2022-2023学年江西省宜春市丰城中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省宜春市丰城中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省宜春市丰城中学九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共6小题，共18分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   下列事件是必然事件的是(    )A. 明天会下雪
B. 某彩票中奖率为，则买张彩票有张中奖
C. 雨后见彩虹
D. 名同学中，至少有两名同学出生的月份相同   如图，点是平行四边形边上一点，直线交的延长线于点，则下列结论错误的是(    )A.
B.
C.
D.    若点，，都是反比例函数图象上的点，并且，则下列各式中正确的是(    )A.  B.  C.  D.    班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在号座位，四位同学随机坐在四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是(    )
A.  B.  C.  D.    如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点，在反比例函数的图象上，若，轴，轴，，则的值为(    )A.
B.
C.
D.    如图，在正方形中，为的中点，于，交于点，交于点，连接、有如下结论：≌；；；：：；其中正确结论的个数为(    )
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，共18分）   若，则______．   某一天，小林与小李都要去核酸检测点进行核酸检测．若当地共有，两个核酸检测点，则在随机选择的情况下，两人都在检测点进行检测的概率是______．   如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知两条边，，测得边离地面的高度，，则树高为______
如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于、两点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，连接，则的面积为______．
 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点将沿直线翻折得到若点在反比例函数的图象上，则______．
 如图，在直角坐标系中，已知、、、若点在轴正半轴上，且与相似，则所有符合上述条件的点的坐标为______．
  三、解答题（本大题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
函数是反比例函数
求的值
判断点是否在这个函数的图象上．本小题分
如图，在的网格图中，每个小正方形边长均为，原点和的顶点均为格点．
以为位似中心，在网格图中作，使与位似，且位似比为：保留作图痕迹，不要求写作法和证明
若点的坐标为，则______，的面积______．
本小题分
如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点．
求和的值；
求的面积；
观察图象，不等式的解集为______．
本小题分
如图，在矩形中，点、分别在边、上，，，，，求的长．
本小题分
在一个不透明的口袋中装有四个大小质地相同的小球，上面分别标有数字、、、每次摸球前将袋子搅拌均匀．
若从这四个小球中随机抽取一个小球，小球上的数字是“”的概率是______；
若从这四个小球中随机抽取两个小球，用画树状图或列表的方法求取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率是多少？本小题分
“智多星”社团小组在社团活动时，对校园内一棵与地面垂直的树的高度测量作了如下探索和设计：他们借用一面很小的镜子和一根皮尺，根据光的反射定律入射角等于反射角，先把镜子放在离树底米的点处，然后一个同学沿着直线后退，直到从镜子里刚好看到树梢顶点时就停下来，此时的位置记为点如图所示，他们用皮尺测得米，小组成员一致认为只要测得这名同学眼睛到地面的距离，就可以计算出树的高度．镜子的厚度忽略不计
请你用学过的知识说明“智多星”小组成员观点的正确性；
若这名同学眼睛到地面的距离米，试求树高．
本小题分
如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，，，．
求证：∽；
求的边长．
本小题分
如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷．
如图，小南先踩中一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方块中埋藏着颗地雷包含数字的黑框区域记为接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字包含数字的黑框区域记为，与外围区域记为二人约定：在区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明．
如图，在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷空白区域无地雷，则选择，，三个区域踩到雷的概率分别是______．
 本小题分
如图，在中，，以的中点为圆心、为半径的圆交于点，是的中点，连接，．
判断与的位置关系，并说明理由；
求证：；
若：：，，求的长．
本小题分
在平面直角坐标系中，对于函数，它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上．
对于函数的图象而言，
点在______ 填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”．
横、纵坐标满足不等式的点在______ 填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”．
已知，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为．
当时，请在图中画出区域用阴影部分标示；
若，两点恰有一个点在区域内，结合图象，直接写出的取值范围．
 本小题分
如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接．
观察猜想：图中，边的长是______，的值为______；
探究证明：把绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接，，请求出的值；
拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出线段的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、明天会下雪，是随机事件，故A不符合题意；
B、某彩票中奖率为，则买张彩票有张中奖，是随机事件，故B不符合题意；
C、雨后见彩虹，是随机事件，故C不符合题意；
D、名同学中，至少有两名同学出生的月份相同，是必然事件，故D符合题意；
故选：．
根据随机事件，不可能事件，必然事件的特点，判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，不可能事件，必然事件的特点是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：根据题意知：，，
，，，
，，中的结论正确，中结论错误，
故选：．
根据题意知，，可知相应的线段比例关系即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，平行线所截线段成比例，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：反比例函数中，
此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
，
点在第四象限，、两点均在第二象限，
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及在每一象限内函数的增减性，再根据判断出三点所在的象限，故可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：列表为：位置
位置    考查，两位同学座位相邻概率，我们将出现的所有位置情况列举出来
共有种等可能的结果数，其中，两位同学座位相邻的结果数为，
故A，两位同学座位相邻的概率是．
故选：．
展示所有种等可能的结果数，再找出，两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
 5.【答案】 【解析】解：设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
或．
反比例函数在第一象限有图象，
．
故选：．
设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，由此即可得出、的长度，再根据三角形的面积结合，即可求出值，取其正值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，设出点的坐标，表示出点、的坐标是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：在和中，
，
≌，
故本选项正确；

≌，
，
，
，
在和中
，
≌，
，
，
，
，
错误，
故本选项错误；

，
，，
∽，
又≌，且四边形为正方形，
，
，
，
故本选项正确；

连接，
设，
则，，
，
，
：：，
故本选项正确；

延长与交于，则，
根据的结论为中点，即，
在与中，
，
≌，
，又，
，
又，，
，
，
是直角三角形，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
，
因此，故选项正确．
所以正确的有共个．
故选：．
本题需先根据已知条件，得出与全等，即可得出结果．
本题需先根据，，这三个条件，得出≌，即可得出结论．
本题需先根据，得出与的比值，即可求出结果．
本题需先连接，再设，即可得出与的比值即可．
在和中，根据已知条件，得出与全等，即可得出结果．
本题主要考查了正方形的性质问题，在解题时要注意全等三角形、相似等知识的综合利用，在做题时要结合图形是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案为．
根据已知条件得出，再代入式子进行计算即可得出答案．
本题考查比例的性质．
 8.【答案】 【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两人都在检测点进行检测的结果有种，
则两人都在检测点进行检测的概率是．
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两人都在检测点进行检测的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 9.【答案】 【解析】解：，，
∽
，
，，，
，
，
米．
故答案为：．
利用和相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
 10.【答案】 【解析】解：连接，交轴于，如图，
函数与的图象交于、两点，
点与点关于原点对称，
，
，
轴，
，，
，
．
故答案为：．
连接，交轴于，如图，利用正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，则，所以，再利用反比例函数的几何意义得到，，然后计算的面积．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的对称性，反比例函数系数的几何意义，三角形面积，明确是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：连接，交于，作轴于，
由题意可知，，，
一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，
，，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
连接，交于，作轴于，先求得，，进而求得，由翻折变换的性质得出，，根据三角形面积求得，进而求得，然后通过证得∽，求得，利用勾股定理求得，即可求得点的坐标，代入即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，求得点的坐标是解题的关键．
 12.【答案】或或 【解析】解：设，
当点在线段上时，
则，，，，
当∽时，
，
，
解得，
，
当∽时，
，
，
此方程无解，
当点在点右边时，
则，，
当∽时，
，
，
解得，
，
当∽时，
，
，
解得，
，
综上：或或．
故答案为：或或．
设，当点在线段上时，分∽或∽，当点在点右边时，同理可得答案．
本题主要考查了相似三角形的判定，坐标与图形的性质，运用分类讨论思想是解题的关键．
 13.【答案】解：由题意：，
解得．

反比例函数，
当，，
点不在这个函数图象上． 【解析】根据反比例函数的定义，可得，解得．
利用待定系数法即可解决问题；
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征、反比例函数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 14.【答案】   【解析】解：如图，即为所求；

，的面积．
故答案为：，．
利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用勾股定理，分割法解决问题即可．
本题考查作图位似变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
 15.【答案】或 【解析】解：把点分别代入反比例函数，一次函数，
得，，
解得，，
点也在反比例函数的图象上，
；

如图，设直线与轴的交点为，
当时，，
，
；

，，
根据图象可知：不等式的解集为或．
故答案为：或．
把点坐标分别代入反比例函数，一次函数，求出、的值，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可得出答案；
求出直线与轴的交点的坐标，分别求出和的面积，然后相减即可；
根据、的坐标结合图象即可得出答案．
本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
 16.【答案】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
的长是． 【解析】四边形是矩形，，而，所以∽，即可根据相似三角形的对应边成比例求出的长．
此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：若从这四个小球中随机抽取一个小球，小球上的数字是“”的概率是．
故答案为：；

画图如下：

共有个等可能的结果，取出的两个小球上的数字之积为奇数的有个，
取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
画树状图，共有个等可能的结果，取得两球的数字之积为奇数的有个，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 18.【答案】解：根据题意，易得，，
则∽，利用相似三角形对应边成比例可得结论的正确性；
根据题意，易得，，
则∽，
则，即，
解得：．
故树高为米． 【解析】根据题意，易得，，利用相似三角形的性质可得结论；
根据镜面反射的性质求出∽，再根据其相似比解答．
此题考查的是相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
 19.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
∽；
解：∽，
，
，
，
的长为． 【解析】利用等边三角形的性质可得，，从而利用三角形内角和定理可得，再利用平角定义可得，从而可得，然后利用两角相等的两个三角形相似即可解答；
利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键．
 20.【答案】，， 【解析】解：这个游戏不公平，理由如下：
在区域的个方块中随机埋藏着颗地雷，
区域中有个方块中没有地雷，
小南胜的概率为，小语胜的概率为，
，
这个游戏不公平；
围着数字的个方块中埋藏着颗地雷，空白区域无地雷，
区域中有个地雷，
选择区域踩到雷的概率为；
围着数字的个方块中埋藏着颗地雷，空白区域无地雷，
区域中有个地雷，
选择区域踩到雷的概率为；
在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷空白区域无地雷，
区域中有：颗地雷，
选择区域踩到雷的概率为；
故答案为：，，．
求出小南胜的概率和小语胜的概率，再比较即可；
分别求出，，三个黑框区域中共藏的地雷颗数，再由概率公式求解即可．
本题考查了游戏公平性以及概率公式等知识，概率相等游戏就公平，否则就不公平；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 21.【答案】解：与相切，
理由：连接，，
为圆的直径，
，
在中，为斜边的中点，
，
，
，
，
，即，
，即，
，
为圆的半径，
为的切线；

证明：是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，，
∽，
，即．
；

解：：：，
，
又，是的中点，即，
．
又，
． 【解析】连接，，由为圆的直径，得到为直角，可得出三角形为直角三角形，为斜边的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到，利用等边对等角得到一对角相等，再由，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形中两锐角互余，利用等角的余角相等得到与互余，可得出为直角，即垂直于半径，可得出为圆的切线；
证明是的中位线，则，然后证明∽，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
在直角中，利用勾股定理求得的长，根据三角形中位线定理的长即可求得．
本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．
 22.【答案】解：在函数图象上，当时，，
点在曲线上方；
为曲线，横、纵坐标满足不等式的点在曲线下方．
故答案为：曲线上方；曲线下方．
由题意知，区域满足，
区域满足在的上方且在的下方，如图：

当点在区域内时，，
 得，
当点在区域内时，，
 得，
的取值范围为且． 【解析】把相应坐标代入函数式即可得到答案；把相应坐标代入函数式即可得到答案；
根据题意得不等式组，根据题意可得答案；分当点在区域内时，当点在区域内时，两种情况得不等式组，求解可得答案．
此题考查的是函数的图象问题，掌握反比例函数性质是解决此题关键．
 23.【答案】  【解析】解：观察猜想：图中，
在中，，
，，
，
，
点，分别是边，的中点，
，，
，
边的长是，的值为；
故答案为：，；
探究证明：绕点顺时针旋转到如图所示的位置，
，
点，分别是边，的中点，
，，
，
，
∽，
，
的值为；
拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，
如图，当四边形为平行四边形时，

，
四边形为矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
点在矩形对角线上，
，，
，
；
如图，当以为平行四边形时，过点作交延长线于点，

，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
由知：∽，
，
，
．
综上所述：的长为或．
观察猜想：根据点，分别是边，的中点，可得，，进而可以解决问题；
探究证明：根据点，分别是边，的中点，可得，由，证明∽，进而可以解决问题；
拓展延伸：分两种情况画图讨论：当四边形为平行四边形时，根据，可得四边形为矩形，然后证明点在矩形对角线上，进而可得；当以为平行四边形时，过点作交延长线于点，根据勾股定理求出，再结合可得∽，所以，进而可以求出．
本题属于四边形的综合题，考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，相似三角形是判定与性质，含度角的直角三角形，解决本题的关键是得到∽．