后计算S△BGC：S四边形ADCG的值．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∵AE∥BC，∴△AEG∽△BCG，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，即S△BCG＝9S△AEG，
∵AG∥CD，∴△EAG∽△EDC，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，即S△EDC＝16S△EAG，
∴S四边形ADCG＝15S△EAG，
∴S△BGC：S四边形ADCG＝9S△AEG：15S△EAG＝3：5．故答案为：3：5．
15．如图，矩形ABCD的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且OA＝3，OB＝2，对角线AC、BD交于点G，若曲线y＝（x＞0）经过点C、G，则k＝ ．
【分析】分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，则CE∥GF，设C（m．n），利用矩形的性质可得AG＝CG，根据平行线得性质则可求得G点横坐标，且可求得G（，n），根据反比例函数系数k＝xy，得到mn＝×n，求得m＝1，作CH⊥y轴于H，通过证得△AOB∽△BHC，求得CE，得出C得坐标（1，），可求得k．
【解答】解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，∴CE∥GF，
设C（m．n），
∵四边形ABCD是矩形，∴AG＝CG，
∴GF＝CE，EF＝（3－m），
∴OF＝（3－m）＋m＝＋m，∴G（，n），
∵曲线y＝（x＞0）经过点C、G，
∴mn＝×n，解得m＝1，
作CH⊥y轴于H，∴CH＝1，
∵∠ABC＝90°，∴∠CBH＋∠ABO＝90°，
∵∠OAB＋∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBH，
∵∠AOB＝∠BHC＝90°，∴△AOB∽△BHC，
∴＝，即＝，∴BH＝，
∴OH＝＋2＝，∴C（1，），
∴k＝1×＝；故答案为．
三．解答题
16．解方程
（1）2x2＋3x－1＝0； （2）（2x＋1）2＝3（2x＋1）．
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）2x2＋3x－1＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝－1，
∴Δ＝32－4×2×（－1）＝17＞0，
∴x＝＝
∴x1＝，x2＝；
（2）（2x＋1）2＝3（2x＋1），
（2x＋1）2－3（2x＋1）＝0，
则（2x＋1）（2x－2）＝0，
∴2x＋1＝0或2x－2＝0，
∴x1＝－0.5，x2＝1．
17．为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图1和图2不完整的统计图．
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）参赛作文的篇数共 100 篇；
（2）图中：m＝ 45 ，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为 126 °；
（3）把条形统计图补充完整；
（4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上，请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
【分析】（1）根据七年级的作文篇数和所占的百分比，可以计算出参赛作文的总篇数；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出m的值和扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数；
（3）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出八年级参赛作文的篇数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
【解答】解：（1）参赛作文的篇数共20÷20%＝100（篇），
故答案为：100；
（2）m%＝×100%＝45%，∴m＝45，
扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为：360°×＝126°，
故答案为：45，126；
（3）八年级参加的作文篇数为：100－20－35＝45，
补全的条形统计图如右图所示；
（4）设七年级的那一篇记为A，八年级和九年级的三篇记为B，
树状图如下图所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中七年级特等奖作文被刊登在校报上的可能性有6种，
故七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率为．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝2，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，
∴OA＝＝4，
∴OE＝OA＝4．
19．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？
【分析】根据AH∥CB∥DE，可得△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，可得＝，＝，即可求得AH的值，即可解题．
【解答】解：由题意知，设AH＝x米，BH＝y米，
△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，
∴＝，＝，
∴3x＝1.5×（y＋3），5x＝1.5×（y＋30＋5），解得x＝24．
答：旗杆AH的高度为24m．
20．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类服装的出厂价＝2019年该类服装的出厂价×（1－下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（38－m）元，每天可售出（20＋2m）件，利用每天销售该服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合要减少库存即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1－x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200－m－162）＝（38－m）元，每天可售出20＋×10＝（20＋2m）件，
依题意得：（38－m）（20＋2m）＝1150，
整理得：m2－28m＋195＝0，解得m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x＋b经过点A（－1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．
（1）求b、k的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．
【分析】（1）作CH⊥y轴于点H，把点A坐标代入直线解析式中求出b，求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CH、BH，求出点C坐标，即可求出k；
（2）先求出点D坐标，求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（3）先求出EF＝2，设出点E坐标，分0＜m＜2、m＞2两种情况，表示出点F坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）作CH⊥y轴于点H，
∵直线y＝3x＋b经过点A（－1，0），
∴－1×3＋b＝0，解得b＝3，
对于直线y＝3x＋3，当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3，
∵CH∥OA，∴△AOB∽△CHB，
∴＝＝，即＝＝，解得，CH＝2，BH＝6，
∴OH＝OB＋BH＝9，
∴点C的坐标为（2，9），
∴k＝2×9＝18；
（2）∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标为3，
∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6，
∴△ABD的面积＝×6×3＝9；
（3）EF＝BD＝×6＝2，
设E（m，3m＋3），
当0＜m＜2时，点F的坐标为（m＋2，3m＋3），
∵点F在反比例函数y＝上，
∴（m＋2）（3m＋3）＝18，
解得，m1＝－4（舍去），m2＝1，
当m＞2时，点F的坐标为（m－2，3m＋3），
∵点F在反比例函数y＝上，
∴（m－2）（3m＋3）＝18，
解得，m3＝（舍去），m4＝，
综上所述，m的值为1或．
22．问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．
操作发现：
（1）①图1中＝ ．
②创新小组将图1中的矩形DFGE绕点D旋转至如图2所示的位置，点G恰好落在边DA上，则＝ ．
拓展探究：
（2）勤奋小组将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，发现的大小不变，请仅就图3的情形给出证明．
实践探究：
（3）当矩形DFGE旋转至B、G、E三点共线时，直接写出线段CE的长．
【分析】（1）①如图1，延长FG交BC于H．在解直角三角形求出EC，BG即可解决问题；②连接BD，通过证明△CDE∽△BDG，即可求解；
（2）如图3，连接BD，DG．通过证明△CDE∽△BDG，即可求解；
（3）分两种情形：①如图3－1中，当点G落在BG上时，利用勾股定理以及（2）中结论即可解决问题．②如图3－2中，当点G落在BE上时，同法可得EC的长．
【解答】解：（1）①如图1，延长FG交BC于H．
∵四边形ABCD，四边形DEGF都是矩形，
∴DE＝FG＝AB＝4，DF＝EG＝AD＝3，∠C＝∠CEG＝∠EGH＝90°，
∴四边形ECHG是矩形，
∴EC＝GH＝4，EG＝CH＝3，BH＝BC－CH＝6－3＝3，
∴BG＝＝＝5，∴＝，
故答案为；
②如图，连接BD，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，
在Rt△DEG中，DG＝＝＝5，
∵＝＝，＝，
∴，
由旋转的性质可得∠CDE＝∠BDG，
∴△CDE∽△BDG，∴；
（2）结论：不变．＝，
理由：如图3，连接BD，DG．
在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，
∵＝＝，＝，
∴，
由旋转的性质可得∠CDE＝∠BDG，
∴△CDE∽△BDG，
∴；
（3）①如图3－1，当点G落在BG的延长线上时，
在Rt△DEB中，∵DE＝4，BD＝10，
∴BE＝＝＝2，
∴BG＝EG＋BE＝3＋2，
由（2）可知，
∴CE＝BG＝；
②如图3－2，当点G落在BE上时，CE＝，
综上所述，满足条件的EC的值为或．
相关试卷
广东省深圳市南山区中科先进实验学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+： 这是一份广东省深圳市南山区中科先进实验学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年广东省深圳市南山区中科先进实验学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年广东省深圳市南山区中科先进实验学校九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省深圳市南山区中科先进院实验学校2023-2024学年 七年级上学期 期中数学试题： 这是一份广东省深圳市南山区中科先进院实验学校2023-2024学年 七年级上学期 期中数学试题，共14页。试卷主要包含了﹣2023的倒数是，若|x﹣2|与，给出下列判断等内容，欢迎下载使用。
