2021银川长庆高级中学高二上学期期中考试数学（理）含答案

这是一份2021银川长庆高级中学高二上学期期中考试数学（理）含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
宁夏长庆高级中学2020-2021学年第一学期高二年级数学（理科）期中试卷第I卷一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求）                                                                     1.命题“若，则”的逆否命题是(　　)A．若，则  B．若，则  C．若，则  D．若，则2.“”是“”的(　　)A．充分不必要条件       B．必要不充分条件       C．充要条件            D．既不充分也不必要条件3.命题“”的否定是(　　)A．   B．   C．   D．4.方程所表示的曲线形状是(　　)A．     B．     C．     D．5.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是(　　)A．相交                 B．相切                 C．相离                 D．相切或相交6.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则(　　)A．                B．               C．                D．与斜交7.焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为，到左顶点的距离为的椭圆的标准方程是(　　)A．           B．          C．          D．8.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是(　　)A．                 B．                C．                D．9.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为(　　)A．                  B．                  C．              D．10.如图所示，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点．若四边形是矩形，则的离心率是(　　)A．                 B．                C．                 D．11.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．       B．       C．      D．12.已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为(　　)A．                 B．                 C．              D．  第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）                                                                          13.过椭圆的焦点的弦中最短弦长是_____________．14.直线被抛物线截得的线段的中点坐标是________．15.如图，在三棱柱中，所有棱长均为，且底面，则点到平面的距离为________．16.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，．对于结论：①；②；③是平面的法向量；④∥.其中正确的是____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)                                                                          17.如图，斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；(2)求线段的长． 18.已知，．(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；(2)若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围． 19.如图，正方体中，、分别为、的中点．选用合适的方法证明以下问题：(1)证明平面∥平面；(2)证明⊥面.  20.设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.(1)当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；(2)求过点且斜率为的直线被截得的线段的长度．  21.如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点，(1)证明：；(2)判断并说明上是否存在点，使得∥平面.   22.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、.(1)若为等边三角形，求椭圆的方程；(2)若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于、两点，且，求直线的方程．
答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】A12.【答案】D13.【答案】　【解析】　由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，弦长为＝＝.14.【答案】　(3,2)【解析】　设线段的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，∴＝＝＝2，∴所求点的坐标为(3,2)．15.【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，则有解得n＝，则所求距离为＝＝.16.【答案】①②③【解析】由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．17.【答案】解　(1)由焦点F(1,0)，得＝1，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．直线l的方程为y＝(x－1)，与抛物线方程联立，得消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，所以线段AB的长为.18.【答案】解　(1)由(x＋1)(x－5)≤0得－1≤x≤5，∵p是q的充分条件，∴解得m≥4.(2)当m＝5时，q：－4≤x≤6，根据已知，p，q一真一假，当p真q假时，无解；当p假q真时，解得－4≤x＜－1或5＜x≤6.综上，实数x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6].【答案】给出用向量方法的证明，此题用空间几何的证明法则证明也可(1)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，设平面A1BD的法向量为m＝(x，y，z)，∵＝(2,0,2)，＝(2,2,0)，∴，∴取m＝(－1,1,1)，同理平面B1CD1的法向量为n＝(－1,1,1)，∴m∥n，∴平面A1BD∥平面B1CD1；(2)∵M、N分别为AB、B1C的中点，∴＝(－1,1,1)，∴∥m，∴MN⊥面A1BD.20.【答案】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xp，yp)，由已知，得因为P在圆上，所以x2＋(y)2＝25，即C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.则Δ＝(－3)2＋32＝41>0，x1＋x2＝3，x1x2＝－8，所以线段AB的长为|AB|＝＝＝＝＝.21.【答案】∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．(1)不妨令P(0,0，t)，∴＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，∴·＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，∴⊥，即PF⊥FD；(2)设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，由得令z＝－1，解得x＝y＝，∴n＝，设点G的坐标为(0,0，m)，又E，则＝，要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，即×＋0×＋m×1＝0，即m－＝0，解得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．22.【答案】(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．根据题意知，a＝2b，a2－b2＝1，解得a2＝，b2＝，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)易求得椭圆C的方程为＋y2＝1.当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．由得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)．因为⊥，所以·＝0，即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝＝0，解得k2＝，即k＝±.故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.