高中数学新人教A版必修一第三章函数的概念与性质复习（知识点+例题解析+同步练习）
展开高中数学新人教A版必修一第三章函数的概念与性质复习（知识点+例题解析+同步练习）一． 主要知识点函数的概念一般地，设A, B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数,按照某种确定的对应关系, 在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为从集合A到 B的一个函数，记作，.其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域。与的对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数的三要素是： 、 和 . 函数的表示① 解析法，就是用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系.例如，② 列表发③ 图象法函数的基本性质① 函数的单调性一般地，设函数的定义域是为，区间.如果, 当时，都有()，那么就称函数在区间D上单调递增(单调递减)。特别地，当函数在它的定义域上单调递增（单调递增）时，称它是增函数（减函数）.注意：函数的单调性是函数的局部性质，是对某个区间来说的；增函数和减函数是函数的整体性质，是对定义域而言.② 函数的奇偶性 一般地，设函数的定义域为，如果,都有，且 （ ），那么函数叫做偶（奇）函数 .注意：（i）偶函数的图象关于成轴对称，奇函数的图象关于 成中心对称.（ii）如果奇函数在原点有定义，那么一定有.幂函数一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.注意：（这里只讨论幂函数在第一象限的情况）（i）幂函数的图象，一定经过点（.（ii）当时， 经过点和（，并且为增函数.当时，幂函数的图象经过点（,并且为奇函数. 二． 常见题型及方法判断两个函数是否为同一函数.例1.下列选项中，表示同一函数的是（ ） 与与与与解: 只有D符合条件，选D.反思：两个函数是同一函数的条件必须是三要素相同，即定义域、对应法则和值域都相同. 求抽象函数的解析式例2.已知函数 , 求 解：令，则 ∴ 反思：如果给出，那么直接令，即可得出，这样从形式上就出现了要求的函数.例3. 已知函数满足：,求.解： 对取倒数，得 令, ,得 解方程组，得即 反思：把看作两个不同的未知数，然后再设法找出一个关于有的方程，从而问题解决.求抽象函数的定义域 例4. 已知函数的定义域是（-1，1），求函数的定义域.解：∵函数的定义域是（-1，1）∴ ∴ 对于函数，仍有 解得 ∴ 函数的定义域是反思：函数的定义域是自变量的取值范围，而对应法则是对整体数学式的运算。在本题中，函数的定义域是（-1，1），即是说自变量的取值范围是（-1，1），即，由此可推导出对整体“”的取值范围：. 在同一题目中，对应法则是相同的，所以对于函数，仍有，解此不等式组，可求出函数的定义域. 4.函数的单调性例5. 已知，定义在R上的函数，则下列命题错误的是（ ）函数在区间（0，）内单调递减,若函数，都是增函数，则是增函数，若函数，都是增函数，则是增函数，若函数是增函数，是减函数，则是增函数.解：只有C是错误的. 反思：此题目考察的是两个单调函数的和差积的单调性。（i）若函数，均为区间上的增（减）函数，则为区间上的增（减）函数。（ii）若函数区间上的增（减）函数，则为区间上的减(增)函数。（iii）是定义在区间上的函数，若与 的单调性相同，则是增函数； 若与的单调性相反，则是 减函数例如，该题中，函数可看作两个减函数 和 的和，两个减函数之和是减函数.例6. 求下列函数. 解：当时，由于对称轴是，∴ 的单调递减区间是，单调递增区间是（0，）.当时，由于对称轴是，∴ 的单调递减区间是，,单调递增区间是（，）.反思：求具体函数的单调区间往往借助已知函数的单调性求解，该题显然可以转化成二次函数求单调区间.函数的奇偶性例7.设函数是定义在R上的奇函数，且当时，有，求的解析式.解：（法一，根据奇函数的定义） 当时，∴ (法二，根据奇函数图象关于原点中心对称的性质) 当时，函数 的图象如图绿色部分， 画出关于原点对称的射线如图蓝色图象，根据图象可以求出，时，函数∴ (法三，根据函数与方程的思想) 在函数在对应的图象上任取一点（，，∵奇函数图象关于原点成中心对称∴点（，在函数在对应的图象上，满足 ∴ ∴ 反思：根据函数的奇偶性和部分解析式求函数解析式，这种题目的解法有多种.利用函数奇偶性的定义求解，书写起来比较简单，但灵活性较强.利用函数图象，比较直观，容易理解，但较繁琐. 根据函数与方程的思想,也是一中比较好的方法，渗透解析几何的思想方法。例8.画出函数 的图象. 解： 首先画出函数在第一象限的图象，由α=，得到如图① 又由是奇函数，图象关于原点对称，得出的图象如图（2） 函数图象的变换例9.画出函数的图象.解：画函数1的图象如图（1）. 对函数1的图象，将轴下方的部分沿轴翻折，得到函数的图象.（2）将函数的图象向下平移2个单位，得到函数的图象如图（3）.对函数的图象，将轴下方的部分沿轴翻折，得到函数的图象如图（4）. 反思： 由已知函数的图象，通过图象变换可得到以下函数的图象，， ， ， .具体方法是：（i）将函数 的图象沿轴向左(或向右(平移个单位，得到函数 的图象. （ii） 将函数 的图象沿轴向上(或向下(平移个单位，得到函数 的图象.（iii） 将函数 在的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折，其余部分不变，得到函数 的图象.（iv）∵ ∴ 是偶函数. 首先画出函数时的图象，然后再根据偶函数的对称性画出时的图象. 三． 检测题（一） 选择题（1） 下列各曲线表示的之间的关系中，函数的是（ ）（2） 函数的定义域是（ ）A. B. C. D.（3） 下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ）A. B. C. D. （4） 以下关于幂函数正确的判断是（ ）A． 是奇函数 B. 是偶函数C. 在区间上，单调递增D. 在区间上，单调递减 （5） 已知函数 的定义域是，则函数 的定义域是（ ）A. B. C. (0, 2) D. (0, 2) （6） 关于函数增减性的描述，正确的是（ ）A. 在定义域内单调递减B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递增 （7） 已知函数是奇函数，则( )A. B. C. D. （8） 四个幂函数,,,在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ） A. B. C. c D. d（9） (2021惠州期末)下列幂函数中，满足条件（0的函数是（ C ）A. B. C. D.（10） 已知定义在区间上的增函数满足对任意，,都有,且，，若,则的取值范围是（ ）A. B. C. D. （二）填空题（11） 不等式的解集是 .（12） 已知函数在R上是增函数，则 （13） 已知函数,满足，比较大小： （14） 已知是奇函数，且在区间上是增函数，，则不等式的解集是 . （15） 已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且，则的值是 .（三）解答题（16） 已知函数求,（17） 求函数的单调区间.（18） 已知定义在区间（-2，2）上的奇函数是增函数，且满足,求的取值范围. 四． 参考答案(一）选择题（1）答案：C 提示：函数必须是单值对应.（2）答案：C 提示：考虑有意义的条件：解不等式得 或（3）答案：D 提示： A不是奇函数，B在每个区间内单调递增，但在定义域内不是增函数.C 是偶函数，D是分段函数y=，所以既是奇函数又是增函数.（4）答案：B提示：因为函数是幂函数， 所以 ∴ 图象如图所示，根据图象可判断只有B正确.（5）答案：C提示：本题既要考虑函数的定义域，又要考虑分母不为0.∵ 函数 的定义域是∴ ∴ 函数 的定义域是所以 有意义的条件是通过解不等式组即可求出定义域.（6）答案:B 提示： ∴ 将双曲线向右平移1个单位，向上平移1个单位，得到函数的图象，观察图象可以判断B正确.（7）答案：D提示：当时，∴ （8）答案：D提示：以几个特殊值为指数的幂函数图象如下，应牢记并注意运用. （9）答案：C提示: 满足条件（0的函数图象在上凸，只有C符号，故选C.（10）答案：B提示：关键是如何利用好这个条件，考虑到函数在区间上是增函数，自然会想到可将化为的形式. 对令则∵ ，∴ 令则 ∴ 又∵ 函数在区间上是增函数∴ ∴ （二）填空题（11）答案：提示：由题意，得解不等式组，得∴ 不等式的解集是（12）答案：提示：函数的图象如图所示， 因为函数在R上是增函数，所以直线经过点（1，2）,故将点（1，2）代入，求出 （13）答案：提示：先求的解析式. 令,则∴∴ 是增函数又 ∵ ∴ （14）答案：提示：由，得 或 ∴ 或 ∴ 或 （15）答案：0提示：由题意，得，∵ ∴ 又∵ ， ∴ ∴ （三）解答题（16）解： ∵ ∴ （17）解：画的图象，然后将轴下方的 部分翻折到轴下方上方，得到函数的图象， 由图象得到函数的单调区间： 单调递增区间是(-1,1)(3,)单调递减区间是(-,-1)(1,) （18）解：∵是定义在区间（-1，1）上的函数∴ ① ②∵ ∴ 又∵ 是奇函数∴ ∴ ∵ 是增函数∴ 2 ③解① ② ③联立的方程组，得
