初中数学人教版七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试教案

第四章　复习课

(见学生用书P119)

1.知道立体图形与平面图形,能说出二者的关系,能通过从不同方向看的平面图或展开图来认识立体图形.

2.能说出直线、线段和射线的区别,知道线段中点与等分的定义,能进行线段的运算.

3.知道角平分线与等分线的定义,并进行角度的换算.

4.能用方向角描述物体的位置,知道互余和互补的概念,能根据余角、补角的性质进行计算和说理.

◎重点:平面展开图、余角与补角的性质.

◎难点:角度的相关运算.

同学们,你们知道常说的一维、二维、三维指的是什么吗?

一维实际上指的是一条线,在理解上即为左右一个方向,也可理解为点动成线;二维即前后、左右两个方向,在一张纸上的内容就可以看作是二维,即为一个平面;所谓三维,是指在平面二维系中又加入了一个垂直的方向向量而构成的空间系,就是我们认识的立体空间.

所以二维图形可以认为是平面图形,三维图形可以认为是立体图形.接下来,我们复习一下本章中学习的平面图形与立体图形.

1.观察立体图形主要是从　正面　、　左面　、　上面　三个方向观察,得到三种平面图形. 

2.常见的立体图形有　正方体　、　长方体　、　圆柱　、　圆锥　、　棱柱　、　棱锥　和　球体　. 

3.将立体图形的表面适当剪开,可以展开成　平面　图形,称为相应立体图形的　平面展开图　. 

4.几何图形都是由　点　、　线　、　面　、　体　组成的,　点　是构成图形的基本元素. 

5.经过两点　有　一条直线,并且只有　一　条直线;两点的所有连线中,　线段　最短. 

　　6.若两个角的和等于　90°　,则这两个角互为余角;若两个角的和等于　180°　,则这两个角互为补角. 

7.同角(等角)的余角　相等　,同角(等角)的补角　相等　. 

8.线段、角的有关知识.

立体图形与平面图形的相互转化　

1.如图所示的几何体是由三个同样大小的立方体搭成的,则从左面看到的图形是 (A)

　　　　　　　A　　　B　　　　　C　　　　　D

2.下列四幅图中,经过折叠后不能围成一个立体图形的是 (D)

A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

　　方法归纳交流　利用空间想象或动手操作进行立体图形的　展开和折叠　. 

线段的有关计算

3.已知线段AB,反向延长AB到点C,使AC=AB.若点D是BC的中点,CD=3 cm,求AB、AD的长.

解:因为D是BC中点,CD=3 cm,所以CD=BD=BC=3 cm,所以BC=6 cm.

因为AC=AB,BC=6 cm,所以AC=BC=2 cm,所以AB=4 cm,所以AD=CD-AC=3-2=1 cm.

方法归纳交流　“反向延长线段AB”还可以怎样叙述?

解:延长线段BA.

角的有关计算

4.如图,∠AOB、∠COD都是直角,试猜想∠AOD和∠BOC的关系,请简单说明.

解:互补.因为∠AOB、∠COD都是直角,所以∠AOB+∠COD=180°,即∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=∠AOD+∠BOC=180°,所以∠AOD与∠BOC互补.

5.时钟的时针由3点整的位置(顺时针方向)转过多少度时,与分针第一次重合?

解:设时针转过的度数为x时,与分针第一次重合,则12x=90°+x,解得x=8°,即时针转过8°时,与分针第一次重合.

　　方法归纳交流　时针的旋转角度∶分针的旋转角度=　1∶12　. 

实际问题中的线段和角

6.小明从点A出发向北偏西50°方向走了3米,到达点B,小林从点A出发向南偏西40°方向走了4米,到达点C,试画图确定出A、B、C三点的位置(用图上距离1厘米表示实际距离3米),并从图上求出点B到点C的实际距离.

解:作图如下图所示;测量可得BC=5米.

见《分层作业本》P79

手电筒发射出来的光线,给我们的感觉是一条 (B)

A.线段　　B.射线　　C.直线　　D.折线

下列图形中不是立体图形的是 (D)

A.正方体和长方体 B.圆柱和棱柱

C.球和圆锥 D.圆和三角形

已知线段AB=10 cm,C是AB上一点,且BC=3 cm,则AC的长等于 (B)

A.6 cm B.7 cm C.5 cm D.4 cm

将一段弯曲的河道改直,可以缩短航程,其原理是　两点之间,线段最短　. 

若∠α=43°,则∠α的余角为　47°　,∠α的补角为　137°　. 

57.32°=　57　°　19　'　12　″; 

27°14'24″=　27.24　°. 

在下面的四个几何体中,从左面看与从正面看得到的图形不相同的是 (B)

A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上,这个正方体的平面展开图如图所示,那么在这个正方体中,和“创”相对的字是              (B)

A.文 B.明  C.城 D.市

一个角的余角比它的补角的少20°,则这个角为 (B)

A.30° B.40° C.60° D.75°

如图,∠AOC=90°,∠COB=α,OD平分∠AOB,则∠COD等于 (B)

　　A.

B.45°-

C.45°-α

D.90°-α

如图,C是线段AB上的一点,且AB=13,CB=5,M、N分别是AB、CB的中点,则线段MN的长是　4　. 

将长方形纸条折成如图所示的形状,BC为折痕,若∠DBA=70°,则∠ABC=　55°　. 

如图,在笔直的公路边种树,将公路看作一条数轴,向东记为正方向,若已经在A点及原点处各种上一棵树,要保证每棵树之间的距离相等,则第三棵树可种在　G或B或D　点. 

如图,平原上有A、B、C、D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资建一个蓄水池,不考虑其他因素,请画图确定蓄水池H点的位置,使它与四个村庄的距离之和最小.

解:如图,点H即为所求作的点.

如图,将两块三角板的直角顶点重叠在一起.

(1)若∠DOB与∠DOA的比是2∶11,求∠BOC的度数.

(2)若叠合所成的∠BOC=n°(0<n<90),则∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是多少?

解:(1)因为∠DOB与∠DOA的比是2∶11,所以设∠DOB的度数为2x,则∠DOA的度数为11x,所以∠AOC=2x,∠BOC=7x,所以7x+7x+2x+2x=180°,所以x=10°,即∠BOC=7x=70°.

(2)因为∠AOD+∠BOC=180°,所以∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数相等,度数之比为1∶1.

几何图形初步作业设计

(见学生用书P121)

一、作业目标

通过解题的过程增进对数学思想的理解,围绕数形结合、分类讨论、整体思想这三条主线,落实“四基”,培养“四能”.

二、作业内容

(数形结合思想)如图,B是线段AC上一点,且AB=18 cm,BC=AB.

(1)试求出线段AC的长.

(2)如果O是线段AC的中点,请求出线段OB的长.

解:(1)因为AB=18 cm,BC=AB,

所以BC=6(cm),

所以AC=AB+BC=18+6=24(cm).

(2)因为O是线段AC的中点,

所以OC=AC=12(cm).

因为BC=6 cm,

所以OB=OC-BC=12-6=6(cm).

(数形结合思想)如图,O为直线AB上一点,∠DOE=90°.若∠AOC=130°,OD平分∠AOC.

(1)求∠BOD的度数.

(2)通过计算说明OE是否平分∠BOC.

解:(1)因为∠AOC=130°,OD平分∠AOC,

所以∠AOD=∠AOC=65°,

所以∠BOD=180°-∠AOD=115°.

(2)根据(1)和∠DOE=90°,

可得∠EOB=180°-∠AOD-∠DOE=25°.

因为∠DOC=∠AOD=65°,

所以∠COE=90°-∠DOC=25°,

所以∠COE=∠EOB,

所以OE平分∠BOC.

(分类讨论思想)在平面内有三点A,B,C.若A,B,C三点共线,AB=20 cm,BC=14 cm,点E,F分别是线段AB,BC的中点,求线段EF的长.

解:有两种情况:

①当点C在线段AB的延长线上时,如图1,

图1

因为E,F分别是AB,BC的中点,AB=20 cm,BC=14 cm,

所以EB=AB=×20=10(cm),BF=BC=×14=7(cm),

所以EF=EB+BF=10+7=17(cm);

②当点C在线段AB上时,如图2,

图2

根据题意,BE=AB=10 cm,BF=BC=7 cm,

所以EF=BE-BF=10-7=3(cm).

综上可知,线段EF的长度为17 cm或3 cm.

(分类讨论思想)已知∠AOB=70°,OC是∠AOB内部的一条射线.

(1)如图1,当OC是∠AOB的平分线时,求∠AOC的度数.

(2)如图2,当∠BOC=30°时,∠AOD是∠AOB的余角,OE是∠COD的平分线,请补全图形,并求∠AOE的度数.

(3)若把“∠AOB=70°,∠BOC=30°”改为“∠AOB是锐角,且∠AOB=n°,∠BOC=n°”,(2)中的其余条件不变,请直接写出∠AOE的度数.(用含n的式子表示)

　　　　　图1　　　　　　　图2

解:(1)因为∠AOB=70°,OC是∠AOB的平分线,

所以∠AOC=∠AOB=×70°=35°.

(2)因为∠AOB=70°,∠BOC=30°,

所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=40°.

因为∠AOB=70°,∠AOD是∠AOB的余角,

所以∠AOD=90°-∠AOB=20°.

图1

如图1,当∠AOD在∠AOB外部时,

因为∠COD=∠AOC+∠AOD=60°,OE是∠COD的平分线,

所以∠COE=∠COD=×60°=30°,

所以∠AOE=∠AOC-∠COE=10°.

图2

如图2,当∠AOD在∠AOB内部时,

因为∠COD=∠AOC-∠AOD=20°,OE是∠COD的平分线,

所以∠COE=∠COD=×20°=10°,

所以∠AOE=∠AOC-∠COE=30°.

综上所述,∠AOE的度数为10°或30°.

(3)由(2)知,∠AOE的度数为45°-n°或45°-n°或n°-45°.

(整体思想)已知点C在直线AB上,D,E分别是AC,BC的中点.

(1)当点C在线段AB上时,如图1,

①若AC=5,BC=3,则DE=　　; 

②若AC+BC=a,你能猜想出DE的长度吗?写出你的猜想并说明理由.

(2)当点C在线段BA的延长线上,且AC=m,BC=n时,你能猜想出DE的长度吗?请在图2上画出图形,并直接写出你的猜想结果.

图1

图2

解:(1)①4.

②a.理由:因为D,E分别是AC,BC的中点,

所以DC=AC,CE=BC.

因为AC+CB=a,

所以DE=DC+CE=AC+BC=(AC+BC)=a.

(2)DE=(n-m).

提示:如图,

因为D,E分别是AC,BC的中点,

所以DC=AC,CE=BC.

因为AC=m,BC=n,

所以DE=CE-CD=BC-AC=(n-m).

(整体思想)如图,C,D为线段AB上两点,AC+BD=a,若AD+BC=AB,则用含a的代数式表示CD的长为 (B)

A.a　　B.a　　C.a　　D.a