2022-2023高二上期中 北师大实验中学高二（上）期中数学试卷及参考答案

2022北京北师大实验中学高二（上）期中

数    学

班级_________  姓名_________  学号_________  成绩_________

第I卷(共100分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1．已知空间向量，，则

A． B． C．1 D．2

2．若直线与垂直，则

A． B．2 C． D．

3．若表示圆的方程，则的取值范围是

A． B． C． D．

4．平行六面体中，设，，，若为的中点，则

A． B． C． D．

5．已知，，则线段上靠近的三等分点的坐标为

A． B． C． D．

6．设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正确的是

①若，则与所成的角为30°；

②若与所成角为，则；

③若，则平面与所成的角为60°；

④若平面与所成的角为60°，则

A．③ B．①③ C．②④ D．①③④

7．点关于直线的对称点的坐标为

A． B． C． D．

8．三棱锥中，两两垂直，，，则点到平面的距离为

A． B． C． D．

9．已知点的坐标为，圆与轴交于两点，与轴交于两点，则“”是“”的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件

10．设为函数图像上的动点，是圆 (其中）上的动点，若最小值为1，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为

A． B． C． D．

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11．过点，的直线的倾斜角为_________．

12．若，，为共面向量，则的值为_________．

13．正方体中，分别为棱和的中点，则直线和所成角的余弦值为_________．

14．平面直角坐标系中，已知直线过点，与坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线的方程为_________．

15．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论：

①直线与平面所成角为45°；

②二面角的余弦值为；

③点到平面的距离为定值；

④线段长度的取值范围是

其中所有正确结论的序号是____________

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

16．(本小题满分12分)

已知向量，．

(I)若，求；

(Ⅱ)求证：对任意，与不垂直；

(Ⅲ)若与轴平行，求，的值

17．(本小题满分13分)

如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点．

(I)求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值：

(Ⅲ)求点到平面的距离．

18．(本小题满分10分)

用坐标法解答以下问题

如图，已知矩形中，，，分别为的中点，为延长线上一点，________．

从①②中任选其一，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分，

①连接并延长交于点，求证：；

②取上一点，使得，求证：三点共线．

第Ⅱ卷(共50分)

四、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

19．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为2km的圆形区域内。已知小岛中心位于轮船正西4km处，陆上的港口位于小岛中心正北3km处，如果轮船沿直线返航，那么它是否有触礁危险？________(填“是”或“否”)

20．已知点，，，直线，若直线与线段有公共点，则的最大值为________；若直线与线段有公共点，则的取值范围是________．

21．已知单位向量，两两夹角均为，则________；的最小值为________．

22．已知四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，设．记直线与平面所成角为，二面角的大小为．给出下列四个结论：

①若，则； ②若，则；

③；  ④

其中所有正确结论的序号是________．

五、解答题(本大题共3小题，共34分)

23．(本小题满分10分)

平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，半径是1，直线的方程为，点．

(I)若与圆相切，求的值；

(Ⅱ)若经过点，求直线与圆的交点的坐标；

(Ⅲ)若过点的直线截得圆的弦长，求的斜率的取值范围．

24．(本小题满分14分)

如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，是的中点．

(I)证明：平面；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值；

(III)棱上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由。

25．(本小题满分10分)

对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值。

(I)已知，．

①写出，写出 (用含的式子表示)；

②当，写出的最小值及此时x的值；

(Ⅱ)设，，求证： ；

(Ⅲ)在空间直角坐标系中，，，，点是以为球心，1为半径的球面上的动点，点是内部的动点，直接写出的最小值及相应的点的坐标．

参考答案

第I卷（共100分）

一、选择题（每小题4分，共40分）

二、填空题（每小题5分，共25分）

三、解答题（共35分）

16．解：（I）当时，

因为，所以．

（Ⅱ）因为

因此，对任意，与不垂直

（Ⅲ）由题意知，

即存在，使得

则

即，解得，

17．解：（I）因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，分别以,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系．

，，，，

，，．

因为，

所以，即

因为

所以，即

又因为，因此平面

（II）因为平面，所以为平面的一个法向量

由（I）知为平面的一个法向量。

设所求角为，由图知为锐角，因此

（Ⅲ）点到平面的距离

18．解：以为原点，，的方向为轴正方向建立平面直角坐标系．

图中直线的方程为．

选择①：设，

则直线的方程为，

联立，

得．

所以

又，所以．

所以．

选择②：设，

则

因为，所以

所以直线的方程为

所以

所以，所以三点共线．

第Ⅱ卷（共50分）

四、填空题（每小题4分，共16分）

五、解答题（共34分）

23．解：圆的方程为．

（I）由题意知，圆心到直线的距离

解得或

（Ⅱ）若直线过点，则，直线的方程为．

联立直线与圆的方程，，

解得交点坐标分别为（1,1），（，）

（Ⅲ）设直线斜率为，则直线的方程为，即．

设圆心到直线的距离为，有

因为，所以．

解，得．

24．解：（I）证明：连接,，由于,，故

又因为平面，平面，所以平面

（Ⅱ）如图，取，中点，由于⊥平面,，因此平面，又因为，所以，故,,两两垂直，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系

则．

，，

设平面的法向量为，

，即，取

则

设所求角为，则

（Ⅲ）设，

则

若点在平面内，则垂直于平面的法向量

因此，解得，

故棱上是否存在点，使得点在平面内，此时

25．解：（I）①，；②，此时

（Ⅱ）

因为，，

所以，

所以

（Ⅲ）