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2021石嘴山三中高三补习班上学期期中考试数学(理)无答案
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石嘴山三中2020-2021(1)高三年级期中考试数学(理科)命题人 第I卷(选择题)一、单选题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知实数集,集合,集合,则A. B. C. D.3.已知角的终边过点,则的值是A.B.C.D.4.某长江大桥的主体造型为:桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合.已知拱桥部分长,两端引桥各有,主桁最高处距离桥面,则将下列函数等比放大后,与主桁形状最相似的是A.B.C.D.5.函数的图像大致为 A. B.C. D.6.下列命题中:①若“”是“”的充要条件;②若“,”,则实数的取值范围是;③已知平面、、,直线、,若,,,,则;④函数的所有零点存在区间是.其中正确命题的个数是A.B. C.D.7.如图,已知中,为的中点,,若,则A.B.C.D.8.“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、三角垛等.现有100根相同的圆柱形铅笔,某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛,要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根,并使得剩余的圆形铅笔根数最少,则剩余的铅笔的根数是A.9 B.10 C.12 D.13 9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的内切球的直径为A.B. C. D.10.已知是定义在上的函数,且,如果当时,,则A.27 B.-27 C.9 D.-911.已知数列的前项和为,,若存在两项,使得,则的最小值为 A. B. C. D.12.已知函数若存在实数,满足,且,则的最大值为A. B. C. D. 第II卷(非选择题) 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数在上是减函数,则实数a的取值范围是______________.14.已知数列的通项公式为,其前项和为,则________.15.在三棱锥中,和均为边长为2的等边三角形,且二面角的平面角为,则三棱锥的外接球的表面积为______.16.已知函数,则__________,若函数有无穷多个零点,则的取值范围是__________. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.(本题12分)已知数列是公差大于0的等差数列,,且成等比数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和 18.(本题12分)已知.(Ⅰ)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;(Ⅱ)若,求的值. 19.(本题12分)如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形,,分别为,的中点.(Ⅰ)证明:平面.(Ⅱ)若四边形为正方形,求平面与平面所成二面角的正弦值. 20.(本题12分)今年春节,突如其来的疫情对消费市场造成巨大冲击,全国范围内餐饮业都受到重大影响.进入五月随着天气转暖,国内新冠肺炎疫情防控形势持续向好,各大城市在做好防控工作的同时,在灯火通明的城市商圈和步行街也逐渐开放了夜市以发展经济.在“全民夜市练摊”的热潮中,某商场经营者贾某准备在商场门前经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域,如图所示,其中顶角,且在该区域内点处有一棵树,经测量点到区域边界,的距离分别为,(为长度单位).贾某准备过点修建一条长椅(点B,C分别落在,上,长椅的宽度及树的粗细忽略不计),以供购买冷饮的人休息.(Ⅰ)求点到点的距离;(Ⅱ)为优化经营面积,当等于多少时,该三角形区域面积最小?并求出最小面积. 21.(本题12分)已知函数.(Ⅰ)若曲线在点处切线与直线垂直,求实数的值;(Ⅱ)讨论函数的单调性;(Ⅲ)当时,记函数的最小值为,求证:. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(选修4-4:坐标系与参数方程)(本题10分)已知曲线C的极坐标方程是,建立以极点为坐标原点,极轴为x轴非负半轴的平面直角坐标系,直线的参数方程是(t为参数).(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)若直线与曲线C相交于A,B两点,且,求直线的斜率k. 23.(选修4-5:不等式证明选讲)(本题10分)已知函数,.(Ⅰ)解不等式:;(Ⅱ)记的最小值为,若实数,满足,试证明:
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