2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高三上学期第一次联考 数学理（PDF版）

蓉城名校联盟2020级高三第一次联考

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．    14．7    15．    16．②③④

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）

解：（1），  

，

．         …………………………3分

，         …………………………4分

，，          …………………………5分

；             …………………………6分

（2），      …………………………8分

．        …………………………10分

，     …………………………11分

的取值范围为．          …………………………12分

18．（12分）

解：（1），    …………………………4分

有99％的把握认为“高中生是否喜欢看篮球比赛与性别有关”；  ……………………5分

（2）由题意可知6名学生中男生有4人，女生有2人，

所有可能的取值为1，2，3，        …………………………7分

，，，    ……10分

故随机变量的分布列为：

．          …………………………12分

19．（12分）

解：（1）证明：平面平面，平面平面，

，平面，         …………………………3分

平面．          …………………………4分

又平面，

平面平面；         …………………………6分

（2）由题意可知平面平面，平面平面，

，平面，

平面，

如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

不妨设，

则，

由得，         …………………………7分

设平面的一个法向量为，

，，

，取，       …………………………9分

设平面的一个法向量为，

，，

，取，         …………………………11分

，二面角为锐二面角，

二面角的余弦值为．         …………………………12分

20．（12分）

解：（1），        …………………………1分

设椭圆的标准方程为，即，   …………………………3分

过点，，      …………………………4分

椭圆的标准方程为；       …………………………5分

（2）由题意可知直线的斜率存在且不过点，

设直线的方程为，，

由消去整理得，

，，

，         …………………………6分

，

，

，      …………………………7分

将，代入整理得

，，        …………………………9分

，

三角形的面积，     ………………10分

令，

导函数，

增区间为，减区间为，

当时，三角形的面积取得最大值，最大值为18．    ……………………12分

21．（12分）

解：（1）由题意可知，有两个不等根，      …………………………1分

令，，

增区间为，减区间为，，   …………………………2分

，，  …………………………3分

实数的取值范围为；        …………………………4分

（2），           …………………………5分

，

令，在上为单调递增函数，

由题意有两个不等实根，

即有两个不等实根，         …………………………7分

由（1）可知，，令，，

，      …………………………9分

设，，

令，，

，为增函数，

，            …………………………11分

的取值范围为．           …………………………12分

22．（10分）

解：（1），，        …………………………1分

又，         …………………………2分

，            …………………………3分

曲线的直角坐标方程为；     …………………………4分

（2）直线的参数方程为，      …………………………6分

代入中整理得，

，同号，     …………………………8分

．          …………………………10分

23．（10分）

解：（1），     …………………………2分

     …………………………4分

，

不等式的解集为；         …………………………5分

（2）由函数的图象得，         …………………………6分

利用柯西不等式可得，  …………………………8分

即，当且仅当时等号成立，

当时，取得最小值4．      …………………………10分

解析：

1．解：集合有0，1，2三个元素，故选B．

2．解：复数，故选A．

3．解：量词要变，只否定结论，故选D．

4．解：；故选C．

5．解：为假为真，故选B．

6．解：，为奇函数，C错误；，B错误，，D错误，故选A．

7．解：，故选D．

8．解：函数关于点对称，，故选C．

9．解：与已知直线平行且与曲线相切的直线为，切点为，最小值为，故选C．

10．解：由题意可知函数为奇函数，增函数，，故选D．

11．解：图象右平移2个单位，且纵坐标变为原来的一半，故选A．

12．解：设切点为，切线，过点，，有三个不等根，故选D．

13．解：由得．

14．解：原式=．

15．解：函数为偶函数且在上为增函数，．

16．解：令得，故①错；

令，故②正确；

令，，

相加得，由半周期公式可得③正确；

由，，，，，，和周期性可得④正确．