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2020-2021学年北京四中七年级（上）期中数学试卷
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这是一份2020-2021学年北京四中七年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，B卷等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京四中七年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2020年北京故宫迎来了600岁生日，系列展览与活动让故宫充分展示其深沉魅力．据不完全统计，今年“十一”双节期间故宫累计接待观众约为240000人次，将240000用科学记数法可表示为（ ）
A．24×104 B．2.4×105 C．0.24×105 D．0.24×106
2．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣5 D．5
3．（3分）下列各式结果为负数的是（ ）
A．﹣（﹣1） B．（﹣1）4 C．﹣|﹣1| D．|1﹣2|
4．（3分）下面计算正确的是（ ）
A．3x+2x2＝5x B．2a2b﹣a2b＝1 C．﹣ab﹣ab＝0 D．﹣y2x+xy2＝0
5．（3分）下列各式去括号正确的是（ ）
A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c
B．a+（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d
C．a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d
D．2a﹣[2a﹣（﹣2a）]＝0
6．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（ ）
A．a B．b C．c D．无法确定
7．（3分）下列对使用四舍五入法得到的近似数描述正确的是（ ）
A．近似数5.1万精确到十分位
B．2.709的近似数是3
C．0.154精确到十分位为0.1
D．近似数1.31×105精确到千位
8．（3分）如果|a|＝8，|b|＝5，且a+b＞0，那么a﹣b的值是（ ）
A．3或13 B．13或﹣13 C．3或﹣3 D．﹣3或﹣13
9．（3分）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2
10．（3分）规定：f（x）＝|x﹣2|，g（y）＝|y+3|．
例如f（﹣4）＝|﹣4﹣2|，g（﹣4）＝|﹣4+3|．
下列结论中：
①若f（x）+g（y）＝0，则2x﹣3y＝13；
②若x＜﹣3，则f（x）+g（x）＝﹣1﹣2x；
③能使f（x）＝g（x）成立的x的值不存在；
④式子f（x﹣1）+g（x+1）的最小值是7．
其中正确的所有结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（每小题2分，共20分）
11．（2分）如果水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降3m时，水位变化记作 m．
12．（2分）比较大小：﹣ ﹣．
13．（2分）如图所示，大陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差是 米．
14．（2分）若|x+7|+（y﹣6）2＝0，则（x+y）2021的值为 ．
15．（2分）如图的框图表示解方程3x+32＝7﹣2x的流程，其中第3步的依据是 ．
16．（2分）如图，若开始输入的x的值为正数，最后输出的结果为51，则满足条件的x的值为 ．
17．（2分）甲乙丙三个商店都在销售同一种排球，而且每个球的标价都是25元．但三个店的促销方式不一样：甲店的促销方式是每买十送二，乙店的促销方式是优惠16%，丙店的优惠方式是买球每满100元可返现金15元．学校准备买60个这种排球．你认为到 家商店买比较省钱，这时实际只需要付 元．
18．（2分）已知数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a+c|+|b+c|﹣|a+b|的结果为 ．
19．（2分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天．
20．（2分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
（1）表中第9行第7个数是 ；
（2）2020是表中第 行第 个数．
三、解答题（共50分）
21．（16分）计算
（1）（+11）+（﹣12）﹣（+18）；
（2）﹣1+5÷（﹣）×（﹣4）；
（3）﹣8×（﹣+﹣）÷；
（4）﹣43÷（﹣32）﹣[（﹣）3×（﹣3）2+（﹣）]．
22．（8分）化简
（1）5xy﹣2y2﹣3xy﹣4y2．
（2）2（2a﹣3b）﹣3（2b﹣3a）．
23．（10分）解方程
（1）3x﹣4＝2x+5；
（2）＝1．
24．（5分）先化简，再求值：求代数式7a2b﹣2（2a2b﹣3ab2）+（﹣4a2b+5ab2）的值，其中a＝2，b＝﹣．
25．（5分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）◆（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）◆（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，﹣3）◆（3，2）＝ ；
（2）若有理数对（﹣3，2x﹣1）◆（1，x+1）＝7，则x＝ ；
（3）当满足等式（﹣3，2x﹣1）◆（k，x+k）＝5+2k的x是整数时，求整数k的值．
26．（6分）在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离．如果数轴上两个点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为：AB＝|a﹣b|，这是绝对值的几何意义．已知如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．
（1）求线段AB的长；
（2）若点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1＝x﹣2的解，在数轴上是否存在点M，使MA+MB＝AB+BC？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由．
（3）若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，当点N在点A左侧的数轴上运动时，请直接判断AP﹣NQ的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．
四、B卷（满分20分）
27．（4分）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过m次翻转可使这5只杯子的杯口全部朝下，则m的最小值为 ．
（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为 ．
28．（6分）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为m﹣1，第16个数为2，第78个数为3﹣2m，则m的值为 ，第2021个数为 ．
7
m﹣1
29．（4分）天坛中的数学一瞥，天坛始建于明朝永乐十八年（1420年），明、清两代是帝王祭祀皇天、祈五谷丰登之场所．中和韶乐在中国古代的发生、发展、沉寂，经历了历代传承，随着对中国传统文化重新认识，中和韶乐逐渐复苏．自从2004年9月天坛神乐署修复完成，中和韶乐又一次展现在世人面前．中和韶乐主要是宫、商、角、徵、羽五声音阶的运用，在确定这五音的时候，中国古代最初由三分损益计算而来，从最初的一个音三分损一而得到第二个音，由第二个音三分益一得到第三个音，如此计算，得到宫商角徵羽五声音阶．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为81×（1﹣）＝54，能发出第三个基准音的乐器的长度为54×（1+）＝72…，（也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一）．那么第五个基准音的乐器的长度为 ．假设能发出第一个基准音的乐器的长度为a，那么能发出第四个基准音的乐器的长度是32，则a的值是 ．
30．（6分）阅读材料：
你知道“二维码”吗？它是一种编码，通过表示1和0的黑白小方块排列成图案传递信息．二维码广泛应用于我们生活，“扫一扫”成为人们的习惯动作．
你知道二维码究竟是怎样生成的吗？你想亲自制作一个二维码吗？首先来了解一个定义：定义符号“⊕”表示一种运算叫做“异或”运算，即当a＝b时，a⊕b＝0；当a≠b时，a⊕b＝1．
下面就让我们试着为“BHSF”制作一个二维码吧！
【步骤一】
查表可得字母“B”的八位二进制编码为01000010，“H”为01001000，“S”为01010011，“F”为01000110．
【步骤二】
将每个字母的编码按照一定的顺序排布在方格内，例如字母“S”的编码排布如图第一个表格．然后将编码排布与事先排布好0与1的表格（称为掩模）进行“方格一一对应”的“异或”运算（如图第三个表格），并将结果中1的位置填涂黑色，0的位置填涂白色（如图第四个表格）．
解决问题：
（1）请根据上面的定义将表格补充完整．
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
（2）仿照上面【步骤二】，完成“F”的编码排布、运算及二维码填涂．
“BHSF”二维码的其余部分已生成，你可以将获得的结果填涂在对应的空白位置．一个完整的二维码就大功告成啦，试着扫一扫它吧！
2020-2021学年北京四中七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2020年北京故宫迎来了600岁生日，系列展览与活动让故宫充分展示其深沉魅力．据不完全统计，今年“十一”双节期间故宫累计接待观众约为240000人次，将240000用科学记数法可表示为（ ）
A．24×104 B．2.4×105 C．0.24×105 D．0.24×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【解答】解：将240000用科学记数法可表示为2.4×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣5 D．5
【考点】倒数．菁优网版权所有
【解答】解：∵（﹣5）×（﹣）＝1，
∴﹣5的倒数是﹣．
故选：B．
【点评】本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．
3．（3分）下列各式结果为负数的是（ ）
A．﹣（﹣1） B．（﹣1）4 C．﹣|﹣1| D．|1﹣2|
【考点】正数和负数．菁优网版权所有
【解答】解：A、﹣（﹣1）＝1是正数，故A错误；
B、（﹣1）4＝1是正数，故B错误；
C、﹣|﹣1|＝﹣1是负数，故C正确；
D、|1﹣2|＝1，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，小于零的数是负数，化简各数是解题关键．
4．（3分）下面计算正确的是（ ）
A．3x+2x2＝5x B．2a2b﹣a2b＝1 C．﹣ab﹣ab＝0 D．﹣y2x+xy2＝0
【考点】合并同类项．菁优网版权所有
【解答】解：A．3x与2x2不是同类项，不能合并，此选项错误；
B．2a2b﹣a2b＝a2b，此选项错误；
C．﹣ab﹣ab＝﹣2ab，此选项错误；
D．﹣y2x+xy2＝0，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项，解题的关键是掌握同类项的定义和合并同类项法则．
5．（3分）下列各式去括号正确的是（ ）
A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c
B．a+（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d
C．a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d
D．2a﹣[2a﹣（﹣2a）]＝0
【考点】去括号与添括号．菁优网版权所有
【解答】解：A、a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a+b﹣c；
B、a+（b﹣c﹣d）＝a+b﹣c﹣d；
C、a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d；
D、2a﹣[2a﹣（﹣2a）]＝2a﹣（2a+2a）＝2a﹣2a﹣2a＝﹣2a；
故选：C．
【点评】本题考查去括号与添括号，解题的关键是去括号后括号内各项是否要变号．
6．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（ ）
A．a B．b C．c D．无法确定
【考点】实数大小比较；相反数；绝对值；实数与数轴．菁优网版权所有
【解答】解：根据数轴上点的位置及a，c互为相反数，得c＜a＜b，且|c|＝|a|＜|b|，
则绝对值最大的是b，
故选：B．
【点评】此题考查了实数大小比较，实数与数轴，相反数，绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
7．（3分）下列对使用四舍五入法得到的近似数描述正确的是（ ）
A．近似数5.1万精确到十分位
B．2.709的近似数是3
C．0.154精确到十分位为0.1
D．近似数1.31×105精确到千位
【考点】科学记数法与有效数字．菁优网版权所有
【解答】解：A．近似数5.1万精确到千位，此选项错误；
B．2.709精确到个位的近似数是3，此选项错误；
C．0.154精确到十分位为0.2，此选项错误；
D．近似数1.31×105精确到千位，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字．
8．（3分）如果|a|＝8，|b|＝5，且a+b＞0，那么a﹣b的值是（ ）
A．3或13 B．13或﹣13 C．3或﹣3 D．﹣3或﹣13
【考点】有理数的减法；绝对值；有理数的加法．菁优网版权所有
【解答】解：∵|a|＝8，|b|＝5，
∴a＝±8，b＝±5，
∵a+b＞0，
∴a＝8，b＝±5，
∴a﹣b＝8﹣5＝3，
或a﹣b＝8﹣（﹣5）＝8+5＝13．
故a﹣b的值是3或13．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，有理数的加法，熟练掌握运算法则和性质并确定出a、b的值是解题的关键．
9．（3分）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2
【考点】一元一次方程的定义．菁优网版权所有
【解答】解：由题意，得
|m|＝1且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
10．（3分）规定：f（x）＝|x﹣2|，g（y）＝|y+3|．
例如f（﹣4）＝|﹣4﹣2|，g（﹣4）＝|﹣4+3|．
下列结论中：
①若f（x）+g（y）＝0，则2x﹣3y＝13；
②若x＜﹣3，则f（x）+g（x）＝﹣1﹣2x；
③能使f（x）＝g（x）成立的x的值不存在；
④式子f（x﹣1）+g（x+1）的最小值是7．
其中正确的所有结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【考点】等式的性质；绝对值；代数式求值．菁优网版权所有
【解答】解：①若f（x）+g（y）＝0，即|x﹣2|+|y+3|＝0，
解得：x＝2，y＝﹣3，
则2x﹣3y＝4+9＝13，符合题意；
②若x＜﹣3，则f（x）+g（x）＝|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x﹣x﹣3＝﹣1﹣2x，符合题意；
③若f（x）＝g（x），则|x﹣2|＝|x+3|，即x﹣2＝x+3或x﹣2＝﹣x﹣3，
解得：x＝﹣0.5，即能使已知等式成立的x的值存在，不符合题意；
④式子f（x﹣1）+g（x+1）＝|x﹣3|+|x+4|的最小值是7，符合题意．
正确的所有结论是：①②④．
故选：B．
【点评】此题考查了函数值，以及绝对值，弄清题中的新规定是解本题的关键．
二、填空题（每小题2分，共20分）
11．（2分）如果水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降3m时，水位变化记作 ﹣3 m．
【考点】正数和负数．菁优网版权所有
【解答】解：∵水位升高3m时，水位变化记作+3m，
∴水位下降3m时，水位变化记作﹣3m．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
12．（2分）比较大小：﹣ ＞ ﹣．
【考点】有理数大小比较．菁优网版权所有
【解答】解：∵|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，
而＜，
∴﹣＞﹣．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小．
13．（2分）如图所示，大陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差是 9259.43 米．
【考点】有理数的减法．菁优网版权所有
【解答】解：8844.43﹣（﹣415）＝9259.43（米）．
答：两处高度相差是9259.43米．
故答案为：9259.43．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
14．（2分）若|x+7|+（y﹣6）2＝0，则（x+y）2021的值为 ﹣1 ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．菁优网版权所有
【解答】解：∵|x+7|+（y﹣6）2＝0，
∴x+7＝0，y﹣6＝0，
解得：x＝﹣7，y＝6，
∴（x+y）2021＝（﹣7+6）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
15．（2分）如图的框图表示解方程3x+32＝7﹣2x的流程，其中第3步的依据是 等式的基本性质2 ．
【考点】解一元一次方程．菁优网版权所有
【解答】解：根据框图中的解方程流程，得第3步的依据为等式的基本性质2．
故答案为：等式的基本性质2．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的依据是解本题的关键．
16．（2分）如图，若开始输入的x的值为正数，最后输出的结果为51，则满足条件的x的值为 10或或 ．
【考点】代数式求值．菁优网版权所有
【解答】解：根据题意得：5x+1＝51，
解得：x＝10，
可得5x+1＝10，
解得：x＝，
可得5x+1＝，
解得：x＝，
则所有满足题意x的值为10或或．
故答案为：10或或．
【点评】此题考查了代数式求值，能够看懂运算程序是解本题的关键．
17．（2分）甲乙丙三个商店都在销售同一种排球，而且每个球的标价都是25元．但三个店的促销方式不一样：甲店的促销方式是每买十送二，乙店的促销方式是优惠16%，丙店的优惠方式是买球每满100元可返现金15元．学校准备买60个这种排球．你认为到 甲 家商店买比较省钱，这时实际只需要付 1250 元．
【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有
【解答】解：由题意可得，
到甲店购买需要花费：25×50＝1250（元），
到乙店购买需要花费：25×60×（1﹣16%）＝1260（元），
到丙店购买需要花费：25×60﹣×15＝1500﹣225＝1275（元），
∵1250＜1260＜1275，
∴到甲店购买比较省钱，
故答案为：甲，1250．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
18．（2分）已知数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a+c|+|b+c|﹣|a+b|的结果为 2a ．
【考点】数轴；绝对值．菁优网版权所有
【解答】解：由数轴得，b＜a＜0＜c，且|b|＞|c|＞|a|，
所以a+c＞0，b+c＜0，a+b＜0，
所以原式＝a+c﹣b﹣c+a+b
＝2a．
故答案为：2a．
【点评】本题主要考查了数轴和绝对值，理解绝对值的性质是解答此题的关键．
19．（2分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 510 天．
【考点】用数字表示事件．菁优网版权所有
【解答】解：孩子自出生后的天数是1×73+3×72+2×7+6＝510，
故答案为：510．
【点评】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
20．（2分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
（1）表中第9行第7个数是 71 ；
（2）2020是表中第 45 行第 84 个数．
【考点】规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【解答】解：（1）由题意知第n行最后一数为n2，则第8行的最后一个数是64，
所以第9行第1个数是65，
所以第9行第7个数是71．
故答案为：71；
（2）由（1）知第n行的最后一数为n2，
则第一个数为：（n﹣1）2+1＝n2﹣2n+2，
第n行共有2n﹣1个数；
因为442＝1936，452＝2025，
2×45﹣1＝89，
所以第45行有89个数，最后一个数是2025，
所以2020在第45行，第84个数．
故答案为：45，84．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三、解答题（共50分）
21．（16分）计算
（1）（+11）+（﹣12）﹣（+18）；
（2）﹣1+5÷（﹣）×（﹣4）；
（3）﹣8×（﹣+﹣）÷；
（4）﹣43÷（﹣32）﹣[（﹣）3×（﹣3）2+（﹣）]．
【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有
【解答】解：（1）（+11）+（﹣12）﹣（+18）
＝11+（﹣12）+（﹣18）
＝﹣19；
（2）﹣1+5÷（﹣）×（﹣4）
＝﹣1+5×（﹣4）×（﹣4）
＝﹣1+80
＝79；
（3）﹣8×（﹣+﹣）÷
＝﹣8×（﹣+﹣）×6
＝（﹣8×6）×（﹣+﹣）
＝（﹣48）×（﹣+﹣）
＝﹣×（﹣48）+×（﹣48）﹣×（﹣48）
＝8+（﹣36）+4
＝﹣24；
（4）﹣43÷（﹣32）﹣[（﹣）3×（﹣3）2+（﹣）]
＝﹣64÷（﹣32）﹣[（﹣）×9+（﹣）]
＝2﹣[（﹣）+（﹣）]
＝2+
＝．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
22．（8分）化简
（1）5xy﹣2y2﹣3xy﹣4y2．
（2）2（2a﹣3b）﹣3（2b﹣3a）．
【考点】整式的加减．菁优网版权所有
【解答】解：（1）原式＝5xy﹣3xy﹣4y2﹣2y2
＝2xy﹣6y2．
（2）原式＝4a﹣6b﹣6b+9a
＝13a﹣12b．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
23．（10分）解方程
（1）3x﹣4＝2x+5；
（2）＝1．
【考点】解一元一次方程．菁优网版权所有
【解答】解：（1）方程移项得：3x﹣2x＝5+4，
合并得：x＝9；
（2）去分母得：2（2x﹣5）﹣3（3﹣x）＝12，
去括号得：4x﹣10﹣9+3x＝12，
移项合并得：7x＝31，
解得：x＝．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．
24．（5分）先化简，再求值：求代数式7a2b﹣2（2a2b﹣3ab2）+（﹣4a2b+5ab2）的值，其中a＝2，b＝﹣．
【考点】整式的加减—化简求值．菁优网版权所有
【解答】解：原式＝7a2b﹣（4a2b﹣6ab2）+（﹣4a2b+5ab2）
＝7a2b﹣4a2b+6ab2﹣4a2b+5ab2
＝﹣a2b+11ab2，
当a＝2，b＝﹣时，原式＝2+＝．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（5分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）◆（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）◆（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，﹣3）◆（3，2）＝ ﹣13 ；
（2）若有理数对（﹣3，2x﹣1）◆（1，x+1）＝7，则x＝ 1 ；
（3）当满足等式（﹣3，2x﹣1）◆（k，x+k）＝5+2k的x是整数时，求整数k的值．
【考点】解一元一次方程；有理数．菁优网版权所有
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝﹣3×3﹣2×2＝﹣9﹣4＝﹣13；
（2）根据题中的新定义化简得：（2x﹣1）+3（x+1）＝7，
去括号得：2x﹣1+3x+3＝7，
解得：x＝1；
（3）已知等式化简得：k（2x﹣1）+3（x+k）＝5+2k，
整理得：2kx﹣k+3x+3k＝5+2k，即（2k+3）x＝5，
解得：x＝，
由x为整数，得到2k+3＝±1或2k+3＝±5，
解得：k＝﹣1，﹣2，1，﹣4．
故答案为：（1）﹣13；（2）1．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数，弄清题中的新定义是解本题的关键．
26．（6分）在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离．如果数轴上两个点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为：AB＝|a﹣b|，这是绝对值的几何意义．已知如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．
（1）求线段AB的长；
（2）若点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1＝x﹣2的解，在数轴上是否存在点M，使MA+MB＝AB+BC？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由．
（3）若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，当点N在点A左侧的数轴上运动时，请直接判断AP﹣NQ的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．
【考点】一元一次方程的应用；数轴；绝对值．菁优网版权所有
【解答】解：（1）∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，
∴AB＝|﹣3﹣2|＝5．
（2）存在．
设M点对应的数为m，解方程x+1＝x﹣2，得x＝﹣6，
∴点C对应的数为﹣6，
∵MA+MB＝AB+BC，
∴|m+3|+|m﹣2|＝|﹣3﹣2|+|﹣6﹣2|，即，|m+3|+|m﹣2|＝13
①当m≤﹣3时，有﹣m﹣3+2﹣m＝13，解得m＝﹣7；
②当﹣3＜m≤2时，有m+3+2﹣m＝13，此方程无解；
③当2＜m时，有m+3+m﹣2＝13，解得m＝6；
综上，M点的对应数为﹣7或6．
（3）设点N对应的数为n，则NA＝﹣n﹣3，NB＝2﹣n，
∵若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，
∴NQ＝1﹣n，则点Q对应的数为n+1；NP＝﹣n﹣1，则P点对应的数为n﹣1；
∴AP＝﹣n﹣2，则AP﹣NQ＝﹣．
∴随着点N的移动，AP﹣NQ的值不变．
【点评】本题是数轴的一个综合题，涉及非负数性质，一元一次方程的应用，两点距离公式，利用绝对值的性质化简绝对值代数式是解题的难点与关键．
四、B卷（满分20分）
27．（4分）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过m次翻转可使这5只杯子的杯口全部朝下，则m的最小值为 3 ．
（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为 5 ．
【考点】奇数与偶数．菁优网版权所有
【解答】解：（1）给5只杯子从左往右①②③④⑤．
第一次翻①②③只杯子；
第二次翻②③④只杯子；
第三次翻②③⑤只杯子．
故m的最小值为3．
故答案为：3；
（2）11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，6只杯口朝上的茶杯，经过2次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，另外的5只杯子按照（1）的方法进行
则n＝2+3＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了奇数与偶数，以及学生动手操作的能力，在翻动时，注意按一定规律进行．
28．（6分）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为m﹣1，第16个数为2，第78个数为3﹣2m，则m的值为 ﹣4 ，第2021个数为 ﹣5 ．
7
m﹣1
【考点】整式的加减；有理数的加法．菁优网版权所有
【解答】解：∵任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15，
∴第5个数（5﹣4＝1）与第1个数相同，都为m﹣1；第16个数（16÷4＝4）与第4个数相同，都为2；第78个数（78÷4＝19…2）与第2个数相同，都为3﹣2m；
∴m﹣1+3﹣2m+7+2＝15，
解得m＝﹣4，
则m﹣1＝﹣4﹣1＝﹣5，3﹣2m＝11，
∵2021÷4＝505…1，
∴第2021个数是﹣5．
故答案为：﹣4；﹣5．
【点评】本题主要考查有理数的加法及数字的变化规律，解决此题的关键是根据题意，列出等式，求出字母的值，找出规律．
29．（4分）天坛中的数学一瞥，天坛始建于明朝永乐十八年（1420年），明、清两代是帝王祭祀皇天、祈五谷丰登之场所．中和韶乐在中国古代的发生、发展、沉寂，经历了历代传承，随着对中国传统文化重新认识，中和韶乐逐渐复苏．自从2004年9月天坛神乐署修复完成，中和韶乐又一次展现在世人面前．中和韶乐主要是宫、商、角、徵、羽五声音阶的运用，在确定这五音的时候，中国古代最初由三分损益计算而来，从最初的一个音三分损一而得到第二个音，由第二个音三分益一得到第三个音，如此计算，得到宫商角徵羽五声音阶．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为81×（1﹣）＝54，能发出第三个基准音的乐器的长度为54×（1+）＝72…，（也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一）．那么第五个基准音的乐器的长度为 64 ．假设能发出第一个基准音的乐器的长度为a，那么能发出第四个基准音的乐器的长度是32，则a的值是 54 ．
【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有
【解答】解：81×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）
＝81××××
＝64，
依题意有a×（1﹣）×（1+）×（1﹣）＝32，
解得a＝54．
故第五个基准音的乐器的长度为64，a的值是54．
故答案为：64，54．
【点评】考查了有理数的混合运算，关键是找到规律，正确列式计算即可求解．
30．（6分）阅读材料：
你知道“二维码”吗？它是一种编码，通过表示1和0的黑白小方块排列成图案传递信息．二维码广泛应用于我们生活，“扫一扫”成为人们的习惯动作．
你知道二维码究竟是怎样生成的吗？你想亲自制作一个二维码吗？首先来了解一个定义：定义符号“⊕”表示一种运算叫做“异或”运算，即当a＝b时，a⊕b＝0；当a≠b时，a⊕b＝1．
下面就让我们试着为“BHSF”制作一个二维码吧！
【步骤一】
查表可得字母“B”的八位二进制编码为01000010，“H”为01001000，“S”为01010011，“F”为01000110．
【步骤二】
将每个字母的编码按照一定的顺序排布在方格内，例如字母“S”的编码排布如图第一个表格．然后将编码排布与事先排布好0与1的表格（称为掩模）进行“方格一一对应”的“异或”运算（如图第三个表格），并将结果中1的位置填涂黑色，0的位置填涂白色（如图第四个表格）．
解决问题：
（1）请根据上面的定义将表格补充完整．
a
b
结果
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
（2）仿照上面【步骤二】，完成“F”的编码排布、运算及二维码填涂．
“BHSF”二维码的其余部分已生成，你可以将获得的结果填涂在对应的空白位置．一个完整的二维码就大功告成啦，试着扫一扫它吧！
【考点】规律型：图形的变化类；有理数的混合运算．菁优网版权所有
【解答】解：（1）根据“异或”运算的定义填写表格如下：
a
b
结果
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
（2）“F”的编码排布，运算及二维码填涂如下：
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
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2020-2021学年北京四中七年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2020年北京故宫迎来了600岁生日，系列展览与活动让故宫充分展示其深沉魅力．据不完全统计，今年“十一”双节期间故宫累计接待观众约为240000人次，将240000用科学记数法可表示为（ ）
A．24×104 B．2.4×105 C．0.24×105 D．0.24×106
2．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣5 D．5
3．（3分）下列各式结果为负数的是（ ）
A．﹣（﹣1） B．（﹣1）4 C．﹣|﹣1| D．|1﹣2|
4．（3分）下面计算正确的是（ ）
A．3x+2x2＝5x B．2a2b﹣a2b＝1 C．﹣ab﹣ab＝0 D．﹣y2x+xy2＝0
5．（3分）下列各式去括号正确的是（ ）
A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c
B．a+（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d
C．a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d
D．2a﹣[2a﹣（﹣2a）]＝0
6．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（ ）
A．a B．b C．c D．无法确定
7．（3分）下列对使用四舍五入法得到的近似数描述正确的是（ ）
A．近似数5.1万精确到十分位
B．2.709的近似数是3
C．0.154精确到十分位为0.1
D．近似数1.31×105精确到千位
8．（3分）如果|a|＝8，|b|＝5，且a+b＞0，那么a﹣b的值是（ ）
A．3或13 B．13或﹣13 C．3或﹣3 D．﹣3或﹣13
9．（3分）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2
10．（3分）规定：f（x）＝|x﹣2|，g（y）＝|y+3|．
例如f（﹣4）＝|﹣4﹣2|，g（﹣4）＝|﹣4+3|．
下列结论中：
①若f（x）+g（y）＝0，则2x﹣3y＝13；
②若x＜﹣3，则f（x）+g（x）＝﹣1﹣2x；
③能使f（x）＝g（x）成立的x的值不存在；
④式子f（x﹣1）+g（x+1）的最小值是7．
其中正确的所有结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（每小题2分，共20分）
11．（2分）如果水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降3m时，水位变化记作 m．
12．（2分）比较大小：﹣ ﹣．
13．（2分）如图所示，大陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差是 米．
14．（2分）若|x+7|+（y﹣6）2＝0，则（x+y）2021的值为 ．
15．（2分）如图的框图表示解方程3x+32＝7﹣2x的流程，其中第3步的依据是 ．
16．（2分）如图，若开始输入的x的值为正数，最后输出的结果为51，则满足条件的x的值为 ．
17．（2分）甲乙丙三个商店都在销售同一种排球，而且每个球的标价都是25元．但三个店的促销方式不一样：甲店的促销方式是每买十送二，乙店的促销方式是优惠16%，丙店的优惠方式是买球每满100元可返现金15元．学校准备买60个这种排球．你认为到 家商店买比较省钱，这时实际只需要付 元．
18．（2分）已知数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a+c|+|b+c|﹣|a+b|的结果为 ．
19．（2分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天．
20．（2分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
（1）表中第9行第7个数是 ；
（2）2020是表中第 行第 个数．
三、解答题（共50分）
21．（16分）计算
（1）（+11）+（﹣12）﹣（+18）；
（2）﹣1+5÷（﹣）×（﹣4）；
（3）﹣8×（﹣+﹣）÷；
（4）﹣43÷（﹣32）﹣[（﹣）3×（﹣3）2+（﹣）]．
22．（8分）化简
（1）5xy﹣2y2﹣3xy﹣4y2．
（2）2（2a﹣3b）﹣3（2b﹣3a）．
23．（10分）解方程
（1）3x﹣4＝2x+5；
（2）＝1．
24．（5分）先化简，再求值：求代数式7a2b﹣2（2a2b﹣3ab2）+（﹣4a2b+5ab2）的值，其中a＝2，b＝﹣．
25．（5分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）◆（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）◆（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，﹣3）◆（3，2）＝ ；
（2）若有理数对（﹣3，2x﹣1）◆（1，x+1）＝7，则x＝ ；
（3）当满足等式（﹣3，2x﹣1）◆（k，x+k）＝5+2k的x是整数时，求整数k的值．
26．（6分）在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离．如果数轴上两个点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为：AB＝|a﹣b|，这是绝对值的几何意义．已知如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．
（1）求线段AB的长；
（2）若点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1＝x﹣2的解，在数轴上是否存在点M，使MA+MB＝AB+BC？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由．
（3）若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，当点N在点A左侧的数轴上运动时，请直接判断AP﹣NQ的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．
四、B卷（满分20分）
27．（4分）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过m次翻转可使这5只杯子的杯口全部朝下，则m的最小值为 ．
（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为 ．
28．（6分）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为m﹣1，第16个数为2，第78个数为3﹣2m，则m的值为 ，第2021个数为 ．
7
m﹣1
29．（4分）天坛中的数学一瞥，天坛始建于明朝永乐十八年（1420年），明、清两代是帝王祭祀皇天、祈五谷丰登之场所．中和韶乐在中国古代的发生、发展、沉寂，经历了历代传承，随着对中国传统文化重新认识，中和韶乐逐渐复苏．自从2004年9月天坛神乐署修复完成，中和韶乐又一次展现在世人面前．中和韶乐主要是宫、商、角、徵、羽五声音阶的运用，在确定这五音的时候，中国古代最初由三分损益计算而来，从最初的一个音三分损一而得到第二个音，由第二个音三分益一得到第三个音，如此计算，得到宫商角徵羽五声音阶．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为81×（1﹣）＝54，能发出第三个基准音的乐器的长度为54×（1+）＝72…，（也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一）．那么第五个基准音的乐器的长度为 ．假设能发出第一个基准音的乐器的长度为a，那么能发出第四个基准音的乐器的长度是32，则a的值是 ．
30．（6分）阅读材料：
你知道“二维码”吗？它是一种编码，通过表示1和0的黑白小方块排列成图案传递信息．二维码广泛应用于我们生活，“扫一扫”成为人们的习惯动作．
你知道二维码究竟是怎样生成的吗？你想亲自制作一个二维码吗？首先来了解一个定义：定义符号“⊕”表示一种运算叫做“异或”运算，即当a＝b时，a⊕b＝0；当a≠b时，a⊕b＝1．
下面就让我们试着为“BHSF”制作一个二维码吧！
【步骤一】
查表可得字母“B”的八位二进制编码为01000010，“H”为01001000，“S”为01010011，“F”为01000110．
【步骤二】
将每个字母的编码按照一定的顺序排布在方格内，例如字母“S”的编码排布如图第一个表格．然后将编码排布与事先排布好0与1的表格（称为掩模）进行“方格一一对应”的“异或”运算（如图第三个表格），并将结果中1的位置填涂黑色，0的位置填涂白色（如图第四个表格）．
解决问题：
（1）请根据上面的定义将表格补充完整．
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
（2）仿照上面【步骤二】，完成“F”的编码排布、运算及二维码填涂．
“BHSF”二维码的其余部分已生成，你可以将获得的结果填涂在对应的空白位置．一个完整的二维码就大功告成啦，试着扫一扫它吧！
2020-2021学年北京四中七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2020年北京故宫迎来了600岁生日，系列展览与活动让故宫充分展示其深沉魅力．据不完全统计，今年“十一”双节期间故宫累计接待观众约为240000人次，将240000用科学记数法可表示为（ ）
A．24×104 B．2.4×105 C．0.24×105 D．0.24×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【解答】解：将240000用科学记数法可表示为2.4×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣5 D．5
【考点】倒数．菁优网版权所有
【解答】解：∵（﹣5）×（﹣）＝1，
∴﹣5的倒数是﹣．
故选：B．
【点评】本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．
3．（3分）下列各式结果为负数的是（ ）
A．﹣（﹣1） B．（﹣1）4 C．﹣|﹣1| D．|1﹣2|
【考点】正数和负数．菁优网版权所有
【解答】解：A、﹣（﹣1）＝1是正数，故A错误；
B、（﹣1）4＝1是正数，故B错误；
C、﹣|﹣1|＝﹣1是负数，故C正确；
D、|1﹣2|＝1，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，小于零的数是负数，化简各数是解题关键．
4．（3分）下面计算正确的是（ ）
A．3x+2x2＝5x B．2a2b﹣a2b＝1 C．﹣ab﹣ab＝0 D．﹣y2x+xy2＝0
【考点】合并同类项．菁优网版权所有
【解答】解：A．3x与2x2不是同类项，不能合并，此选项错误；
B．2a2b﹣a2b＝a2b，此选项错误；
C．﹣ab﹣ab＝﹣2ab，此选项错误；
D．﹣y2x+xy2＝0，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项，解题的关键是掌握同类项的定义和合并同类项法则．
5．（3分）下列各式去括号正确的是（ ）
A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c
B．a+（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d
C．a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d
D．2a﹣[2a﹣（﹣2a）]＝0
【考点】去括号与添括号．菁优网版权所有
【解答】解：A、a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a+b﹣c；
B、a+（b﹣c﹣d）＝a+b﹣c﹣d；
C、a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d；
D、2a﹣[2a﹣（﹣2a）]＝2a﹣（2a+2a）＝2a﹣2a﹣2a＝﹣2a；
故选：C．
【点评】本题考查去括号与添括号，解题的关键是去括号后括号内各项是否要变号．
6．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（ ）
A．a B．b C．c D．无法确定
【考点】实数大小比较；相反数；绝对值；实数与数轴．菁优网版权所有
【解答】解：根据数轴上点的位置及a，c互为相反数，得c＜a＜b，且|c|＝|a|＜|b|，
则绝对值最大的是b，
故选：B．
【点评】此题考查了实数大小比较，实数与数轴，相反数，绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
7．（3分）下列对使用四舍五入法得到的近似数描述正确的是（ ）
A．近似数5.1万精确到十分位
B．2.709的近似数是3
C．0.154精确到十分位为0.1
D．近似数1.31×105精确到千位
【考点】科学记数法与有效数字．菁优网版权所有
【解答】解：A．近似数5.1万精确到千位，此选项错误；
B．2.709精确到个位的近似数是3，此选项错误；
C．0.154精确到十分位为0.2，此选项错误；
D．近似数1.31×105精确到千位，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字．
8．（3分）如果|a|＝8，|b|＝5，且a+b＞0，那么a﹣b的值是（ ）
A．3或13 B．13或﹣13 C．3或﹣3 D．﹣3或﹣13
【考点】有理数的减法；绝对值；有理数的加法．菁优网版权所有
【解答】解：∵|a|＝8，|b|＝5，
∴a＝±8，b＝±5，
∵a+b＞0，
∴a＝8，b＝±5，
∴a﹣b＝8﹣5＝3，
或a﹣b＝8﹣（﹣5）＝8+5＝13．
故a﹣b的值是3或13．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，有理数的加法，熟练掌握运算法则和性质并确定出a、b的值是解题的关键．
9．（3分）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2
【考点】一元一次方程的定义．菁优网版权所有
【解答】解：由题意，得
|m|＝1且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
10．（3分）规定：f（x）＝|x﹣2|，g（y）＝|y+3|．
例如f（﹣4）＝|﹣4﹣2|，g（﹣4）＝|﹣4+3|．
下列结论中：
①若f（x）+g（y）＝0，则2x﹣3y＝13；
②若x＜﹣3，则f（x）+g（x）＝﹣1﹣2x；
③能使f（x）＝g（x）成立的x的值不存在；
④式子f（x﹣1）+g（x+1）的最小值是7．
其中正确的所有结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【考点】等式的性质；绝对值；代数式求值．菁优网版权所有
【解答】解：①若f（x）+g（y）＝0，即|x﹣2|+|y+3|＝0，
解得：x＝2，y＝﹣3，
则2x﹣3y＝4+9＝13，符合题意；
②若x＜﹣3，则f（x）+g（x）＝|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x﹣x﹣3＝﹣1﹣2x，符合题意；
③若f（x）＝g（x），则|x﹣2|＝|x+3|，即x﹣2＝x+3或x﹣2＝﹣x﹣3，
解得：x＝﹣0.5，即能使已知等式成立的x的值存在，不符合题意；
④式子f（x﹣1）+g（x+1）＝|x﹣3|+|x+4|的最小值是7，符合题意．
正确的所有结论是：①②④．
故选：B．
【点评】此题考查了函数值，以及绝对值，弄清题中的新规定是解本题的关键．
二、填空题（每小题2分，共20分）
11．（2分）如果水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降3m时，水位变化记作 ﹣3 m．
【考点】正数和负数．菁优网版权所有
【解答】解：∵水位升高3m时，水位变化记作+3m，
∴水位下降3m时，水位变化记作﹣3m．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
12．（2分）比较大小：﹣ ＞ ﹣．
【考点】有理数大小比较．菁优网版权所有
【解答】解：∵|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，
而＜，
∴﹣＞﹣．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小．
13．（2分）如图所示，大陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差是 9259.43 米．
【考点】有理数的减法．菁优网版权所有
【解答】解：8844.43﹣（﹣415）＝9259.43（米）．
答：两处高度相差是9259.43米．
故答案为：9259.43．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
14．（2分）若|x+7|+（y﹣6）2＝0，则（x+y）2021的值为 ﹣1 ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．菁优网版权所有
【解答】解：∵|x+7|+（y﹣6）2＝0，
∴x+7＝0，y﹣6＝0，
解得：x＝﹣7，y＝6，
∴（x+y）2021＝（﹣7+6）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
15．（2分）如图的框图表示解方程3x+32＝7﹣2x的流程，其中第3步的依据是 等式的基本性质2 ．
【考点】解一元一次方程．菁优网版权所有
【解答】解：根据框图中的解方程流程，得第3步的依据为等式的基本性质2．
故答案为：等式的基本性质2．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的依据是解本题的关键．
16．（2分）如图，若开始输入的x的值为正数，最后输出的结果为51，则满足条件的x的值为 10或或 ．
【考点】代数式求值．菁优网版权所有
【解答】解：根据题意得：5x+1＝51，
解得：x＝10，
可得5x+1＝10，
解得：x＝，
可得5x+1＝，
解得：x＝，
则所有满足题意x的值为10或或．
故答案为：10或或．
【点评】此题考查了代数式求值，能够看懂运算程序是解本题的关键．
17．（2分）甲乙丙三个商店都在销售同一种排球，而且每个球的标价都是25元．但三个店的促销方式不一样：甲店的促销方式是每买十送二，乙店的促销方式是优惠16%，丙店的优惠方式是买球每满100元可返现金15元．学校准备买60个这种排球．你认为到 甲 家商店买比较省钱，这时实际只需要付 1250 元．
【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有
【解答】解：由题意可得，
到甲店购买需要花费：25×50＝1250（元），
到乙店购买需要花费：25×60×（1﹣16%）＝1260（元），
到丙店购买需要花费：25×60﹣×15＝1500﹣225＝1275（元），
∵1250＜1260＜1275，
∴到甲店购买比较省钱，
故答案为：甲，1250．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
18．（2分）已知数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a+c|+|b+c|﹣|a+b|的结果为 2a ．
【考点】数轴；绝对值．菁优网版权所有
【解答】解：由数轴得，b＜a＜0＜c，且|b|＞|c|＞|a|，
所以a+c＞0，b+c＜0，a+b＜0，
所以原式＝a+c﹣b﹣c+a+b
＝2a．
故答案为：2a．
【点评】本题主要考查了数轴和绝对值，理解绝对值的性质是解答此题的关键．
19．（2分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 510 天．
【考点】用数字表示事件．菁优网版权所有
【解答】解：孩子自出生后的天数是1×73+3×72+2×7+6＝510，
故答案为：510．
【点评】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
20．（2分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
（1）表中第9行第7个数是 71 ；
（2）2020是表中第 45 行第 84 个数．
【考点】规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【解答】解：（1）由题意知第n行最后一数为n2，则第8行的最后一个数是64，
所以第9行第1个数是65，
所以第9行第7个数是71．
故答案为：71；
（2）由（1）知第n行的最后一数为n2，
则第一个数为：（n﹣1）2+1＝n2﹣2n+2，
第n行共有2n﹣1个数；
因为442＝1936，452＝2025，
2×45﹣1＝89，
所以第45行有89个数，最后一个数是2025，
所以2020在第45行，第84个数．
故答案为：45，84．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三、解答题（共50分）
21．（16分）计算
（1）（+11）+（﹣12）﹣（+18）；
（2）﹣1+5÷（﹣）×（﹣4）；
（3）﹣8×（﹣+﹣）÷；
（4）﹣43÷（﹣32）﹣[（﹣）3×（﹣3）2+（﹣）]．
【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有
【解答】解：（1）（+11）+（﹣12）﹣（+18）
＝11+（﹣12）+（﹣18）
＝﹣19；
（2）﹣1+5÷（﹣）×（﹣4）
＝﹣1+5×（﹣4）×（﹣4）
＝﹣1+80
＝79；
（3）﹣8×（﹣+﹣）÷
＝﹣8×（﹣+﹣）×6
＝（﹣8×6）×（﹣+﹣）
＝（﹣48）×（﹣+﹣）
＝﹣×（﹣48）+×（﹣48）﹣×（﹣48）
＝8+（﹣36）+4
＝﹣24；
（4）﹣43÷（﹣32）﹣[（﹣）3×（﹣3）2+（﹣）]
＝﹣64÷（﹣32）﹣[（﹣）×9+（﹣）]
＝2﹣[（﹣）+（﹣）]
＝2+
＝．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
22．（8分）化简
（1）5xy﹣2y2﹣3xy﹣4y2．
（2）2（2a﹣3b）﹣3（2b﹣3a）．
【考点】整式的加减．菁优网版权所有
【解答】解：（1）原式＝5xy﹣3xy﹣4y2﹣2y2
＝2xy﹣6y2．
（2）原式＝4a﹣6b﹣6b+9a
＝13a﹣12b．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
23．（10分）解方程
（1）3x﹣4＝2x+5；
（2）＝1．
【考点】解一元一次方程．菁优网版权所有
【解答】解：（1）方程移项得：3x﹣2x＝5+4，
合并得：x＝9；
（2）去分母得：2（2x﹣5）﹣3（3﹣x）＝12，
去括号得：4x﹣10﹣9+3x＝12，
移项合并得：7x＝31，
解得：x＝．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．
24．（5分）先化简，再求值：求代数式7a2b﹣2（2a2b﹣3ab2）+（﹣4a2b+5ab2）的值，其中a＝2，b＝﹣．
【考点】整式的加减—化简求值．菁优网版权所有
【解答】解：原式＝7a2b﹣（4a2b﹣6ab2）+（﹣4a2b+5ab2）
＝7a2b﹣4a2b+6ab2﹣4a2b+5ab2
＝﹣a2b+11ab2，
当a＝2，b＝﹣时，原式＝2+＝．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（5分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）◆（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）◆（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，﹣3）◆（3，2）＝ ﹣13 ；
（2）若有理数对（﹣3，2x﹣1）◆（1，x+1）＝7，则x＝ 1 ；
（3）当满足等式（﹣3，2x﹣1）◆（k，x+k）＝5+2k的x是整数时，求整数k的值．
【考点】解一元一次方程；有理数．菁优网版权所有
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝﹣3×3﹣2×2＝﹣9﹣4＝﹣13；
（2）根据题中的新定义化简得：（2x﹣1）+3（x+1）＝7，
去括号得：2x﹣1+3x+3＝7，
解得：x＝1；
（3）已知等式化简得：k（2x﹣1）+3（x+k）＝5+2k，
整理得：2kx﹣k+3x+3k＝5+2k，即（2k+3）x＝5，
解得：x＝，
由x为整数，得到2k+3＝±1或2k+3＝±5，
解得：k＝﹣1，﹣2，1，﹣4．
故答案为：（1）﹣13；（2）1．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数，弄清题中的新定义是解本题的关键．
26．（6分）在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离．如果数轴上两个点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为：AB＝|a﹣b|，这是绝对值的几何意义．已知如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．
（1）求线段AB的长；
（2）若点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1＝x﹣2的解，在数轴上是否存在点M，使MA+MB＝AB+BC？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由．
（3）若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，当点N在点A左侧的数轴上运动时，请直接判断AP﹣NQ的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．
【考点】一元一次方程的应用；数轴；绝对值．菁优网版权所有
【解答】解：（1）∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，
∴AB＝|﹣3﹣2|＝5．
（2）存在．
设M点对应的数为m，解方程x+1＝x﹣2，得x＝﹣6，
∴点C对应的数为﹣6，
∵MA+MB＝AB+BC，
∴|m+3|+|m﹣2|＝|﹣3﹣2|+|﹣6﹣2|，即，|m+3|+|m﹣2|＝13
①当m≤﹣3时，有﹣m﹣3+2﹣m＝13，解得m＝﹣7；
②当﹣3＜m≤2时，有m+3+2﹣m＝13，此方程无解；
③当2＜m时，有m+3+m﹣2＝13，解得m＝6；
综上，M点的对应数为﹣7或6．
（3）设点N对应的数为n，则NA＝﹣n﹣3，NB＝2﹣n，
∵若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，
∴NQ＝1﹣n，则点Q对应的数为n+1；NP＝﹣n﹣1，则P点对应的数为n﹣1；
∴AP＝﹣n﹣2，则AP﹣NQ＝﹣．
∴随着点N的移动，AP﹣NQ的值不变．
【点评】本题是数轴的一个综合题，涉及非负数性质，一元一次方程的应用，两点距离公式，利用绝对值的性质化简绝对值代数式是解题的难点与关键．
四、B卷（满分20分）
27．（4分）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过m次翻转可使这5只杯子的杯口全部朝下，则m的最小值为 3 ．
（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为 5 ．
【考点】奇数与偶数．菁优网版权所有
【解答】解：（1）给5只杯子从左往右①②③④⑤．
第一次翻①②③只杯子；
第二次翻②③④只杯子；
第三次翻②③⑤只杯子．
故m的最小值为3．
故答案为：3；
（2）11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，6只杯口朝上的茶杯，经过2次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，另外的5只杯子按照（1）的方法进行
则n＝2+3＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了奇数与偶数，以及学生动手操作的能力，在翻动时，注意按一定规律进行．
28．（6分）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为m﹣1，第16个数为2，第78个数为3﹣2m，则m的值为 ﹣4 ，第2021个数为 ﹣5 ．
7
m﹣1
【考点】整式的加减；有理数的加法．菁优网版权所有
【解答】解：∵任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15，
∴第5个数（5﹣4＝1）与第1个数相同，都为m﹣1；第16个数（16÷4＝4）与第4个数相同，都为2；第78个数（78÷4＝19…2）与第2个数相同，都为3﹣2m；
∴m﹣1+3﹣2m+7+2＝15，
解得m＝﹣4，
则m﹣1＝﹣4﹣1＝﹣5，3﹣2m＝11，
∵2021÷4＝505…1，
∴第2021个数是﹣5．
故答案为：﹣4；﹣5．
【点评】本题主要考查有理数的加法及数字的变化规律，解决此题的关键是根据题意，列出等式，求出字母的值，找出规律．
29．（4分）天坛中的数学一瞥，天坛始建于明朝永乐十八年（1420年），明、清两代是帝王祭祀皇天、祈五谷丰登之场所．中和韶乐在中国古代的发生、发展、沉寂，经历了历代传承，随着对中国传统文化重新认识，中和韶乐逐渐复苏．自从2004年9月天坛神乐署修复完成，中和韶乐又一次展现在世人面前．中和韶乐主要是宫、商、角、徵、羽五声音阶的运用，在确定这五音的时候，中国古代最初由三分损益计算而来，从最初的一个音三分损一而得到第二个音，由第二个音三分益一得到第三个音，如此计算，得到宫商角徵羽五声音阶．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为81×（1﹣）＝54，能发出第三个基准音的乐器的长度为54×（1+）＝72…，（也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一）．那么第五个基准音的乐器的长度为 64 ．假设能发出第一个基准音的乐器的长度为a，那么能发出第四个基准音的乐器的长度是32，则a的值是 54 ．
【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有
【解答】解：81×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）
＝81××××
＝64，
依题意有a×（1﹣）×（1+）×（1﹣）＝32，
解得a＝54．
故第五个基准音的乐器的长度为64，a的值是54．
故答案为：64，54．
【点评】考查了有理数的混合运算，关键是找到规律，正确列式计算即可求解．
30．（6分）阅读材料：
你知道“二维码”吗？它是一种编码，通过表示1和0的黑白小方块排列成图案传递信息．二维码广泛应用于我们生活，“扫一扫”成为人们的习惯动作．
你知道二维码究竟是怎样生成的吗？你想亲自制作一个二维码吗？首先来了解一个定义：定义符号“⊕”表示一种运算叫做“异或”运算，即当a＝b时，a⊕b＝0；当a≠b时，a⊕b＝1．
下面就让我们试着为“BHSF”制作一个二维码吧！
【步骤一】
查表可得字母“B”的八位二进制编码为01000010，“H”为01001000，“S”为01010011，“F”为01000110．
【步骤二】
将每个字母的编码按照一定的顺序排布在方格内，例如字母“S”的编码排布如图第一个表格．然后将编码排布与事先排布好0与1的表格（称为掩模）进行“方格一一对应”的“异或”运算（如图第三个表格），并将结果中1的位置填涂黑色，0的位置填涂白色（如图第四个表格）．
解决问题：
（1）请根据上面的定义将表格补充完整．
a
b
结果
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
（2）仿照上面【步骤二】，完成“F”的编码排布、运算及二维码填涂．
“BHSF”二维码的其余部分已生成，你可以将获得的结果填涂在对应的空白位置．一个完整的二维码就大功告成啦，试着扫一扫它吧！
【考点】规律型：图形的变化类；有理数的混合运算．菁优网版权所有
【解答】解：（1）根据“异或”运算的定义填写表格如下：
a
b
结果
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
（2）“F”的编码排布，运算及二维码填涂如下：
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/10/25 18:15:55；用户：13263371074；邮箱：13263371074；学号：25014878
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