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广东省深圳市南山外国语学校（集团）2022—2023学年上学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
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这是一份广东省深圳市南山外国语学校（集团）2022—2023学年上学期九年级期中考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了方程y2＝25的解是，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
南山外国语学校（集团）2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．方程y2＝25的解是（ ）
A．y＝5 B．y＝－5 C．y＝5或－5 D．y＝0或5
2．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在C区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．若＝＝＝且b－3d＋2f≠0，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A'B'C'
B．点C、点O、点C'三点在同一直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．AB∥A'B'
5．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC
6．用配方法解一元二次方程x2＋6x－10＝0，此方程可变形为（ ）
A．（x＋3）2＝19 B．（x－3）2＝19 C．（x＋2）2＝1 D．（x－3）2＝1
7．下列命题正确的是（ ）
A．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比
B．对角线相等且垂直的四边形是正方形
C．顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形
D．各边对应成比例的两个多边形相似
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知AB＝5，CE＝1，则CF的长是（ ）
A． B． C． D．
9．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a－b＋c＝0，称此方程为“月亮”方程．已知方程a2x2－1999ax＋1＝0（a≠0）是“月亮”方程，求的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．－2
10．如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列说法：①∠EAF＝45°；②连接MG，NG，则△MGN为直角三角形；③△AMN∽△AFE；④若BE＝2，FD＝3，则MN的长为．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（每题3分，共15分）
11．分解因式：a2＋8a＋16＝ ．
12．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小天为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程．小天共摸了200次，其中有40次摸到白球．因此小天估计口袋中的红球大约有 个．
13．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为 ．
14．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（－2）＝10，则实数x的值为 ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝3∠C，BD平分∠ABC，若AB＝6，BC＝10，则CD＝ ．
三．解答题（共8小题）
16．（5分）计算：（3.14－π）0－＋|－2|＋()．
17．（6分）解方程：
（1）x2－2x－1＝0；
（2）3x2＋2x－1＝0．
18．（8分）某学校创办“耕耘文学社”以来，关注度逐年上升．学校为了了解学生对“耕耘文学社”的关注度，采用了随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图．（其中A表示“关注”；B表示“不关注”；C表示“非常关注”；D表示“关注很少”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）m＝_______；B所在扇形的圆心角的度数为_______；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校现有学生420名，请估计这420名学生中“非常关注”的学生人数；
（4）在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“不关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“不关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．
19．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°．将一个60°的∠PCQ的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当CP与AB交于点M，CQ同时与AD交于点N时．
（1）求证：△CMN是等边三角形；
（2）当CM等于多少时，△AMN的面积最大，请说明理由．
20．（8分）某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
（2）小明的观点：“该衬衫每天的销售获利能达到1300元”，你同意小明的观点吗？若同意，请求出每件衬衫应降价多少元？若不同意，请说明理由．
21．（10分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝AD．
（1）求证：△BFD∽△CAB；
（2）求证：AF＝DF；
（3）的值等于 ．（直接写出结果，无需解答过程）
22．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化，请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．选：C．
2．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在C区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用C区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可．
【解答】解：由题意可得，指针落在C区域的概率是＝．
故选：D．
3．选：D．
4．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A'B'C'
B．点C、点O、点C'三点在同一直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．AB∥A'B'
【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
则△ABC∽△A'B'C'，本选项说法正确，不符合题意；
B、∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，
∴C、O、C'三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意；
C、∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为1：2，
∴AO：OA'＝1：2，
∴AO：AA'＝1：3，本选项说法错误，符合题意；
D、∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，
∴AB∥A'B'，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
5．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC
【分析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
【解答】解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：B．
6．选：A．
7．选：C．
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知AB＝5，CE＝1，则CF的长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】作OG∥CD交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理证明BG＝CG，根据菱形的性质可得OB＝OD，则GO是△BCD的中位线，可求出BG、CG和OG的长，再求出GE的长，由CF∥GO可得△ECF∽△EGO，根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长．
【解答】解：如图，作OG∥CD交BC于点G，
∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，
∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，
∴＝＝1，
∴BG＝CG＝＝，
∴GO＝CD＝，
∵CE＝1，
∴GE＝CG＋CE＝＋1＝，
∵CF∥GO，
∴△ECF∽△EGO，
∴＝，
∴CF＝＝＝，
∴CF的长为，故选：D．
9．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a－b＋c＝0，称此方程为“月亮”方程．已知方程a2x2－1999ax＋1＝0（a≠0）是“月亮”方程，求的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．－2
【分析】利用新定义得到“月亮”方程的一个解为x＝－1，则a2＋1999a＋1＝0，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得“月亮”方程的一个解为x＝－1，
∵方程a2x2－1999ax＋1＝0（a≠0）是“月亮”方程，
∴a2＋1999a＋1＝0，
∴a2＋1999a＝－1，a2＋1＝－1999a，
∴＝－1＋＝－1－1＝－2．
故选：D．
10．如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列说法：
①∠EAF＝45°；
②连接MG，NG，则△MGN为直角三角形；
③△AMN∽△AFE；
④若BE＝2，FD＝3，则MN的长为．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①根据正方形的性质和全等三角形的判定方法证明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性质即可求出∠EAF＝∠BAD＝45°；
②由旋转知：∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，由旋转知：∠ABH＝∠ADB＝45°，HB＝ND，所以∠HBM＝∠ABH＋∠ABD＝90°，所以MH2＝HB2＋ND2，所以MN2＝MB2＋ND2；根据全等三角形的方法指定△ABM≌Rt△AGM．得出MG＝MB，同理NG＝ND，即可证得MN2＝NG2＋MG2，根据勾股定理的逆定理即可证得△MGN为直角三角形；
③通过证得∠AFE＝∠AMN，根据∠EAF＝∠NAM，即可证得△AMN∽△AFE；
④通过勾股定理求得正方形的边长，进而求得斜边上的高AH，然后根据相似三角形的性质即可证得MN＝．
【解答】解：①在Rt△ABE和Rt△AGE中，，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE＝∠GAE，BE＝EG，
同理，∠GAF＝∠DAF，GF＝DF，
∴∠EAF＝∠BAD＝45°，故①正确；
②连将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，得到图②，连接HM，
由旋转知：∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°，
∴∠HAM＝∠BAM＋∠BAH＝45°，
∴∠HAM＝∠NAM，又AM＝AM，
∴△AHM≌△ANM（SAS），∴MN＝MH
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠ABD＝45°
由旋转知：∠ABH＝∠ADB＝45°，HB＝ND，
∴∠HBM＝∠ABH＋∠ABD＝90°，∴MH2＝HB2＋BM2，
∴MN2＝ND2＋BM2
∵Rt△ABE≌Rt△AGE，∴∠BAM＝∠GAM．
在△ABM和△AGM中，，
∴△ABM≌Rt△AGM（SAS）．∴MG＝MB，
同理NG＝ND，∴MN2＝NG2＋MG2
∴△MGN为直角三角形，故②正确；
③∵∠AEB＋∠BME＋∠DBC＝180°，∠AEF＋∠AFE＋∠EAF＝180°
∵∠DBC＝∠EAF＝45°，∠AEB＝∠AEF，∴∠AFE＝∠BME，∴∠AFE＝∠AMN，
∵∠EAF＝∠NAM，∴△AMN∽△AFE，故③正确；
④∵BE＝EG，GF＝FD，BE＝2，FD＝3，∴EF＝EG＋FG＝5，
设正方形的边长为a，则EC＝a－2，FC＝a－3，
∵EF2＝EC2＋FC2，∴52＝（a－2）2＋（a－3）2，解得a＝6，
∴AB＝AD＝6，∴BD＝6，
作AH⊥BD于H，则AH＝3，
∵△AMN∽△AFE，∴＝，
∵AG＝AB＝6，∴＝，∴MN＝，故④正确．
综上正确结论的个数是4个，故选：A．
二．填空题
11．答案为：（a＋4）2．
12．答案为：20．
13．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出＝，由GH∥CD，得出＝，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【解答】解：∵AB∥GH，
∴＝，即＝①，
∵GH∥CD，
∴＝，即＝②，
①＋②，得＋＝＋＝＝1，
∴＋＝1，解得GH＝．故答案为．
14．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（－2）＝10，则实数x的值为 3 ．
【分析】分两种情况：当x≥－2时，当x＜－2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当x≥－2时，
∵x⊗（－2）＝10，
∴x2＋x－2＝10，
x2＋x－12＝0，
（x＋4）（x－3）＝0，
x＋4＝0或x－3＝0，
x1＝－4（舍去），x2＝3，
当x＜－2时，
∵x⊗（－2）＝10，
∴（－2）2＋x－2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
15．如图，在△ABC中，∠A＝3∠C，BD平分∠ABC，若AB＝6，BC＝10，则线段CD的长为 ．
【分析】作∠BAE＝∠C，过A点作AH⊥BD于H，如图，先证明∠AED＝∠ADE得到HE＝HD，再证明△BAE∽△BCD，则＝＝＝，设BE＝3x，则BD＝5x，EH＝HD＝x，接着利用∠BAC＝3∠C得到∠BAE＝∠EAH＝∠DAH＝∠C，即AE平分∠BAH，根据角平分线定理得到＝＝，于是可计算出AH＝AB＝2，再利用勾股定理计算出BH，从而得到EH，然后利用勾股定理计算AE，从而得到CD的长．
【解答】解：作∠BAE＝∠C，过A点作AH⊥BD于H，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠AED＝∠ABE＋∠EAB，∠ADE＝∠CBD＋∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
而AH⊥DE，
∴HE＝HD，
∵∠ABE＝∠CBD，∠BAE＝∠C，
∴△BAE∽△BCD，
∴＝＝＝＝，
设BE＝3x，则BD＝5x，
∴EH＝HD＝x，
∵∠BAC＝3∠C，
∴∠BAE＝∠EAH＝∠DAH＝∠C，即AE平分∠BAH，
∴＝＝＝，
∴AH＝AB＝×6＝2，
在Rt△ABH中，BH＝＝8，
∴3x＋x＝8，解得x＝2，即EH＝2，
在Rt△AEH中，AE＝＝2，
∵＝，∴CD＝AE＝×2＝．故答案为．
三．解答题
16．【解答】解：原式＝＋2－＋9＝12－4．
17．【解答】解：（1）x2－2x－1＝0，
x2－2x＝1，
x2－2x＋1＝1＋1，
（x－1）2＝2，
x－1＝±，
x－1＝或x－1＝－，
x1＝1＋，x2＝1－；
（2）解：∵a＝3，b＝2，c＝－1
∴△＝22－4×3×（－1）＝16
∴
∴．
18．【解答】解：（1）答案为：25，24°；
（2）画图略；
（3）根据题意得：
420×50%＝210（人），
答：估计这420名学生中“非常关注”的学生人数有210人；
（4）由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果有6种，
∴选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率为＝．
19．【解答】解：（1）△CMN是等边三角形，
理由：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠1＝∠2＝∠BAD，AD∥BC，AB＝BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，
在△ANC和△BMC中，，
∴△ANC≌△BMC（SAS），
∴NC＝MC，∠4＝∠3，
∵AD∥CB，
∴∠4＋∠5＝∠2＝60°，
∴∠3＋∠5＝60°，
∴△CMN是等边三角形；
（2）由（1）△ANC≌△BMC得，四边形AMCN的面积恒等于△ACD的面积，求△AMN的面积最大，即求△CMN面积最小值，又△CMN面积等于CM²，当CM最小时，△CMN面积最小，此时△AMN的面积最大．
理由：当CM⊥AB时CM最短，由△CMN是等边三角形，
∴MN也是最短的．
CM是边长为2等边△ABC的高，
∴CM＝，MN＝，
所以△CMN面积＝CM²＝．
∴△AMN面积的最大值为：．
21．
【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40－x）元，平均每天可售出（20＋2x）件，
依题意得：（40－x）（20＋2x）＝1200，
整理得：x2－30x＋200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
当x＝10时，40－x＝40－10＝30＞25，符合题意；
当x＝20时，40－x＝40－20＝20＜25，不符合题意，舍去．
答：每件衬衫应降价10元．
（2）不同意，理由如下：
设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40－y）元，平均每天可售出（20＋2y）件，
依题意得：（40－y）（20＋2y）＝1300，
整理得：y2－30y＋250＝0，
∵Δ＝（－30）2－4×1×250＝－100＜0，
∴该方程没有实数根，
即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
22．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝AD．
（1）求证：△BFD∽△CAB；
（2）求证：AF＝DF；
（3）的值等于 ．（直接写出结果，无需解答过程）
【分析】（1）由垂直平分线的性质得出BE＝CE，进而得出∠C＝∠EBD，由等腰三角形的性质得出∠FDB＝∠ABD，即可证明△BFD∽△CAB；
（2）由DE垂直平分BC，得出，由相似三角形的性质得出，进而得出FD＝AB，由AB＝AD，得出FD＝AD，即可得出AF＝FD；
（3）过点C作CH∥AD，交BE的延长线于点H，由DE垂直平分BC，得出，证明△BDF∽△BCH，得出，由AF＝FD，即可得出，再证明△AFE∽△CHE，得出，进而得出，由，得出FH＝FB，即可得出．
【解答】（1）证明：∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBD，
∵AB＝AD，
∴∠FDB＝∠ABD，
∴△BFD∽△CAB；
（2）证明：∵DE垂直平分BC，
∴，
∵△BFD∽△CAB，
∴，
∴FD＝AB，
∵AB＝AD，
∴FD＝AD，
∴AF＝FD；
（3）解：如图，过点C作CH∥AD，交BE的延长线于点H，
∵DE垂直平分BC，
∴，
∵CH∥AD，
∴∠BDF＝∠BCH，∠BFD＝∠BHC，
∴△BDF∽△BCH，
∴，
∵AF＝FD，
∴，
∵AD∥HC，
∴∠FAE＝∠HCE，∠AFE＝∠CHE，
∴△AFE∽△CHE，
∴，
∴，
∵，
∴FH＝FB，
∴，
故答案为：．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC ＝ ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化，请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
【分析】（1）由四边形ABCD是边长为4的正方形得AB＝CB＝AD＝DC＝4，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，所以∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，则∠AHC＝∠ACG＝45°－∠ACH；
（2）先证明∠HAC＝∠CAG，由（1）得∠AHC＝∠ACG，则△AHC∽△ACG，得＝，所以AC2＝AG•AH；
（3）①因为S△AGH＝AG•AH＝AG2，AG2＝AB2＋CB2＝42＋42＝32，所以S△AGH＝16，可知△AGH的面积S为定值，这个定值是16；
②分三种情况，一是△CGH是等腰三角形，且CH＝HG，先证明△DCH≌△AHG，得AH＝DC＝AD＝4，再证明△HAE∽△HDC，则＝＝，所以m＝AE＝DC＝2；二是△CGH是等腰三角形，且CG＝GH，先证明△BCG≌△AGH，得BC＝AG＝AB＝4，再证明△AEH∽△BEC，则＝＝2，所以BE＝AE，于是AE＋AE＝4，所以m＝AE＝；三是△CGH是等腰三角形，且CG＝CH，先证明Rt△BCG≌Rt△DCH，得BG＝DH，则AG＝AH，再证明△ACG≌△ACH，则∠ACG＝∠ACH＝×45°＝22.5°，可证明∠AHC＝∠ACH＝22.5°，于是AH＝AC＝＝＝4，即可由△HAE∽△HDC得＝，所以m＝AE＝8－4．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝CB＝AD＝DC＝4，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠AHC＝∠DAC－∠ACH＝45°－∠ACH，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACG＝45°－∠ACH，
∴∠AHC＝∠ACG，
故答案为：＝.
（2）AC2＝AG•AH，
理由：如图1，∵∠HAC＝180°－∠DAC＝135°，∠CAG＝180°－∠BAC＝135°，
∴∠HAC＝∠CAG，
∵∠AHC＝∠ACG，
∴△AHC∽△ACG，
∴＝，
∴AC2＝AG•AH．
（3）①不变化，
如图1，∵∠GAH＝∠BAD＝90°，
∴S△AGH＝AG•AH＝AG2，
∵AG2＝AB2＋CB2＝42＋42＝32，
∴S△AGH＝×32＝16，
∴△AGH的面积S为定值，这个定值是16．
②如图1，△CGH是等腰三角形，且CH＝HG，
∴∠HBC＝∠HCG＝45°，
∴∠CHG＝90°，
∴∠DCH＝∠AHG＝90°－∠DHC，
∵∠D＝∠GAH＝90°，
∴△DCH≌△AHG（AAS），
∴AH＝DC＝AD＝4，
∵AE∥DC，
∵△HAE∽△HDC，
∴＝＝＝，
∴m＝AE＝DC＝×4＝2；
如图2，△CGH是等腰三角形，且CG＝GH，
∴∠GCH＝∠GHC＝45°，
∴∠CGH＝90°，
∴∠BCG＝∠AGH＝90°－∠BGC，
∵∠B＝∠GAH＝90°，
∴△BCG≌△AGH（AAS），
∴BC＝AG＝AB＝4，
∴AH＝BG＝AG＋AB＝4＋4＝8，
∵AH∥BC，
∴△AEH∽△BEC，
∴＝＝＝2，
∴BE＝AE，
∴AE＋AE＝4，
∴m＝AE＝；
如图3，△CGH是等腰三角形，且CG＝CH，
∵∠B＝∠C＝90°，BC＝DC，
∴Rt△BCG≌Rt△DCH（HL），
∴BG＝DH，
∴BG－AB＝DH－AD，
∴AG＝AH，
∵AC＝AC，
∴△ACG≌△ACH（SSS），
∴∠ACG＝∠ACH＝×45°＝22.5°，
∴∠AHC＝∠DAC－∠ACH＝45°－22.5°＝22.5°＝∠ACH，
∴AH＝AC＝＝＝4，
∵△HAE∽△HDC，
∴＝，
∴＝，
∴m＝AE＝8－4，
综上所述，m的值为2或或8－4．
南山外国语学校（集团）2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．方程y2＝25的解是（ ）
A．y＝5 B．y＝－5 C．y＝5或－5 D．y＝0或5
2．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在C区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．若＝＝＝且b－3d＋2f≠0，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A'B'C'
B．点C、点O、点C'三点在同一直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．AB∥A'B'
5．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC
6．用配方法解一元二次方程x2＋6x－10＝0，此方程可变形为（ ）
A．（x＋3）2＝19 B．（x－3）2＝19 C．（x＋2）2＝1 D．（x－3）2＝1
7．下列命题正确的是（ ）
A．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比
B．对角线相等且垂直的四边形是正方形
C．顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形
D．各边对应成比例的两个多边形相似
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知AB＝5，CE＝1，则CF的长是（ ）
A． B． C． D．
9．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a－b＋c＝0，称此方程为“月亮”方程．已知方程a2x2－1999ax＋1＝0（a≠0）是“月亮”方程，求的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．－2
10．如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列说法：①∠EAF＝45°；②连接MG，NG，则△MGN为直角三角形；③△AMN∽△AFE；④若BE＝2，FD＝3，则MN的长为．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（每题3分，共15分）
11．分解因式：a2＋8a＋16＝ ．
12．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小天为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程．小天共摸了200次，其中有40次摸到白球．因此小天估计口袋中的红球大约有 个．
13．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为 ．
14．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（－2）＝10，则实数x的值为 ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝3∠C，BD平分∠ABC，若AB＝6，BC＝10，则CD＝ ．
三．解答题（共8小题）
16．（5分）计算：（3.14－π）0－＋|－2|＋()．
17．（6分）解方程：
（1）x2－2x－1＝0；
（2）3x2＋2x－1＝0．
18．（8分）某学校创办“耕耘文学社”以来，关注度逐年上升．学校为了了解学生对“耕耘文学社”的关注度，采用了随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图．（其中A表示“关注”；B表示“不关注”；C表示“非常关注”；D表示“关注很少”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）m＝_______；B所在扇形的圆心角的度数为_______；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校现有学生420名，请估计这420名学生中“非常关注”的学生人数；
（4）在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“不关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“不关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．
19．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°．将一个60°的∠PCQ的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当CP与AB交于点M，CQ同时与AD交于点N时．
（1）求证：△CMN是等边三角形；
（2）当CM等于多少时，△AMN的面积最大，请说明理由．
20．（8分）某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
（2）小明的观点：“该衬衫每天的销售获利能达到1300元”，你同意小明的观点吗？若同意，请求出每件衬衫应降价多少元？若不同意，请说明理由．
21．（10分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝AD．
（1）求证：△BFD∽△CAB；
（2）求证：AF＝DF；
（3）的值等于 ．（直接写出结果，无需解答过程）
22．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化，请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．选：C．
2．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在C区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用C区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可．
【解答】解：由题意可得，指针落在C区域的概率是＝．
故选：D．
3．选：D．
4．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A'B'C'
B．点C、点O、点C'三点在同一直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．AB∥A'B'
【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
则△ABC∽△A'B'C'，本选项说法正确，不符合题意；
B、∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，
∴C、O、C'三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意；
C、∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为1：2，
∴AO：OA'＝1：2，
∴AO：AA'＝1：3，本选项说法错误，符合题意；
D、∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，
∴AB∥A'B'，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
5．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC
【分析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
【解答】解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：B．
6．选：A．
7．选：C．
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知AB＝5，CE＝1，则CF的长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】作OG∥CD交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理证明BG＝CG，根据菱形的性质可得OB＝OD，则GO是△BCD的中位线，可求出BG、CG和OG的长，再求出GE的长，由CF∥GO可得△ECF∽△EGO，根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长．
【解答】解：如图，作OG∥CD交BC于点G，
∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，
∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，
∴＝＝1，
∴BG＝CG＝＝，
∴GO＝CD＝，
∵CE＝1，
∴GE＝CG＋CE＝＋1＝，
∵CF∥GO，
∴△ECF∽△EGO，
∴＝，
∴CF＝＝＝，
∴CF的长为，故选：D．
9．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a－b＋c＝0，称此方程为“月亮”方程．已知方程a2x2－1999ax＋1＝0（a≠0）是“月亮”方程，求的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．－2
【分析】利用新定义得到“月亮”方程的一个解为x＝－1，则a2＋1999a＋1＝0，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得“月亮”方程的一个解为x＝－1，
∵方程a2x2－1999ax＋1＝0（a≠0）是“月亮”方程，
∴a2＋1999a＋1＝0，
∴a2＋1999a＝－1，a2＋1＝－1999a，
∴＝－1＋＝－1－1＝－2．
故选：D．
10．如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列说法：
①∠EAF＝45°；
②连接MG，NG，则△MGN为直角三角形；
③△AMN∽△AFE；
④若BE＝2，FD＝3，则MN的长为．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①根据正方形的性质和全等三角形的判定方法证明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性质即可求出∠EAF＝∠BAD＝45°；
②由旋转知：∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，由旋转知：∠ABH＝∠ADB＝45°，HB＝ND，所以∠HBM＝∠ABH＋∠ABD＝90°，所以MH2＝HB2＋ND2，所以MN2＝MB2＋ND2；根据全等三角形的方法指定△ABM≌Rt△AGM．得出MG＝MB，同理NG＝ND，即可证得MN2＝NG2＋MG2，根据勾股定理的逆定理即可证得△MGN为直角三角形；
③通过证得∠AFE＝∠AMN，根据∠EAF＝∠NAM，即可证得△AMN∽△AFE；
④通过勾股定理求得正方形的边长，进而求得斜边上的高AH，然后根据相似三角形的性质即可证得MN＝．
【解答】解：①在Rt△ABE和Rt△AGE中，，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE＝∠GAE，BE＝EG，
同理，∠GAF＝∠DAF，GF＝DF，
∴∠EAF＝∠BAD＝45°，故①正确；
②连将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，得到图②，连接HM，
由旋转知：∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°，
∴∠HAM＝∠BAM＋∠BAH＝45°，
∴∠HAM＝∠NAM，又AM＝AM，
∴△AHM≌△ANM（SAS），∴MN＝MH
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠ABD＝45°
由旋转知：∠ABH＝∠ADB＝45°，HB＝ND，
∴∠HBM＝∠ABH＋∠ABD＝90°，∴MH2＝HB2＋BM2，
∴MN2＝ND2＋BM2
∵Rt△ABE≌Rt△AGE，∴∠BAM＝∠GAM．
在△ABM和△AGM中，，
∴△ABM≌Rt△AGM（SAS）．∴MG＝MB，
同理NG＝ND，∴MN2＝NG2＋MG2
∴△MGN为直角三角形，故②正确；
③∵∠AEB＋∠BME＋∠DBC＝180°，∠AEF＋∠AFE＋∠EAF＝180°
∵∠DBC＝∠EAF＝45°，∠AEB＝∠AEF，∴∠AFE＝∠BME，∴∠AFE＝∠AMN，
∵∠EAF＝∠NAM，∴△AMN∽△AFE，故③正确；
④∵BE＝EG，GF＝FD，BE＝2，FD＝3，∴EF＝EG＋FG＝5，
设正方形的边长为a，则EC＝a－2，FC＝a－3，
∵EF2＝EC2＋FC2，∴52＝（a－2）2＋（a－3）2，解得a＝6，
∴AB＝AD＝6，∴BD＝6，
作AH⊥BD于H，则AH＝3，
∵△AMN∽△AFE，∴＝，
∵AG＝AB＝6，∴＝，∴MN＝，故④正确．
综上正确结论的个数是4个，故选：A．
二．填空题
11．答案为：（a＋4）2．
12．答案为：20．
13．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出＝，由GH∥CD，得出＝，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【解答】解：∵AB∥GH，
∴＝，即＝①，
∵GH∥CD，
∴＝，即＝②，
①＋②，得＋＝＋＝＝1，
∴＋＝1，解得GH＝．故答案为．
14．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（－2）＝10，则实数x的值为 3 ．
【分析】分两种情况：当x≥－2时，当x＜－2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当x≥－2时，
∵x⊗（－2）＝10，
∴x2＋x－2＝10，
x2＋x－12＝0，
（x＋4）（x－3）＝0，
x＋4＝0或x－3＝0，
x1＝－4（舍去），x2＝3，
当x＜－2时，
∵x⊗（－2）＝10，
∴（－2）2＋x－2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
15．如图，在△ABC中，∠A＝3∠C，BD平分∠ABC，若AB＝6，BC＝10，则线段CD的长为 ．
【分析】作∠BAE＝∠C，过A点作AH⊥BD于H，如图，先证明∠AED＝∠ADE得到HE＝HD，再证明△BAE∽△BCD，则＝＝＝，设BE＝3x，则BD＝5x，EH＝HD＝x，接着利用∠BAC＝3∠C得到∠BAE＝∠EAH＝∠DAH＝∠C，即AE平分∠BAH，根据角平分线定理得到＝＝，于是可计算出AH＝AB＝2，再利用勾股定理计算出BH，从而得到EH，然后利用勾股定理计算AE，从而得到CD的长．
【解答】解：作∠BAE＝∠C，过A点作AH⊥BD于H，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠AED＝∠ABE＋∠EAB，∠ADE＝∠CBD＋∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
而AH⊥DE，
∴HE＝HD，
∵∠ABE＝∠CBD，∠BAE＝∠C，
∴△BAE∽△BCD，
∴＝＝＝＝，
设BE＝3x，则BD＝5x，
∴EH＝HD＝x，
∵∠BAC＝3∠C，
∴∠BAE＝∠EAH＝∠DAH＝∠C，即AE平分∠BAH，
∴＝＝＝，
∴AH＝AB＝×6＝2，
在Rt△ABH中，BH＝＝8，
∴3x＋x＝8，解得x＝2，即EH＝2，
在Rt△AEH中，AE＝＝2，
∵＝，∴CD＝AE＝×2＝．故答案为．
三．解答题
16．【解答】解：原式＝＋2－＋9＝12－4．
17．【解答】解：（1）x2－2x－1＝0，
x2－2x＝1，
x2－2x＋1＝1＋1，
（x－1）2＝2，
x－1＝±，
x－1＝或x－1＝－，
x1＝1＋，x2＝1－；
（2）解：∵a＝3，b＝2，c＝－1
∴△＝22－4×3×（－1）＝16
∴
∴．
18．【解答】解：（1）答案为：25，24°；
（2）画图略；
（3）根据题意得：
420×50%＝210（人），
答：估计这420名学生中“非常关注”的学生人数有210人；
（4）由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果有6种，
∴选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率为＝．
19．【解答】解：（1）△CMN是等边三角形，
理由：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠1＝∠2＝∠BAD，AD∥BC，AB＝BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，
在△ANC和△BMC中，，
∴△ANC≌△BMC（SAS），
∴NC＝MC，∠4＝∠3，
∵AD∥CB，
∴∠4＋∠5＝∠2＝60°，
∴∠3＋∠5＝60°，
∴△CMN是等边三角形；
（2）由（1）△ANC≌△BMC得，四边形AMCN的面积恒等于△ACD的面积，求△AMN的面积最大，即求△CMN面积最小值，又△CMN面积等于CM²，当CM最小时，△CMN面积最小，此时△AMN的面积最大．
理由：当CM⊥AB时CM最短，由△CMN是等边三角形，
∴MN也是最短的．
CM是边长为2等边△ABC的高，
∴CM＝，MN＝，
所以△CMN面积＝CM²＝．
∴△AMN面积的最大值为：．
21．
【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40－x）元，平均每天可售出（20＋2x）件，
依题意得：（40－x）（20＋2x）＝1200，
整理得：x2－30x＋200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
当x＝10时，40－x＝40－10＝30＞25，符合题意；
当x＝20时，40－x＝40－20＝20＜25，不符合题意，舍去．
答：每件衬衫应降价10元．
（2）不同意，理由如下：
设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40－y）元，平均每天可售出（20＋2y）件，
依题意得：（40－y）（20＋2y）＝1300，
整理得：y2－30y＋250＝0，
∵Δ＝（－30）2－4×1×250＝－100＜0，
∴该方程没有实数根，
即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
22．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝AD．
（1）求证：△BFD∽△CAB；
（2）求证：AF＝DF；
（3）的值等于 ．（直接写出结果，无需解答过程）
【分析】（1）由垂直平分线的性质得出BE＝CE，进而得出∠C＝∠EBD，由等腰三角形的性质得出∠FDB＝∠ABD，即可证明△BFD∽△CAB；
（2）由DE垂直平分BC，得出，由相似三角形的性质得出，进而得出FD＝AB，由AB＝AD，得出FD＝AD，即可得出AF＝FD；
（3）过点C作CH∥AD，交BE的延长线于点H，由DE垂直平分BC，得出，证明△BDF∽△BCH，得出，由AF＝FD，即可得出，再证明△AFE∽△CHE，得出，进而得出，由，得出FH＝FB，即可得出．
【解答】（1）证明：∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBD，
∵AB＝AD，
∴∠FDB＝∠ABD，
∴△BFD∽△CAB；
（2）证明：∵DE垂直平分BC，
∴，
∵△BFD∽△CAB，
∴，
∴FD＝AB，
∵AB＝AD，
∴FD＝AD，
∴AF＝FD；
（3）解：如图，过点C作CH∥AD，交BE的延长线于点H，
∵DE垂直平分BC，
∴，
∵CH∥AD，
∴∠BDF＝∠BCH，∠BFD＝∠BHC，
∴△BDF∽△BCH，
∴，
∵AF＝FD，
∴，
∵AD∥HC，
∴∠FAE＝∠HCE，∠AFE＝∠CHE，
∴△AFE∽△CHE，
∴，
∴，
∵，
∴FH＝FB，
∴，
故答案为：．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC ＝ ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化，请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
【分析】（1）由四边形ABCD是边长为4的正方形得AB＝CB＝AD＝DC＝4，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，所以∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，则∠AHC＝∠ACG＝45°－∠ACH；
（2）先证明∠HAC＝∠CAG，由（1）得∠AHC＝∠ACG，则△AHC∽△ACG，得＝，所以AC2＝AG•AH；
（3）①因为S△AGH＝AG•AH＝AG2，AG2＝AB2＋CB2＝42＋42＝32，所以S△AGH＝16，可知△AGH的面积S为定值，这个定值是16；
②分三种情况，一是△CGH是等腰三角形，且CH＝HG，先证明△DCH≌△AHG，得AH＝DC＝AD＝4，再证明△HAE∽△HDC，则＝＝，所以m＝AE＝DC＝2；二是△CGH是等腰三角形，且CG＝GH，先证明△BCG≌△AGH，得BC＝AG＝AB＝4，再证明△AEH∽△BEC，则＝＝2，所以BE＝AE，于是AE＋AE＝4，所以m＝AE＝；三是△CGH是等腰三角形，且CG＝CH，先证明Rt△BCG≌Rt△DCH，得BG＝DH，则AG＝AH，再证明△ACG≌△ACH，则∠ACG＝∠ACH＝×45°＝22.5°，可证明∠AHC＝∠ACH＝22.5°，于是AH＝AC＝＝＝4，即可由△HAE∽△HDC得＝，所以m＝AE＝8－4．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝CB＝AD＝DC＝4，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠AHC＝∠DAC－∠ACH＝45°－∠ACH，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACG＝45°－∠ACH，
∴∠AHC＝∠ACG，
故答案为：＝.
（2）AC2＝AG•AH，
理由：如图1，∵∠HAC＝180°－∠DAC＝135°，∠CAG＝180°－∠BAC＝135°，
∴∠HAC＝∠CAG，
∵∠AHC＝∠ACG，
∴△AHC∽△ACG，
∴＝，
∴AC2＝AG•AH．
（3）①不变化，
如图1，∵∠GAH＝∠BAD＝90°，
∴S△AGH＝AG•AH＝AG2，
∵AG2＝AB2＋CB2＝42＋42＝32，
∴S△AGH＝×32＝16，
∴△AGH的面积S为定值，这个定值是16．
②如图1，△CGH是等腰三角形，且CH＝HG，
∴∠HBC＝∠HCG＝45°，
∴∠CHG＝90°，
∴∠DCH＝∠AHG＝90°－∠DHC，
∵∠D＝∠GAH＝90°，
∴△DCH≌△AHG（AAS），
∴AH＝DC＝AD＝4，
∵AE∥DC，
∵△HAE∽△HDC，
∴＝＝＝，
∴m＝AE＝DC＝×4＝2；
如图2，△CGH是等腰三角形，且CG＝GH，
∴∠GCH＝∠GHC＝45°，
∴∠CGH＝90°，
∴∠BCG＝∠AGH＝90°－∠BGC，
∵∠B＝∠GAH＝90°，
∴△BCG≌△AGH（AAS），
∴BC＝AG＝AB＝4，
∴AH＝BG＝AG＋AB＝4＋4＝8，
∵AH∥BC，
∴△AEH∽△BEC，
∴＝＝＝2，
∴BE＝AE，
∴AE＋AE＝4，
∴m＝AE＝；
如图3，△CGH是等腰三角形，且CG＝CH，
∵∠B＝∠C＝90°，BC＝DC，
∴Rt△BCG≌Rt△DCH（HL），
∴BG＝DH，
∴BG－AB＝DH－AD，
∴AG＝AH，
∵AC＝AC，
∴△ACG≌△ACH（SSS），
∴∠ACG＝∠ACH＝×45°＝22.5°，
∴∠AHC＝∠DAC－∠ACH＝45°－22.5°＝22.5°＝∠ACH，
∴AH＝AC＝＝＝4，
∵△HAE∽△HDC，
∴＝，
∴＝，
∴m＝AE＝8－4，
综上所述，m的值为2或或8－4．
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