初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程第1课时精练

15.3　分式方程

第1课时

　　　　　　　　　　 必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．含未知数的方程叫做分式方程．(×)

2．分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数．(√)

3．解分式方程的基本思路就是把分式方程化为整式方程．(√)

4．去分母要在方程两边都乘以各分式的最小公倍数. (×)

5．解分式方程一定要进行检验．(√)

知识点1　分式方程的概念

1．下列关于x的方程中，是分式方程的是(　D　)

A．－3＝     B．＝3－x

C．－＝－     D．＝1

【解析】A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程，错误；B.方程分母中含字母a，但它不表示未知数，也不是分式方程，错误；C.方程的分母中不含表示未知数的字母，不是分式方程，错误；D.方程分母中含未知数x，是分式方程，正确．

2．下列各式中，关于x的分式方程的是(　D　)

A.x＋－2

B．－1＝x

C．＝2－(a＋b≠0)

D．＝2＋

【解析】选项A中的式子尽管分母上有字母x，但不含有等号，它不是方程，更不是分式方程；选项B，C中方程的分母中不含有未知数；只有选项D中方程的分母中含有未知数．

3．(易错警示题)在方程＝，1＋＝0，＋＝1，＝1中，分式方程有__3__个．

【解析】分式方程有＝，1＋＝0，＝1，一共3个．

知识点2　分式方程的解法

4．(2020·哈尔滨中考)方程＝的解为(　D　)

A．x＝－1    B．x＝5    C．x＝7    D．x＝9

【解析】方程的两边同乘(x＋5)(x－2)得2(x－2)＝x＋5，解得x＝9，经检验，x＝9是原方程的解．

5．(2020·杭州中考)若分式的值等于1，则x＝__0__．

【解析】由分式的值等于1，得＝1，

解得x＝0，经检验x＝0是分式方程的解．

6．(2020·菏泽中考)方程＝的解是__ __．

【解析】方程＝，去分母得(x－1)2＝x(x＋1)，整理得x2－2x＋1＝x2＋x，解得x＝，经检验x＝是分式方程的解．

7．(1)当x＝__10__时，分式与的倒数相等．

(2)当x＝__10__时，分式与互为倒数．

【解析】(1)由题意列方程＝，方程两边同乘以(x－5)(x－6)得x(x－6)＝(x－5)(x－2)，解方程得x＝10.将x＝10代入得(x－5)(x－6)≠0，所以，x＝10是原分式方程的解．

(2)由题意列方程·＝1，即＝1，∴x(x－6)＝(x－5)(x－2).解方程得x＝10.

将x＝10代入得(x－5)(x－2)≠0，

所以：x＝10是原分式方程的解．

8.(教材P150练习改编)解下列分式方程：

(1)(2020·苏州中考)＋1＝.

(2)(2020·陕西中考)－＝1.

【解析】(1)方程的两边同乘x－1，

得x＋(x－1)＝2，解这个一元一次方程，得x＝，

经检验，x＝是原方程的解．

(2)方程－＝1，去分母得x2－4x＋4－3x＝x2－2x，解得x＝，经检验x＝是分式方程的解．

9．已知关于x的方程：＝－2.

(1)当m为何值时，方程无解．

(2)当m为何值时，方程的解为负数．

【解析】(1)由原方程，得2x＝mx－2x－6，①整理，得(4－m)x＝－6，当4－m＝0即m＝4时，原方程无解；

②当分母x＋3＝0即x＝－3时，原方程无解，故2×(－3)＝－3m－2×(－3)－6，解得m＝2，综上所述，m＝2或4；

(2)由(1)得到(4－m)x＝－6，当m≠4时．x＝＜0，解得m＜4综上所述，m＜4且m≠2.

　　　　　　　　　　 关键能力·综合练

10．(2020·遂宁中考)关于x的分式方程－＝1有增根(无解)，则m的值为(　D　)

A．2      B．1

C．3      D．－3

【解析】去分母得m＋3＝x－2，

由分式方程有增根(无解)，得到x－2＝0，即x＝2，

把x＝2代入整式方程得m＋3＝0，解得m＝－3.

11．(2020·鸡西中考)若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m的值是(　D　)

A．3        B．5

C．3或5      D．3或4

【解析】解分式方程，得x＝，经检验，x＝是分式方程的解，因为分式方程有正整数解，则整数m的值是3或4.

12．(2020·荆门中考)已知关于x的分式方程＝＋2的解满足－4＜x＜－1，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为(　A　)

A．正数       B．负数

C．零       D．无法确定

【解析】＝＋2，(2x＋3)(x＋3)＝k＋2(x－2)(x＋3)，解得x＝－3，

∵－4＜x＜－1且(x－2)(x＋3)≠0且k为整数，

∴－4<－3<－1，

解得－7<k<14且k≠0，

∴k＝－6，－5，－4，－3，－2，－1，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，

∴符合条件的所有k值的乘积为正数．

13．关于x的分式方程＝1，下列说法中正确的是(　B　)

A．方程的解是x＝a－3

B．当a＞3时，方程的解是正数

C．当a＜3时，方程的解为负数

D．以上答案都正确

【解析】方程两边都乘以x＋3，

去分母得a＝x＋3，解得x＝a－3，

∴当x＋3≠0时，把x＝a－3代入得a－3＋3≠0，

即a≠0，方程有解，A错误；

当x＞0时，即a－3＞0，解得a＞3，

则当a＞3时，方程的解为正数，B正确；

当x＜0时，即a－3＜0，解得a＜3，

则当a＜3且a≠0时，方程的解为负数，C错误；

显然D错误．

14．(2020·眉山中考)关于x的分式方程＋2＝的解为正实数，则k的取值范围是__k＞－2且k≠2__．

【解析】方程＋2＝两边同乘(x－2)，

得1＋2(x－2)＝k－1，

解得x＝，

∵≠2，

∴k≠2，由题意得＞0，

解得k＞－2，

∴k的取值范围是k＞－2且k≠2.

15．对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝－，若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为____．

【解析】2⊕(2x－1)＝1可化为－＝1，方程两边都乘以2(2x－1)

得2－(2x－1)＝2(2x－1)，

解得x＝，

检验：当x＝时，2(2x－1)＝2(2×－1)＝≠0，

所以，x＝是原分式方程的解，即x的值为.

16．若方程＝－1的解是最小的正整数，则a的值为__－1__．

【解析】根据题意得x＝1，将x＝1代入方程＝－1，解得a＝－1.

17．(教材P154习题15.3T1改编)解下列方程：

(1)(2020·常州中考)＋＝2.

(2)(2020·郴州中考)＝＋1.

(3)－＝－.

【解析】(1)方程两边都乘以x－1

得x－2＝2(x－1)，解得x＝0，

检验：把x＝0代入x－1得x－1≠0，

所以x＝0是原方程的解．

(2)＝＋1，方程两边都乘(x－1)(x＋1)，得x(x＋1)＝4＋(x－1)(x＋1)，解得x＝3，

检验：当x＝3时，(x－1)(x＋1)＝8≠0.

故x＝3是原方程的解．

(3)解法一：原方程变为－＝－.

化简，得－＝－.

两边分别通分，得＝.

由于分子相同，所以x2－11x＋30＝x2－17x＋72，解得x＝7.

检验：当x＝7时，原方程的分母均不等于0，所以x＝7是原方程的解．

解法二：由解法一，知－＝－.

移项，得＋＝＋.

两边分别通分，得＝.

由分式值相等的性质，得 2x－14＝0，解得x＝7；

或x2－14x＋45＝x2－14x＋48，此方程无解．

检验：当x＝7时，原方程的分母均不等于0，所以x＝7是原方程的解．

18．(素养提升题)解分式方程＋＝3时小甲采用了以下的方法：

解：设＝y，则原方程可化为y＋2y＝3，

解得y＝1，

即＝1，去分母得x＋1＝1，所以x＝0，检验：当x＝0时，x＋1≠0，所以x＝0是原方程的解．

上面的方法叫换元法，请用换元法解方程＋＝3.

【解析】设＝y，

则＝＝y，

原方程可化为y＋y＝3，

解得y＝，

即＝，

去分母得7x＝9x－18，

所以x＝9，

检验：当x＝9时，x－2＝9－2＝7≠0，

所以x＝9是原方程的解．

易错点1：解分式方程不检验而致错

【案例1】解方程：＝.

【解析】方程两边同乘(1＋x)(1－x)，得1＋x＝2，解得x＝1.检验：当x＝1时，(1＋x)(1－x)＝0，所以x＝1不是原方程的解，原方程无解．

易错点2：求分式方程中字母系数值时顾此失彼

【案例2】已知关于x的方程＝1的解是负数，求a的取值范围．

【解析】把分式方程化为整式方程，

得2x＋a＝x－1，

解得x＝－a－1.

因关于x的方程＝1的解是负数，

所以x＜0，

即－a－1＜0，

解得a＞－1.

又由x－1≠0，

即－a－1－1≠0，得a≠－2.

综上所述，a的取值范围是a＞－1.

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