北师大版 八年级上册 第二章实数复习 测试题 含答案

这是一份北师大版 八年级上册 第二章实数复习 测试题 含答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 第二章实数复习
　一、选择题
1．下列各数中的无理数是（　　）
A． B．3.14 C． D．0.1010010001…（两个1之间的零的个数依次多1个）
2．下列各结论中，正确的是（　　）
A． B． C．D．﹣（﹣）2=﹣25
3．=（　　） A．±3 B．3 C．±81 D．81
4．如果x是0.01的算术平方根，则x=（　　） A．0.0001 B．±0.0001 C．0.1 D．±0.1
5．的算术平方根是（　　） A． B．2 C．4 D．16
6．分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③7、8、15 ④40、41、9．其中是勾股数的有（　　） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
7．下列说法错误的是（　　）
A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数都是无理数
C．正数、负数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应
8．若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，则斜边上的高为（　　）
A． cm B． cm C．5cm D． cm
9．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于（　　）

A．2 B．8 C． D．
10．一架2.5m高的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子脚距墙底端的距离为0.7m．如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子脚将离墙角（　　）
A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m
二、填空题
11．任意写一对和是有理数的无理数　　　　　　．
12．一个正方形的面积扩大为原来的100倍，则其边长扩大为原来的　　　　　　倍．
13．如果a的平方根是±5，那么=　　　　　　．
14．如图，数轴上点A表示的数是　　　　　　．
15．在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=　　　　　　．
16．比较下列实数的大小（填上＞、＜或=）
①﹣　　　　　　﹣； ②　　　　　　；③2　　　　　　3．
17．若4＜＜10，则满足条件的整数a有　　　　　　个．
18．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为　　　　　　．（π不取近似值）
19．已知5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，则ab+5b=　　　　　　．
20．已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为　　　　　　cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
三、计算题
21．（1）﹣+ （2）﹣+ （3）


（4）（π﹣2009）0++|﹣2| （5）+（1+）（1﹣）


（6）（﹣）÷．

四、解答题：（22-24每小题6分，25题8分，26题10分，共36分）
22．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC和EF的长．


23．如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积．

24．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=BB′=2，AD=3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？

25．已知：∠B=90°，点P从B点开始沿BA边向点A以2厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动．P、Q分别从B点同时出发，经过几秒钟，线段PQ=10厘米？此时△PBQ的面积等于多少厘米2？





26．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=　　　　　　，b=　　　　　　，c=　　　　　　．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，分析其中的规律，写出第五组勾股数　　　　　　．

一、选择题
1．下列各数中的无理数是（　　）
A．
B．3.14
C．
D．0.1010010001…（两个1之间的零的个数依次多1个）
【考点】无理数．菁优网版权所有
【专题】存在型．
【分析】根据无理数是无限不循环小数对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、=4，4是有理数，故本选项错误；
B、3.14是小数，故是有理数，故本选项错误；
C、是分数，分数是有理数，故本选项错误；
D、0.1010010001…（两个1之间的零的个数依次多1个）是无限不循环小数，故是无理数，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查的是无理数的定义，即初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
　
2．下列各结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．﹣（﹣）2=﹣25
【考点】二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的性质对备选答案进行化简，从解答的结论中就可以求出答案．
【解答】解：A，原式=﹣6，本答案正确；
B、原式=3，本答案错误；
C、原式=16，本答案错误．
故选A．
【点评】本题考查了二次根式的性质的运用及二次根式的化简．
　
3．=（　　）
A．±3 B．3 C．±81 D．81
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵32=9，
∴=3．
故选B．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，是一个基础题目，比较简单．
　
4．如果x是0.01的算术平方根，则x=（　　）
A．0.0001 B．±0.0001 C．0.1 D．±0.1
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】直接根据算术平方根的定义求解即可．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
【解答】解：∵0.12=0.01，
∴x=0.1．
故选C．
【点评】此题主要考查算术平方根的定义及其它们的应用，比较简单．算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
　
5．的算术平方根是（　　）
A． B．2 C．4 D．16
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【分析】先化简，再根据算术平方根的定义，即可解答．
【解答】解： =2，2的算术平方根为，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
　
6．分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③7、8、15 ④40、41、9．其中是勾股数的有（　　）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
【考点】勾股数．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解答】解：①62+82=100=102，是勾股数；
②52+122=132，是勾股数；
③72+82≠152，不是勾股数；
④92+402=412，是勾股数．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股数的定义，比较简单．
　
7．下列说法错误的是（　　）
A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数都是无理数
C．正数、负数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应
【考点】实数．菁优网版权所有
【分析】A、根据无理数的定义和相反数的定义即可判断；
B、根据无理数的定义进行判断；
C、根据有理数的分类进行判断；
D、根据实数与数轴的关系进行判断．
【解答】解：A、无理数的相反数还是无理数，如的相反数是﹣也是无理数，π的相反数﹣π，也是无理数等．故本选项正确；
B、无理数就是无限不循环小数，故本选项正确；
C、正数、负数和0统称为有理数；故本选项错误；
D、实数与数轴上的点一一对应．故本选项正确；
故选C．
【点评】本题考查了实数，无理数是指无限不循环小数，a的相反数是﹣a，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
　
8．若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，则斜边上的高为（　　）
A． cm B． cm C．5cm D． cm
【考点】勾股定理；三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】应用题．
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据勾股定理，斜边==5，
设斜边上的高为h，
则S△=×3×4=×5•h，
整理得5h=12，
解得h=cm．
故选B．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积的利用，根据三角形的面积列式求出斜边上的高是常用的方法之一，需熟练掌握．
　
9．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于（　　）

A．2 B．8 C． D．
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【专题】压轴题；图表型．
【分析】根据图中的步骤，把64输入，可得其算术平方根为8，8再输入得其算术平方根是，是无理数则输出．
【解答】解：由图表得，
64的算术平方根是8，8的算术平方根是；
故选D．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，看懂图表的原理是正确解答的关键．
　
10．一架2.5m高的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子脚距墙底端的距离为0.7m．如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子脚将离墙角（　　）
A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AO的长度，再计算出DO的长度，可得答案．
【解答】解：由题意画图形：
∵AB=2.5米，BO=0.7米，
∴AO==2.4（米），
∵AC=0.4米，
∴CO=2米，
∴梯子脚将离墙角距离为：DO==1.5（米）．
故选：B．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是根据题意正确画出图形，再根据勾股定理求出DO、AO的长．
　
二、填空题
11．任意写一对和是有理数的无理数　+（﹣）=0　．
【考点】实数的运算．菁优网版权所有
【专题】开放型．
【分析】找出两个无理数，使它们的和为有理数即可．
【解答】解：根据题意得： +（﹣）=0，
故答案为： +（﹣）=0．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
12．一个正方形的面积扩大为原来的100倍，则其边长扩大为原来的　10　倍．
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【分析】求边长扩大为原来的多少倍，实际上是求扩大面积的算术平方根，即求100的算术平方根．
【解答】解：设一个正方形的面积为a2，面积扩大为原来的100倍后为100a2，
则100的算术平方根为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根的定义．
　
13．如果a的平方根是±5，那么=　5　．
【考点】平方根；算术平方根．菁优网版权所有
【分析】根据平方根求出a的值，根据算术平方根定义求出即可．
【解答】解：∵a的平方根是±5，
∴a=25，
∴==5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了对平方根和算术平方根定义的应用，主要考查学生的计算能力．
　
14．如图，数轴上点A表示的数是　　．

【考点】实数与数轴．菁优网版权所有
【分析】本题首先根据已知条件利用勾股定理求得OA的长度，进而利用实数与数轴的关系解答即可求解．
【解答】解：由勾股定理可知，易得OA==，
又因为点A在负半轴上，故A表示的数是﹣；
故答案为﹣．
【点评】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，不仅要结合图形，还需要熟悉勾股定理．
　
15．在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=　8　．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【分析】根据勾股定理即可求得该代数式的值．
【解答】解：∵AB2=BC2+AC2，AB=2，
∴AB2+BC2+AC2=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
　
16．比较下列实数的大小（填上＞、＜或=）
①﹣　＜　﹣； ②　＞　；③2　＜　3．
【考点】实数大小比较．菁优网版权所有
【分析】①根据，，9＞8，所以；
②利用分母相同的两数比较分子即可得出大小关系；
③将根号外的因式移到根号内部，进而得出答案
【解答】解：①∵，，9＞8，
∴；
②∵，
∴；
③∵，，
∴．
故答案为：①＜；②＞；③＜．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数比较的大小法则是解题关键．
　
17．若4＜＜10，则满足条件的整数a有　83　个．
【考点】估算无理数的大小．菁优网版权所有
【分析】求出a的范围是16＜a＜100，求出16和100之间的整数即可．
【解答】解：∵4＜＜10，a为整数，
∴＜＜，
∴整数a有17、18、19、…99，共99﹣17+1=83个数，
故答案为：83．
【点评】本题考查了算术平方根和估算无理数的大小的应用，关键是求出a的范围．
　
18．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为　72π　．（π不取近似值）

【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【分析】利用勾股定理求出另一直角边，再由圆的面积公式计算即可．
【解答】解：如图所示：

a==24，
故阴影部分的面积=π×122=72π．
故答案为：72π．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出半圆的直径．
　
19．已知5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，则ab+5b=　2　．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】首先确定5+和5﹣的整数部分，则a和b即可求得，然后代入代数式化简求解即可．
【解答】解：5+的整数部分是7，则小数部分a=5+﹣7=﹣2，
5﹣的整数部分是2，则小数部分b=5﹣﹣2=3﹣．
故ab+5b=（﹣2）（3﹣）+5（3﹣）=5﹣13+15﹣5=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，正确确定a和b的值是本题的关键．
　
20．已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为　13或　cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【分析】已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形斜边和短边二种情况下的结果．
【解答】解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为=13；
当12为斜边时，第三条线段长为==．
故答案为：13或．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，注意要分两种情况讨论．
　
三、计算题
21．（1）﹣+
（2）﹣+
（3）
（4）（π﹣2009）0++|﹣2|
（5）+（1+）（1﹣）
（6）（﹣）÷．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．菁优网版权所有
【分析】（1）（2）先化简，再合并得出答案即可；
（3）先算乘法，化简后再算除法；
（4）先算0指数幂，绝对值，化简二次根式，进一步合并即可；
（5）先化简，利用平方差公式计算，进一步合并得出答案即可；
（6）先化简，再算减法，最后算除法．
【解答】解：（1）原式=2﹣3+5
=4；
（2）原式=3﹣+2
=；
（3）原式=
=3；
（4）原式=1+2+2﹣
=3+；
（5）原式=+1﹣3
=2﹣2
=0；
（6）原式=（3﹣）÷（2）
=÷（2）
=．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和合并．
　
四、解答题：（22-24每小题6分，25题8分，26题10分，共36分）
22．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC和EF的长．

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】想求得FC，EF长，那么就需求出BF的长，利用直角三角形ABF，使用勾股定理即可求得BF长．
【解答】解：折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，
所以AF=AD=BC=10厘米（2分）
在Rt△ABF中，AB=8厘米，AF=10厘米，
由勾股定理，得
AB2+BF2=AF2
∴82+BF2=102
∴BF=6（厘米）
∴FC=10﹣6=4（厘米）．
设EF=x，由折叠可知DE=EF=x
由勾股定理，得EF2=FC2+EC2
∴x2=42+（8﹣x）2
∴x2=16+64﹣16x+x2，
解得x=5（厘米）．
答：FC和EF的长分别为4厘米和5厘米．
【点评】翻折中较复杂的计算，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段．
　
23．如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积．

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，那么△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【解答】解：如图，连接AC．
在△ACD中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，
∴AC=5米，
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=×5×12﹣×3×4=24（平方米）．

【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．
　
24．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=BB′=2，AD=3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？

【考点】平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有
【分析】做此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，由于在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】解：如图1所示：

由题意得：AD=3，DC′=2+2=4，
在Rt△ADC′中，由勾股定理得AC′===5，
如图2所示：

由题意得：AC=5，C′C=2，
在Rt△ACC′中，由勾股定理得； =，
∵．
∴第一种方法蚂蚁爬行的路线最短，最短路程是5．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的路线．
　
25．已知：∠B=90°，点P从B点开始沿BA边向点A以2厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动．P、Q分别从B点同时出发，经过几秒钟，线段PQ=10厘米？此时△PBQ的面积等于多少厘米2？

【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】几何动点问题．
【分析】根据题意结合勾股定理得出t的值，进而求出△PBQ的面积．
【解答】解：设t秒时，PQ=10cm，
由题意可得：BQ=tcm，BP=2tcm，
故t2+（2t）2=100，
解得：t1=2，t2=﹣2（不合题意舍去），
则BQ=2cm，BP=4cm，
故△PBQ的面积为：×2×4=20（cm2），
答：当2秒时，线段PQ=10厘米，此时△PBQ的面积等于20cm2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，得出t的值是解题关键．
　
26．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=　n2﹣1　，b=　2n　，c=　n2+1　．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，分析其中的规律，写出第五组勾股数　112+602=612　．
【考点】勾股数．菁优网版权所有
【专题】规律型．
【分析】（1）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2，加减1，即可得出答案；
（2）利用完全平方公式计算出a2+b2的值，以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．
（3）①这些式子每个都呈a2+b2=c2（a，b，c为正整数）的形式．②每个等式中a是奇数，b为偶数（实际上还是4的倍数），c奇数．③c=b+1．④各个式子中，a的取值依次为3，5，7，9，11，是连续增大的奇数．⑤各个式子中，b的取值依次为4，12，24，40，所以第5个式子为112+602=612．
【解答】解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=22﹣1，b=4，c=22+1，
n=3时，a=32﹣1，b=2×3，c=32+1，
n=4时，a=42﹣1，b=2×4，c=42+1，
…
∴a=n 2﹣1，b=2n，c=n 2+1．

（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a2+b2=（n2﹣1）2+4n2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．

（3）由分析得出：第5组的式子为：112+602=612．
故答案为：112+602=612．
【点评】此题主要考查了勾股数，以及勾股定理，关键是找出数据之间的变化规律．