2021【KS5U解析】宁夏大学附中高三上学期期中考试理科数学试卷含解析

宁大附中2020-2021学年第一学期高三期中暨第三次月考高三数学（理）试卷

卷I（选择题）

一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5分，共计60分）

1. “”是“”的（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

由求得，由求得，，或，，再结合充分必要条件的判定方法判断．

【详解】解：由，可得，故充分性成立；

由，得，，或，，

“”是“”的充分非必要条件．

故选：A．

【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定方法，属于基础题．

2. 已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值集合是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意分方程为一次方程和二次方程两种情况分别求解.

【详解】由集合中有且只有一个元素，

得a=0或,

∴实数a的取值集合是{0, }

故选B．

【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，考查单元素集的性质等基础知识.

3. 若命题是真命题，是真命题，则下列命题中，真命题是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意，命题是真命题，则是假命题，根据真值表，即可判定，得到答案.

【详解】由题意，命题是真命题，则是假命题，

由真值表可得，命题和和都为假命题，只有命题为真命题.

故选D.

【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中熟记复合命题的真假判定的真值表，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.

4. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据图像判断出阴影部分表示，由此求得正确选项.

【详解】根据图像可知，阴影部分表示，，所以.

故选：A

【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.

5. 函数f(2x)=x+1,则f(4)=（    ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】

令即得解.

【详解】当时，.

故选C

【点睛】本题主要考查函数值的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

6. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据偶函数定义,结合对数函数、指数函数、二次函数以及幂函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.

【详解】对于，是偶函数，且在上单调递减，故正确.

对于，是偶函数，且在区间上是单调递增，故错误.
对于,是奇函数，不满足题意，故错误.

对于，的图象不关于轴对称,不是偶函数，故错误，故选A.

【点睛】本题主要考查偶函数的定义，对数函数、指数函数的图象、二次函以及幂函数的单调性，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

7. 函数零点是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

令，求出的值，即为的零点.

【详解】由题意，令，则，解得，

所以函数的零点是2.

故选：A.

8. 函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先研究函数在区间上的单调性，再根据单调性求最值即可.

【详解】解：，解得，

再根据二次函数性质得在上，

在上，所以函数在单调递增，

在单调递减，所以，

，，

所以.

所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题.

9. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于y轴对称，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先将函数化简，并用辅助角公式化成一个形式，函数的图象关于轴对称，也就是说函数是偶函数，因此有，而，就能求的最小值.

【详解】 进行化简得，

由题意可知，函数的图象关于轴对称

也就是说函数是偶函数，所以有成立，即

因为 所以的最小值为，此时，故本题选A.

【点睛】本题考查了两角知差的余弦公式、三角函数图象的平移、辅助角公式、偶函数图象特征．

10. 在半径为2的圆中，长度为的弦与其所对劣弧围成的弓形的面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出扇形（圆心角为）的面积为，再结合弦与其所对劣弧围成的弓形的面积为，计算即可.

【详解】如下图，圆的半径为2，弦的长度为2，则△为正三角形，，

所以扇形（圆心角为）的面积为，

又△的面积为，

所以弦与其所对劣弧围成弓形的面积为.

故选：A.

11. 如图是函数的部分图象，若是在上的极小值点，则（    ）

A. 4 B. 0 C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据图象求出解析式，根据是在上的极小值点求出，进而计算可得解.

【详解】由图象可得：，最小正周期为，故，

由在时取得最大值，所以，可得，，

因为，所以，得，

所以，由是在上的极小值点，

可得，所以，，即，，

因为，所以，

所以

故选：D.

【点睛】本题考查了由三角函数图象求解析式，考查了求函数的极值点，考查了三角函数值，属于中档题.

12. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

函数有两个极值点，即有两不等实根，令，则与直线有两不同交点，对函数求导，判单调性求最值画图像，结合图像可得答案.

【详解】因为函数有两个极值点，所以方程有两不等实根，

令，则与直线有两不同交点，

又，由得，

所以，当时，，即单调递增；

当时，，即单调递减；

所以，又，当趋向于正无穷时，趋于0，且；

作出函数的简图如下：

因为与直线有两不同交点，

所以，即.

故选：D

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值极值问题，考查学生分析问题能力和计算能力，属于中档题.

卷II（非选择题）

二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）

13. 已知，为单位向量，当与的夹角为时，则在方向上的投影为________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积的几何意义直接求解即可.

【详解】因为，为单位向量，与的夹角为，

所以在方向上的投影为：.

故答案为：

【点睛】本题考查了平面向量数量积的几何意义，属于基础题.

14. 在中，点，满足，．若，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知得，由此能求出结果．

【详解】解：在中，点，满足，，

，

，，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查代数式求值，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题．

15. 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先由题意得到，恒成立，推出，求解，即可得出结果.

【详解】因为命题“，使得”为假命题，

所以，恒成立，

所以只需，解得.

故答案为

【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数的问题，熟记一元二次不等式恒成立的判定条件即可，属于常考题型.

16. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为________.

【答案】

【解析】

【分析】

令，对其求导，由时，，可知，从而在上单调递减，由的奇偶性，可得是定义域上的偶函数，从而可得出在上的单调性，再结合，可求出的解集.

【详解】由题意，令，则，

因为时，，则，

故在上单调递减，

又是定义在上的奇函数，所以，

所以，即是上的偶函数，

根据偶函数的对称性，可知在上单调递增，且，

所以时，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数，求导并结合当时，，可求出函数在上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．

三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分）

17. 已知集合＝，＝

（1）当＝时，求；

（2）若＝，求取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由集合的交集、补集的定义运算即可得解；

（2）转化条件为，按照、分类，运算即可得解.

【详解】（1）当时，，

则或，

又，

所以；

（2）因为，所以，

当时，，解得；

当时，则，解得；

综上，的取值范围为.

18. 已知向量，，满足：，，，且.

（1）求向量与的夹角；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据，，，且，由求解.

（2）由求解.

【详解】（1）因为，，，且，

所以，

即，

即，

因为，

所以.

（2），

，

.

19. 某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象，列表并填入数据得到下表：

（1）求函数的解析式；

（2）三角形中，角，，所对的边分别是，，，若，，，求三角形的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由三角函数的图象与性质逐步计算出、、、，即可得解；

（2）先计算出，利用降幂公式结合余弦定理可转化条件得，再由余弦定理可得，结合三角形面积公式即可得解

【详解】（1）由题意可得，解得，

函数的最小正周期满足，所以，

又，所以，

所以，即，

由可得，

所以；

（2）由题意，，所以，

由可得，所以，即，

又，

所以，即，

化简得，

又，所以，

由余弦定理得，即，

所以，所以.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质及三角恒等变换、余弦定理的应用，细心运算即可得解.

20. 在边长为的正三角形中，已知，，点是线段的中点，点在线段上，.

（1）以为基底表示；

（2）求.

【答案】（1）；；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据平面向量的基本定理进而转化即可；

（2）利用平面向量的数量积，计算即可.

【详解】（1）由题意，；

.

（2）由题意得，.

21. 已知向量，，，，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求函数在区间上的值域.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用平面向量数量积的坐标表示，及三角函数的恒等变换，可得，由图象的相邻两条对称轴之间的距离，可求出的周期，再结合公式，可求出，即可得到函数的解析式，从而求出单调递减区间即可；

（2）由的范围，可得到的范围，根据正弦函数的性质，可求出的取值范围，进而可求出函数在区间上的值域.

【详解】（1）由题意，，

因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以的周期，

所以，解得，故，

令，解得，

所以函数的单调递减区间为.

（2）由，可得，

根据正弦函数的性质，可得，

所以.

故函数在区间上的值域为.

【点睛】方法点睛：求函数（或）的单调区间的方法：

（1）把的系数化为正值（通过诱导公式转化）；

（2）把“”视为一个整体，结合函数（或）的单调性，得到“”的取值范围；

（3）解“”所对应的不等式，得到的取值范围，即可得到单调区间.

22. 设函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）如果对于任意的，都有成立，试求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求导分和两种情况，分别分析导函数的正负，可得出原函数的单调性；

（2）先求导，分析导函数的正负，得出函数的单调性，从而求得最值，运用不等式恒成立思想，将问题转化为在上恒成立，令，运用导函数得出函数的最大值，可求得实数a的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，

当 时，，所以函数 在 上单调递增；

当 时，当 时， 则 ，函数单调递增，当时， ，函数单调递减，

所以时，函数在 单调递减，在上递增；

（2）由已知得，所以当时，，所以函数在上单调递增，

当时，，所以函数在上单调递减，

又，所以函数在上的最大值为1，

依题意得，只需在，恒成立，即，也即是在上恒成立，

令，则，有，

当时，，，，即在上单调递增，

当时，，，所以在上单调递减，

所以，当时，函数取得最大值，

故，即实数a的取值范围是.

【点睛】本题考查运用导函数分类讨论求得函数的单调性，解决不等式恒成立的问题，属于较难题. 不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．