人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用练习题，共20页。试卷主要包含了平面向量基本定理，基底等内容，欢迎下载使用。
      专题6.4  平面向量基本定理知识储备平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.能力检测姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2021·广西玉林市·高一期末）在中，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，．故选：A2．（2021·北京昌平区·高一期末）已知矩形中，，若，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选B.3．（2021·江西吉安市·高一期末）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（    ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【解析】、是平面内所有向量的一组基底，与，不共线，可以作为基底，与，不共线，可以作为基底，与不共线，可以作为基底，与，存在实数，使得，所以和共线，不可以作为基底，故选：．4．（2020·全国高一单元测试）如图在梯形ABCD中，ADBC，，且E，F分别为AB，CD的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】连接OE，OF.因为，所以.故选:C.5．（2020·山西高三期中（理））如图，中，E是AB的中点，点F满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选：A6．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））在中，若点满足，点为的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】.故选：A7．（2020·浙江温州市·高二期中）在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则的值为（    ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】∵，，，∴，∴，又是中点，∴，而，∴，∴．故选A．8．（2021·江西宜春市·高安中学高一期末（文））如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（    ）①当时，②当P是线段的中点时，，③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段④的最大值为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】当时，，则在线段上，故，故①错当是线段的中点时，，故②对为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故③对如图，过作，交于，作，交的延长线于，则：；又；，；由图形看出，当与重合时：；此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故④正确所以选项②③④正确.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（2020·湖北黄冈市·高一期末）在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点，则有（    ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，, A是正确的；因为EF是中位线，所以B是正确的；根据三角形重心性质知，CP=2PG，所以，所以C是正确的，D错误.故选AC10．（2020·全国高三专题练习）在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A选项：，故A错；对于 B选项：因为D为BC的中点，，故B正确；对于C选项：，故正确；对于D选项：，而，故D不正确.故选BC.11．（2020·辽宁大连市·辽师大附中高三月考）已知正方形的边长为，向量，满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由条件可，所以，A正确；，与不垂直，B错误；，C错误；，根据正方形的性质有，所以，D正确.故选AD12．（2020·江苏泰州市·高三月考）已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A正确；对于B选项，，由于为三等分点靠近点的点，，所以，故正确；对于C选项，，故C错误；对于D选项，，故D正确.故选：ABD 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．（2020·全国高一单元测试）在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则＝________．(用 表示)【答案】【解析】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以＝,14．（2020·甘肃天水市·高三月考（文））如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.【答案】【解析】解法1：因为，所以，又，所以因为点三点共线，所以，解得：.解法2：因为，设，所以，因为，所以，又， 所以，所以，又，所以 解得： ，所以.15．（2021·江苏常州市·高三期末）在四边形中，.若，则__________.【答案】【解析】因为，，所以，16．（2020·湖南怀化市·高一期末）如图，在中，点A是的中点，点D是靠近点B将分成的一个分点，和交于点E，设，（1）用，表示向量__________；（2）若，则__________【答案】        【解析】（1）因为点A是的中点，所以，所以，又点D是靠近点B将分成的一个分点，所以，所以.（2）因为C，E，D三点共线，所以存在实数，使得，又，，所以，又，不共线，则，解得.三、解答题（本大题共4小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，设，，又，试用，表示．【解析】，由已知可得：，所以，故．18．（本小题满分12分）（2020·永昌县第四中学高一期末）设是不共线的非零向量，且.（1）证明：可以作为一组基底；（2）若，求λ，u的值.【解析】（1）证明：假设＝λ (λ∈R)，由，不共线，得∴λ不存在，故与不共线，可以作为一组基底，（2）解：由4－3＝λ＋u，得4－3＝λ(－2)＋u(＋3)＝(λ＋u)＋(－2λ＋3u)，所以解得19．（本小题满分12分）（2020·内蒙古乌兰察布市·集宁一中（理））如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，，（1）用向量和表示向量，；（2）若，，求实数x和y的值.【解析】（1）（2）因为.即因为与不共线，从而，解得20．（本小题满分12分）已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线．（1）在△OAB中，点P在AB上，且，若，求r＋s的值；（2）已知点P满足 (m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．【解析】（1）∵，即有∴，又∴r＝，s＝－，即r＋s＝0.（2）∵四边形OABP为平行四边形∴，又∴依题意，是非零向量且不共线∴m＋1＝0，即m＝－121．（本小题满分12分）（2020·江西南昌二中高二开学考试）如图在中，，，与交于点．设，．（1）用，表示；（2）已知线段上取一点，在线段上取一点，使过点．设，，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值．【解析】（1）设，则，．∵、、三点共线，∴与共线，故存在实数，使得，即，，∴，消去得，即①，∵，，又、、三点共线，∴与共线，同理可得②，联立①②，解得，．故．（2）．理由如下：∵，，又与共线，故存在实数，使得，即．∴，消去得，整理得．22．（本小题满分12分）（2021·贵州贵阳市·高一期末）三角形中，为上一点，，设，，可以用，来表示出，方法如下：方法一：，∵，∴.方法二：，∵，∴.方法三：如图所示，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，则四边形为平行四边形.∵且，∴，.∵，.∴，得.∴.请参照上述方法之一(用其他方法也可)，解决下列问题：（1）三角形中，为的中点，设，，试用，表示出；（2）设为直线上任意一点(除､两点)，.点为直线外任意一点，，，证明：存在唯一实数对，，使得：，且.【解析】（1）因为为的中点，方法一：，∵，∴；方法二：，∵，∴；方法三：如图所示，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，则四边形为平行四边形.∵且，∴，.∵，.∴，得.∴；（2）因为为直线上任意一点(除､两点)，，显然；所以，，方法一：，∵，∴；即存在唯一实数对，，使得：，且；方法二：，∵，∴；即存在唯一实数对，，使得：，且；方法三：若点位于点左侧，如图，过点作，过点作，交于点，则为平行四边形，，；即存在唯一实数对，，使得：，且；若点位于点右侧，如图，过点作，过点作，交于点，则为平行四边形， ，因此，即存在唯一实数对，，使得：，且；若点位于之间，则；如图所示，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，则四边形为平行四边形.∵且，∴，，∵，.∴，得.∴；即存在唯一实数对，，使得：，且；综上，存在唯一实数对，，使得：，且.