七年级下册培优试卷：5平行线的综合

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七年级数学复习专题：平行线的综合知识讲解1．平行线：在同一平面内，两条不相交的直线叫平行线．2．平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．3．平行线的性质：　　（1）两直线平行，同位角相等．　　（2）两直线平行，内错角相等．　　（3）两直线平行，同旁内角互补．4．平行线的判定：　　（1）如果两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行公理的推论）．　　（2）同位角相等，两直线平行．　　（3）内错角相等，两直线平行．　　（4）同旁内角互补，两直线平行．5．平移：图形平移前后，形状和大小不发生改变．对应点的连线平行且相等．6．几个典型图形中的结论：典例分析一、与平行有关的计算例1、（1）如图1，AB∥CD，BE⊥EC于E，BF平分∠ABE，CF平分∠ECD，则∠F＝________．解析：　　由典型图形可得∠F=∠ABF＋∠DCF=（∠ABE＋∠DCE）=∠E．答案：45°． 　　（2）如图2，AB∥EF，∠C＝90°，则x＋y－z=_________．解析：　　由典型图形可得x＋y=z＋90°．答案：　　x＋y－z=90°；　　（3）如图3，若∠AOB＝25°，则∠ACD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFB＝________．解析：　　分别过C作BO的平行线，过F作AO的平行线，　　再由典型图形可得　　∠ACD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFB　　＝540°+25°=565°．答案：565°二、平移的应用例2、（1）如图，小明从A 处出发沿北偏东60°向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至 C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（　）A．右转80°　　　　　　　　　　B．左转80°C．右转100°　　　　　　　　　 D．左转100°解析：　　（1）画出调整后的图形，利用平行的性质求解．答案：　　（1）如图所示：由题意可知，∠FAB=60°，∠DBG=20°，　　由AF∥BG，得∠ABG=120°，则∠ABD=100°，　　又AB∥CE，则∠BCE=100°，∠DCE=80°．　　所以方向的调整应是右转80°．　　（2）把两个一样的梯形纸片如图1摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图2，已知AD＝4，BC＝8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，则图2中平移的距离A′A=_________．解析：　　设A′A=x，利用梯形面积公式计算．答案：　　设A′A=x，则AD′=4－x，B′B=x，BC=8－x．　　∵阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，　　　　∴x=3．　　（3）如图，大长方形的周长为20，则图中五个小长方形的周长之和为_________． 解析：　　利用平移，将五个小长方形水平的线段转化到大长方形的长，竖直的线段转化为大长方形的宽，再计算周长．答案：　　∵五个小长方形的一个长相加等于大长方形的一个长，五个小长方形的一个宽相加等于大长方形的一个宽，　　∴五个小长方形的周长之和为大长方形的周长．　　∴五个小长方形的周长之和为20．例3、探究题　　（1）如图，直线L是一条固定直线，点A与点B是两个固定点，点P是直线L上一个动点，则动点P运动到什么位置，线段PA＋PB最小？ 　　（2）运用上述结论探究下面问题：如图，在一条河的两旁有两个村庄A、B，现要在河流上建一座垂直于河岸的桥梁，问桥梁建在何处可使A村庄到达B村庄的距离AM＋MN＋NB最短？解析：　　（1）当点P与A，B三点共线时，线段PA＋PB最小；　　（2）当AM＋NB最短时，即AM＋MN＋NB最短．将线段MN平移，使点N与B点重合，再连接AM，交上河岸于一点，该点即为修桥地点．答案：　　（1）点P运动至线段AB与直线l的交点位置时，线段PA＋PB最小． 　　（2）作图过程如下：①过点B作BC⊥b，且BC=河宽；　　②连接AC，交a于点M；　　③过M点作MN⊥b，垂足为N，MN即为修桥地点；　　④连接BN．　　此时，AM＋MN＋NB最短． 三、平行线的判定和性质的综合应用例4、已知：AB∥CD，∠1＝∠2，求证：a∥b．解析：　　直线a，b之间无截线，没有形成“三线八角”的基本图形，故应考虑构造辅助线，可连接AD或延长AB．答案：　　方法一：证明：连接AD，　　∵AB∥CD，　　∴∠BAD＝∠ADC．　　∵∠1＝∠2，　　∴∠BAD＋∠1＝∠ADC＋∠2．　　∴a∥b．　　方法二：证明：延长AB交直线b于点E，　　∵AB∥CD，　　∴∠AED＝∠2．　　∵∠1＝∠2，　　∴∠AED＝∠1．　　∴a∥b．例5、如图，在三角形ABC中，∠1＋∠2=180°，∠3=∠B，试证明：∠ADE=∠ACB．解析：　　欲证∠ADE=∠ACB，需证DE∥CB．由∠1＋∠2=180°，可证DF∥AB．　　可得∠3=∠AED=∠B，故得证．答案：　　证明：∵∠1＋∠2=180°，∠EFD＋∠2=180°，　　∴∠1＝∠EFD．　　∴DF∥AB．　　∴∠3＝∠AED．　　∵∠3=∠B ，　　∴∠AED＝∠B．　　∴DE∥CB．　　∴∠ADE＝∠ACB．例6、如图，AB∥CD，∠AEC＝90°，　　（1）当CE平分∠ACD时，求证：AE平分∠BAC； 　　（2）移动直角顶点E点，如图，∠MCE＝∠ECD，当E点移动时，问∠BAE与∠MCG是否存在确定的数量关系，并证明．解析：　　（1）由AB∥CD，得∠BAC＋∠ACD＝180°，　　过E作EF∥AB，可得EF∥AB∥CD，可得　　∠BAE＝∠AEF＝90°－∠CEF=90°－∠ECD，　　而∠BAC＝180°－∠ACD=180°－2∠ECD，　　则∠BAC=2∠BAE，则AE平分∠BAC．　　（2）过点M作MF∥AB，由（1）可知，ME平分∠FMC，　　则可证∠MCG=∠FMC=2∠FME=2∠BAE． 答案：　　(1)证明：过E作EF∥AB，　　∵AB∥CD，EF∥AB，　　∴EF∥AB∥CD．　　∴∠CEF=∠ECD，∠BAE＝∠AEF．　　∵∠AEC＝90°，　　∴∠BAE＝∠AEF＝90°－∠CEF=90°－∠ECD．　　又AB∥CD，　　∴∠BAC＋∠ACD＝180°．　　∴∠BAC＝180°－∠ACD=180°－2∠ECD．　　∴∠BAC＝2∠BAE．　　∴AE平分∠BAC．　　(2)证明：过M作MF∥AB，　　∵AB∥CD， FM∥AB，　　∴FM∥AB∥CD．　　∴∠BAE=∠FME，∠FMC＝∠MCG．　　由（1）可知，ME平分∠FMC．　　∴∠MCG=∠FMC＝2∠FME=2∠BAE．