2021内蒙古集宁一中（西校区）高三上学期期中考试数学（文）试题含答案

集宁一中西校区2020-2021学年第一学期期中考试

高三年级文科数学试题

本试卷满分为150分，考试时间为120分钟

命题：李晓红    审核：王文辉

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）

1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是(   )

A．  B．

C． D．

2．已知复数的共轭复数为，且满足，则（    ）

A． B． C．3 D．5

3．下列说法中，错误的是（    ）

A．若命题，，则命题，

B．“”是“”的必要不充分条件

C．“若，则、中至少有一个不小于”的逆否命题是真命题

D．，

4．．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

5．一个几何体的三视图如图，其正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是(    )

A． B． 

B．C． D．

6．已知且，如图所示的程序框图的输出值，则实数的取值范围为（   ）

A． B． 

B．C． D．

7．平面向量与的夹角为，，则等于(   )

A． B． C．12 D．

8.与函数的部分图象最符合的是（    ）

A． B．

C． D．

9．若，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6

10．已知，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

11．已知数列的前项和为，且，则（　 ）

A． B． C． D．

12．已知是定义在上的函数，且，如果当时，，则（   ）

A．27 B．-27 C．9 D．-9

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、若 ，则_________.

14、已知高为的圆柱内接于一个直径为的球内，则该圆柱的体积为__________．

15、若对任意，不等式恒成立，则实数值范围是____.

16、已知等比数列的前项和为，且，，则______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17.（12分）在中，角的对边分别为，且.

（1）求的大小；

（2）若的外接圆的半径为，面积为，求的周长.

18．（12分）若等差数列的前项和满足，数列的前5项和为9.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前n项和为，，求证

19.（12分）如图，已知四棱锥中，底面为矩形且，平面平面，是等边三角形，点是的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．

20.（12分）如图，四棱锥中，平面，，，，，分别为，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求点到平面的距离.

21．（12分）已知函数，是的一个极值点．

（1）求的单调递增区间；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围．

22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，圆的方程为．

（1）求出直角坐标系中的方程和圆心的极坐标；

（2）若射线分别与圆与和直线交点（异于原点），求长度．

高三期中考试参考答案

一、ABDCD  ADBCB  AB

二、13、         14、72       15、a1       16、7

17、解：（1）因为，

由正弦定理可得，，

由三角形内角和定理和诱导公式可得，

，

代入上式可得，，

所以.

因为，所以，即.

由于，所以.

（2）因为的外接圆的半径为，由正弦定理可得，

.

又的面积为，

所以，即，所以.

由余弦定理得，

则，

所以，即.

所以的周长.

18、解：（1）∵数列的前5项和为9，∴.

∵，∴，∴

∴.

（2）∵，

∴

19、（Ⅰ）∵为矩形且，为的中点，

∴和都是等腰直角三角形，

∴，∴，∴．

连接，是等边三角形，是的中点，所以．

又平面平面，平面，平面平面.

所以平面．又平面，所以．

又，平面．所以平面．

又平面，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面．

即直线与平面所成的角为．

设，则在中，，所以．

在等边中，，所以．

在中，，.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20、（1）证明：因为分别为的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面

因为，所以，

所以四边形为平行四边形，所以

因为平面，平面，所以平面

因为，，平面，所以平面平面

（2）解：因为，，为中点，

所以，

因为平面，所以，

因为，

所以，

设点到平面的距离为，因为，

所以，所以到平面的距离.

21、解：（Ⅰ）. ∵是的一个极值点，

∴是方程的一个根，解得.

令，则，解得或.

∴函数的单调递增区间为，.

（Ⅱ）∵当时，时，

∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增.

∴是在区间[1，3]上的最小值，且 .

若当时，要使恒成立，只需，

即，解得 .

22、解：（1）由直线的极坐标方程为，

则，

即直线的直角坐标系方程为，

又圆的方程为，

，

即直角坐标系方程为，

则该圆圆心坐标为（0，2），

即圆心的极坐标为.

（2）由题意有.