人教B版 (2019)必修 第二册6.2.2 直线上向量的坐标及其运算学案设计

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第2课时　两点间的距离、中点坐标公式及向量平行 新知初探·自主学习——突出基础性教 材 要 点知识点一　平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，AB＝||＝.这就是平面直角坐标系内两点之间的距离公式．x＝，y＝.这就是平面直角坐标系内的中点坐标公式．知识点二　向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2. 状元随笔　已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，(1)当≠时，＝λ．这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．(2)x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．   基 础 自 测1．已知A(1，2)，B(－3，4)，的中点坐标为(　　)A.(－4，2)　  B．(4，2)　　C．(－1，3)　 D．(1，－3)2．下列各组向量相互平行的是(　　)A．a＝(－1，2)，b＝(3，5)B．a＝(1，2)，b＝(2，1)C．a＝(2，－1)，b＝(3，4)D．a＝(－2，1)，b＝(4，－2)3．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　)A．－9      B．9C．3      D．－34．已知点A(2，－4)，B(2，3)，则||＝(　　)A．1      B．7C．      D．     课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　直角坐标系内两点间距离公式和中点坐标公式例1　(1)求线段AB的中点坐标：①A(2，1)，B(4，3)；②A(－1，2)，B(3，6);    (2)已知点A(2，－1)，B(－3，11)．①求||的值；②若点C满足＋3＝0，求点C坐标．     跟踪训练1　(1)在平面直角坐标系内，已知三点A(2，0)，B(1，1)，C(3，5)，求：①的坐标；②||的值；       (2)已知点A(－1，1)，B(2，－1)．①若C是线段AB的中点，求C点坐标；②若直线AB上的点D满足＝－2，求D点坐标．             题型2　向量共线的判定[经典例题]例2　(1)下列各对向量中，共线的是(　　)A．a＝(2，3)，b＝(3，－2)B．a＝(2，3)，b＝(4，－6)C．a＝(，－1)，b＝(1，)D．a＝(1，)，b＝(，2)(2)已知点A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与直线CD平行吗？  状元随笔　(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或＝λ验证．(2)判断∥，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．      方法归纳向量共线的判定方法   跟踪训练2　下列各组向量中，共线的是(　　)A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)B．a＝(2，3)，b＝(3，2)C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4) 状元随笔　＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则共线．  题型3　三点共线问题[经典例题]例3　(1)在平面直角坐标系中，已知A(－2，－3)，B(0，1)，C(2，5)，求证：A，B，C三点共线．   (2)若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝(　　)A．13　　  B．－13C．9　     D．－9     方法归纳判断向量(或三点)共线的三个步骤     跟踪训练3　设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．方法一　由已知求，利用＝λ，求k.方法二　与共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.     题型4　向量共线的应用[经典例题]例4　如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．先求C、D坐标，设出M(x，y)，利用与共线，求M.     方法归纳应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤     跟踪训练4　若平行四边形ABCD的三个顶点为A(1，5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求顶点D的坐标．设D(x，y)，由已知得 ＝，求D.                          第2课时　两点间的距离、中点坐标公式及向量平行新知初探·自主学习[基础自测]1．解析：由A(1，2)，B(－3，4)，则中点坐标为()＝(－1，3)．答案：C2．解析：D中，b＝－2a.答案：D3．解析：因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.答案：B4．解析：因为点A(2，－4)，B(2，3)，所以＝(0，7)，所以||＝＝7.答案：B课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)①∵A(2，1)，B(4，3)，∴x＝＝3，y＝＝2，∴AB的中点坐标为(3，2)；②∵A(－1，2)，B(3，6)，∴x＝＝1，y＝＝4，∴AB的中点坐标为(1，4)；(2)①因为＝(－5，12)，所以||＝＝13；②设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋3，y－11)．由＋3＝(3x＋4，3y－21)＝0，得解得所以点C的坐标为(－，7)．跟踪训练1　解析：(1)①＝(1，1)－(2，0)＝(－1，1)，＝(3，5)－(2，0)＝(1，5)．②因为＝(－1，1)－(1，5)＝(－2，－4)，所以||＝＝2.(2)①设C(x，y)，又A(－1，1)，B(2，－1)，则＝(x＋1，y－1)，＝(2－x，－1－y)，∵C是线段AB的中点，∴＝，即，解得，∴C(，0)②设D(a，b)，又A(－1，1)，B(2，－1)＝(a＋1，b－1)，＝(a－2，b＋1)，∵＝－2，∴，解得，∴D(1，－)．例2　【解析】　(1)由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得b＝λa.而只有D满足：因为a＝(1，)，b＝(，2)，所以b＝a.(2)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，＝(2－1，7－5)＝(1，2)，因为2×2－1×4＝0，所以∥.又＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，＝(2，4)，2×4－2×6≠0，所以与不平行．所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．所以直线AB与CD平行．【答案】　(1)D　(2)见解析跟踪训练2　解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足．答案：D例3　【解析】　(1)由已知得＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)，＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)．因为2×8＝4×4，所以∥，又与有公共点A，因此A，B，C三点共线．(2)因为A，B，C三点共线，所以(－5－3)(y＋6)－(6－3)(2＋6)＝0，所以y＝－9.【答案】　(1)见解析　(2)D跟踪训练3　解析：方法一　∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ.∵＝＝(4－k，－7)，＝＝(10－k，k－12)，∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即解得k＝－2或k＝11.方法二　由题意知共线．∵＝＝(4－k，－7)，＝＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.例4　【解析】　∵＝＝(0，5)＝(0，)，∴C(0，)．∵＝＝(4，3)＝(2，)，∴D(2，)．设M(x，y)，则＝(x，y－5)，＝(2－0，－5)＝(2，－)．∵∥，∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①又＝(x，y－)，＝(4，)，∵∥，∴x－4(y－)＝0，即7x－16y＝－20.②联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2)．跟踪训练4　解析：设D点的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(4，1)，由题意知＝，即(x－1，y－5)＝(4，1)，得解得因此，D点的坐标为(5，6)．