人教版八年级上册15.3 分式方程第1课时教学设计及反思

第十五章 分式

15.3  分式方程

第1课时    分式方程及其解法

一、教学目标

1.了解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本思路.

2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法.

3.理解分式方程无解的原因，掌握分式方程验根的方法.

二、教学重难点

重点：解分式方程的基本思路和解法.

难点：理解分式方程无解的原因.

三、教学过程

【新课导入】

[复习导入]方程的概念：指含有未知数的等式.  

一元一次方程：指只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式.

二元一次方程：指含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.

一元一次方程和二元一次方程都是整式方程.

整式方程是指方程里面所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数.

教师带领学生复习旧知，并完成“练一练”，为这节课的学习做准备.

【新知探究】

知识点1   分式方程的定义

[提出问题]一辆汽车从甲地开往乙地需要5小时，返回时每小时少行驶15千米，多用了1小时，求甲、乙两地间的距离是多少千米？

一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江流顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，则江水的流速为多少？

[学生思考]学生独立思考，之后教师点名学生回答,得到如下两个方程：

设甲、乙两地间的距离是x千米，则你列得的方程为.

设江水的流速为多少vkm/h，则你列得的方程为.

[提出问题]观察得到的两个方程，两者有什么区别？教师可引导学生观察分母的不同.

[小组讨论]学生小组间互相讨论，教师点名每组学生代表回答.最终总结得到：方程是我们学习过的一元一次方程；方程是是分式方程.

[归纳总结]分式方程的定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程.

[课件展示]跟踪训练

下列各式哪些是整式方程？哪些是分式方程？

是整式方程的有：               ；

是分式方程的有：                                       .

提醒学生：不含未知数，不是方程；不是等式，不是方程.中，π不是未知数.

[归纳总结]判断一个式子是否为分式方程的注意事项：（1）分式方程必须满足的条件：①是方程；②含有分母；③分母中含有未知数.三者缺一不可.（2）分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程分母中虽然含有字母m，但m不是未知数，所以该方程是整式方程.

知识点2   分式方程的解法

[提出问题]如何解分式方程？我们先来看一下刚才的解题过程：

通过这道题，你有什么灵感了吗？

[小组讨论]学生小组间互相讨论，同时教师引导学生可将未知的问题转化为已知的问题求解，由于学习过整式方程的解法，所以我们可以将分式方程转化为整式方程来解答.仿照刚才复习的解一元一次方程的过程，学生通过思考如下三个问题，逐步找到解分式方程的思路：

[课件展示]教师利用多媒体展示如下解题过程：

解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得90(30-v)=60(30+v).

解得   v=6.

检验：将v=6代入原分式方程中，左边==右边，

因此v=6是原分式方程的解.

[归纳总结]解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”， 即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.

[提出问题]下面我们再讨论一个分式方程：.请你试着解一解吧！ 

[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，之后教师点名学生，其他学生订正，补充.学生发现，把x=5代入原分式方程检验，发现这时分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.

[教师总结]x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解.实际上，这个分式方程无解.

[提出问题]上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是①的解，而去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 

[小组讨论]学生小组间互相讨论，教师点名每组学生代表回答.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下思考过程：

[归纳总结]一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.

这是解分式方程必不可少的步骤.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例1  解方程

解：方程两边乘x(x-3),得2x=3x-9.

解得 x=9.

检验：当x=9时，x(x-3)≠0.

所以，原分式方程的解为x=9.

例2  解方程

解：方程两边乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.

解得x=1.

检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.

所以，原分式方程无解.

提醒学生：常数项“1”也要乘以最简公分母.

拓展点：将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根.x=1是该分式方程的增根.

[归纳总结]

简记为：一去二解三检验.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例3   解关于a的方程：

解：方程可变形为

整理，得

方程两边乘（a+2)(a-2),得  6(a-2)-（a+3)（a+2)+a2=0.

解得   a=18. 

检验：当a=18时，（a+2)(a-2)≠0.

所以，原分式方程的解为a=18.

提醒学生注意：分解因式和约分.当分子是多项式时，加括号.

[归纳总结]解分式方程的注意事项:

（1）①当分式方程中含有可分解因式的多项式时,先将其进行因式分解,可方便确定最简公分母；②分母因式分解后,观察分式的分子和分母，能约分的要先约分,可方便计算;

（2）解分式方程的关键是去分母，在去分母时，分式方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项；

（3）如果分式的分子是多项式，那么去分母时，一定要先将分子加上括号；

（4）因为解分式方程可能会产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤.

知识点3     含有字母的分式方程的解法

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例4   解关于x的分式方程：

[提出问题]该分式方程中除了含有表示未知数x的字母外，还含有表示已知数的字母a、b，这样的方程叫做含有字母的分式方程.原方程是关于x的分式方程，则x表示未知数，a、b表示已知数，将字母a、b看作是常数，按照解一般分式方程的步骤即可. 你会解答吗？试一试吧！

[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下解题过程：

解：方程两边乘abx,得bx-a2b=ax-ab2.

整理,得（a-b）x=-ab（a-b）.

因为a≠b，所以a-b≠0.

方程两边除以a-b,得x=-ab.

检验：当x=-ab时，abx=-a2b2≠0,因此x=-ab是原分式方程的解.

[归纳总结]含有字母的分式方程的解法及注意事项：

含有用字母表示的已知数的分式方程的解法与含数字系数的分式方程的解法一样,也是去分母、解整式方程、检验这三个步骤，只是字母所表示的数未确定，所以要注意:(1)去分母时两边同时乘以最简公分母，需验证最简公分母是否等于0;(2)在系数化为1时，要注意分类讨论，系数是不是0.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例5   （2021•雅安）若关于x的分式方程2﹣＝的解是正数，则k的取值范围是 　k＜4且k≠0　．

【解析】方程两边乘x-2，得2（x﹣2）﹣（1﹣k）＝﹣1.解得x＝.

∵分式方程的解为正数，且x≠2，

∴，且.解得k＜4且k≠0.故答案为k＜4且k≠0．

[归纳总结]求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例6    若分式方程＝无解，求实数a的值.

[归纳总结]无解与增根的区别

分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．

分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．

[课件展示]教师利用多媒体展示如下解题过程：

解：方程两边乘(x-2)2，得x﹣2＝ax﹣3.整理，得（a﹣1）x＝1.∵分式方程＝无解，∴(1)最简公分母为0，即x＝2，把x＝2代入（a﹣1）x＝1,得2（a﹣1）＝1，解得a＝；(2)整式方程（a﹣1）x＝1无解，即a﹣1＝0，解得a＝1．故实数a的值为1或．

【课堂小结】

【课堂训练】

1.下列关于x的方程，是分式方程的是（　B　）

A．                         B．         

C．                             D．

2．(2021·成都金牛区模拟)方程去分母后的结果正确的是(  C   )

A.2-1-x=1                     B.2-1+x=1

C.2-l+x=2x                    D.2-1-x=2x

3．（2021•广州）方程＝的解为（　D　）

A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6

4．（2021•怀化）定义a⊗b＝2a+，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（　B　）

A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝

【解析】根据题中的新定义，得3⊗x＝2×3+，4⊗2＝2×4+，∵3⊗x＝4⊗2，∴2×3+＝2×4+.解得x＝.经检验，x＝是分式方程的根．故选B．

5．(1)（2021•海南）分式方程＝0的解是 　x＝1　．

(2)（2021•常德）分式方程+＝的解为 　x＝3　．

6．（2021•达州）若分式方程﹣4＝的解为整数，则整数a＝　±1　．

【解析】方程两边乘（x+1）（x﹣1），得（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a）.

整理,得ax＝2.∵a为整数，∴解得x=.

∵x为整数，且x≠±1，∴a＝±1．故答案为±1．

7．解下列方程：（1）（2021•广西）＝+1；

（2）（2021•连云港）﹣＝1；

（3）.

解：（1）方程两边乘3（x+1），得

3x＝x+3x+3.

解得x＝﹣3.

检验：当x＝﹣3时，3（x+1）≠0.

所以，原分式方程的解为x＝﹣3．

（2）方程两边乘（x+1）（x﹣1），得

（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1）.

整理,得2x﹣2＝0.

解得x＝1．

检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，

因此x＝1不是原分式方程的解．

所以原分式方程无解．

（3）原分式方程可化为.

                                          ,

方程两边乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1).                    

解得x=6.

检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，

所以,原分式方程的解是x=6.      

8．已知关于x的分式方程的解与方程的解相同，求a的值.

解：解分式方程，得x=2.经检验，x=2是原方程的解.

因为关于x的分式方程的解与方程的解相同.

所以将x=2代入，可得.

解得a=-3.

经检验，a=-3是方程的解，所以a=-3.

9.若关于x的分式方程有解，求k的取值范围.    

解：方程两边乘x(x-1)，得6x=x+3-k(x-1).整理，得(5+k)x=3+k.

因为原分式方程有解，所以①整式方程(5+k)x=3+k有解，即5+k≠0；

②x(x-1)≠0，即x≠0，x≠1.

解得整式方程(5+k)x=3+k，得.

所以5+k≠0，，.解得k≠-3且k≠-5.

所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5. 

【教学反思】

本节课的重点是探究分式方程的解法,我首先举一道一元一次方程复习其解法,然后通过解一道分式方程,启发引导学生参照一元一次方程的解法,由学生自己探索、归纳分式方程的解法.在经历知识的发现过程中,培养了学生探究、归纳的能力.运用类比教学法具有优点,也有不足:1.通过复习一元一次方程的解法,学生在探究、归纳分式方程解法的同时进行类比,让学生在解分式方程时有法可循,而不会觉得无从下手；2.把分式方程的解法与一元一次方程的解法进行相比较,让学生既可以温习旧知识,又可以加深对新知识的记忆；3.通过对一元一次方程和分式方程解法的类比,更能突显分式方程解法中验根的重要性。4.在课堂上,由于复习旧知识、归纳分式方程解法和讲解例题占用时间比较多,留给学生做练习的时间较少.课下作业反馈，学生对分式方程无解还是理解不透彻，还需强调.