北京市通州区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份北京市通州区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．如图所示，，则的度数为　　A． B． C． D．2．下列各坐标表示的点中，在函数的图象上的是　　A． B． C． D．3．如图，在中，点是上一点，交于点，，，则与的比是　　A． B． C． D．4．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的表达式为　　A． B． C． D．5．如图，已知，其中，，则　　A．2 B． C． D．46．已知，，是二次函数图象上的两点，那么，的大小关系是　　A． B． C． D．不能确定7．在物理课中同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一支点燃的螺烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间数一块钻有小孔章的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像（如图，这种现象就是小孔成像，在图2中，如果蜡烛火焰图1根到孔的距离为，火焰根的像到孔的距离为，蜡烛火焰的高度为，那么倒立的像的高度为　　A． B． C． D．8．如图，要在二次函数的图象上找一点，针对的不同取值，所找点的个数，有下列三种说法：①如果，那么点的个数为0；②如果，那么点的个数为1；③如果，那么点的个数为2．上述说法中正确的序号是　　A．① B．② C．③ D．②③二、填空题9．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，与轴的一个交点是，那么二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标是 　　．10．已知：，则　 　．11．已知点、点在抛物线上，且，那么的取值范围是　　．12．已知两个相似三角形的面积之比是，那么这两个三角形对应边的比是　 　．13．在平面直角坐标系中，已知点，点，如果二次函数的图象与线段有交点，那么的取值范围为 　　．14．二次函数，自变量与函数的对应值如下表．则当时，满足的范围是　　．1324215．如图，中，，，，是的中点，在边上确定点的位置．使得，那么的长为 　　．16．如图，一座悬索桥的桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离与相等，小强骑自行车从桥的一端沿直线匀速穿过桥面到达另一端，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面共需　　秒．三、解答题17．已知二次函数的图象经过，两点．（1）求和的值；（2）在坐标系中画出该二次函数的图象．18．如图，在，，是延长线上的一点，是上的一点，连接，．求证：．19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．（1）求、两点的坐标；（2）已知点在二次函数的图象上，且点和点到轴的距离相等，求点的坐标．20．如图，是的角平分线，在的延长线上有一点．满足．求证：．21．已知二次函数．（1）二次函数图象的对称轴为 　　，与轴的交点坐标为 　　．（2）当时，如果，是该二次函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．22．定义：如图①，如果点在的边上且满足，那么称点为的“理相点”，如图②，在中，，，，如果点是的“理想点”，连接．求的长．23．已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点．（1）求顶点的坐标；（2）求点的纵坐标（用含的代数式表示）；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，直接写出的取值范围．24．如图中，，，，点、分别在边、上，且．（1）求证：；（2）求线段长的取值范围．25．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧）．（1）求，两点的坐标；（2）已知点，，如果线段与二次函数的图象恰有一个公共点．结合函数图象，求的取值范围．26．如图，在中，，，过点作的垂线，垂足为，为线段上一动点（不与点，点重合），连接．以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与线段交于点．（1）求证：；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．27．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方3米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．（1）当运动员运动到离处的水平距离为4米时离水平线的高度为7米，求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员恰好落在小山坡的处？
2021-2022学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．如图所示，，则的度数为　　A． B． C． D．【分析】直接利用相似三角形的对应角相等，再结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：，，，．故选：．2．下列各坐标表示的点中，在函数的图象上的是　　A． B． C． D．【分析】将各选项的坐标代入函数解析式检验即可．【解答】解：当时，，点和点不在该函数图象上；当时，，点在该函数图象上，点不在该函数图象上；故选：．3．如图，在中，点是上一点，交于点，，，则与的比是　　A． B． C． D．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：，．故选：．4．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的表达式为　　A． B． C． D．【分析】直接利用二次函数的平移规律“上加下减”，进而得出答案．【解答】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的表达式为：．故选：．5．如图，已知，其中，，则　　A．2 B． C． D．4【分析】直接利用相似三角形的性质得出，进而得出答案．【解答】解：，，，，，．故选：．6．已知，，是二次函数图象上的两点，那么，的大小关系是　　A． B． C． D．不能确定【分析】将和分别代入函数解析式求得的值，然后比较大小．【解答】解：当时，，当时，，．故选：．7．在物理课中同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一支点燃的螺烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间数一块钻有小孔章的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像（如图，这种现象就是小孔成像，在图2中，如果蜡烛火焰图1根到孔的距离为，火焰根的像到孔的距离为，蜡烛火焰的高度为，那么倒立的像的高度为　　A． B． C． D．【分析】由知△，据此可得，解之即可得出答案．【解答】解：如图，，△，则，即，解得，故选：．8．如图，要在二次函数的图象上找一点，针对的不同取值，所找点的个数，有下列三种说法：①如果，那么点的个数为0；②如果，那么点的个数为1；③如果，那么点的个数为2．上述说法中正确的序号是　　A．① B．② C．③ D．②③【分析】把点的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．【解答】解：点在抛物线上，点，当时，，整理得，△，有两个不相等的值，点的个数为2，①错误；当时，，整理得，△，有两个相同的值，点的个数为1，②正确；当时，，整理得，△，点的个数为0，③错误；故正确的②，故选：．二、填空题9．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，与轴的一个交点是，那么二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标是 　　．【分析】找出点关于的对称点的坐标即可．【解答】解：抛物线与轴的一交点坐标为，点关于的对称点的坐标为．故答案为：．10．已知：，则　　．【分析】根据得出，再把它代入中，即可求出答案．【解答】解：，，则；故填：．11．已知点、点在抛物线上，且，那么的取值范围是　　．【分析】利用、坐标且和二次函数的性质即可判断．【解答】解：由已知抛物线为，对称轴为，，要使，则在时，随的增大而增大，，故的取值范围是：．12．已知两个相似三角形的面积之比是，那么这两个三角形对应边的比是　　．【分析】因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以这两个三角形的相似比是．【解答】解：两个相似三角形的面积比为，它们对应的相似比是．故答案为．13．在平面直角坐标系中，已知点，点，如果二次函数的图象与线段有交点，那么的取值范围为 　　．【分析】线段在第一象限，当开口向下时显然无交点；当开口向上时，开口越大越小，当经过点求出的最小值，当经过点求出的最大值．【解答】解：由题意可知：线段在第一象限，当时开口向下，显然的图象与线段没有交点，当开口向上时，由抛物线性质开口越大越小”可知：当经过点时，有最小值，此时，解出；当经过点时，有最大值，此时，解出．故的取值范围为：．故答案为：．14．二次函数，自变量与函数的对应值如下表．则当时，满足的范围是　　．13242【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可根据及时的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出时的取值范围．【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为直线，顶点为，函数有最大值4，抛物线开口向下，当时，取最小值，当时，，故答案为，．15．如图，中，，，，是的中点，在边上确定点的位置．使得，那么的长为 　　．【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：，是的中点，，当时，则，即，，故答案为：．16．如图，一座悬索桥的桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离与相等，小强骑自行车从桥的一端沿直线匀速穿过桥面到达另一端，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面共需　46　秒．【分析】由题意及抛物线的对称性，可求得抛物线的对称轴，从而可得小强通过整个桥面的一半所需要的时间，再乘以2即可得出答案．【解答】解：主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离与相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，的对称轴为直线，他通过整个桥面共需（秒．故答案为：46．三、解答题17．已知二次函数的图象经过，两点．（1）求和的值；（2）在坐标系中画出该二次函数的图象．【分析】（1）把两点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）把解析式配成顶点式，然后利用描点法画出二次函数图象．【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，，，解得：，，； （2），则抛物线的顶点坐标为，二次函数的图象经过，两点．图象经过，，两点．如图，18．如图，在，，是延长线上的一点，是上的一点，连接，．求证：．【分析】利用两角法即可判断出．【解答】证明：，，又，．19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．（1）求、两点的坐标；（2）已知点在二次函数的图象上，且点和点到轴的距离相等，求点的坐标．【分析】（1）把点坐标代入二次函数解析式求出的值，然后即可得到二次函数解析式；令，解关于的一元二次方程，即可得到、的坐标；（2）由点和点到轴的距离相等，可得点和点的纵坐标相等或互为相反数，代入二次函数的解析式即可求解．【解答】解：（1）把点代入得，，解得，所以，二次函数的解析式为；令，则，解得，，点在点的左侧，，；（2）点和点到轴的距离相等，点和点的纵坐标相等或互为相反数，点的纵坐标为5或当时，解得（舍去），，点的坐标为；当时，原方程无解．综上，点的坐标为．20．如图，是的角平分线，在的延长线上有一点．满足．求证：．【分析】由是的角平分线，得，由，得，则，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，则．【解答】证明：是的角平分线，，，，，，，，．21．已知二次函数．（1）二次函数图象的对称轴为 　　，与轴的交点坐标为 　　．（2）当时，如果，是该二次函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．【分析】（1）根据对称轴公式求对称轴，当时，，即可得到与轴的交点坐标；（2）将或分别代入二次函数解析式，解不等式即可得出的取值范围．【解答】解：（1），对称轴为，当时，，与轴的交点坐标为；故答案为：，．（2）当时，，，是该二次函数的图象上的两点，且，，化简整理得，，，实数的取值范围是．22．定义：如图①，如果点在的边上且满足，那么称点为的“理相点”，如图②，在中，，，，如果点是的“理想点”，连接．求的长．【分析】由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．【解答】解：①在上时，如图：是的“理想点”，或，当时，，，，即是边上的高，当时，同理可证，即是边上的高，在中，，，，，，，②，，有， “理想点” 不可能在边上，③在边上时，如图：是的“理想点”，，又，，，即，，综上所述，点是的“理想点”， 的长为或．23．已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点．（1）求顶点的坐标；（2）求点的纵坐标（用含的代数式表示）；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，直接写出的取值范围．【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）令，求得函数值即可求得；（3）结合图象，根据的符号与图象形状的关系列不等式求解．【解答】解：（1），顶点的坐标为；（2）令，则，点的纵坐标；（3）当时，如图1，当时，封闭区域内（不包含边界）只有2个整点，时，封闭区域内（不包含边界）只有2个整点；当时，如图2，当时，封闭区域内（不包含边界）只有2个整点，时，封闭区域内（不包含边界）只有2个整点；综上，当二次函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，的取值范围是或．24．如图中，，，，点、分别在边、上，且．（1）求证：；（2）求线段长的取值范围．【分析】（1）由，，得，则，变形为，而是和的公共角，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明；（2）先由，确定，，则，再由，确定当点与点重合时，，此时最大，也最大，即可根据相似三角形的对应边成比例求出此时的值为，即的最大值为，于是得到线段长的取值范围是．【解答】（1）证明：，，，，，，，．（2）点、分别在边、上，且，，，，，当点与点重合时，，此时最大，也最大，，，，线段长的取值范围是．25．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧）．（1）求，两点的坐标；（2）已知点，，如果线段与二次函数的图象恰有一个公共点．结合函数图象，求的取值范围．【分析】（1）令，解一元一次方程即可即可得到、的坐标；（2）根据点，，如果线段与二次函数的图象恰有一个公共点，结合函数图象，即可求的取值范围．【解答】解：（1）令，则，即，解得或，，；（3）二次函数的图象的对称轴为直线，图象过点，；当时，若线段与二次函数的图象恰有一个公共点，则，解得（不合题意，舍去）；当时，若线段与二次函数的图象恰有一个公共点，则，解得，综上所述，当时，线段与二次函数的图象恰有一个公共点．26．如图，在中，，，过点作的垂线，垂足为，为线段上一动点（不与点，点重合），连接．以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与线段交于点．（1）求证：；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．【分析】（1）根据旋转的性质得到，根据角的和差即可得到结论；（2）通过平行线分线段成比例即可证出为的中点．【解答】（1）证明：将线段逆时针旋转得到线段，，，，，即；（2）解：．证明：如图，连接，由（1）知，，在和中，，，，，，，，，，，，，．27．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方3米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．（1）当运动员运动到离处的水平距离为4米时离水平线的高度为7米，求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员恰好落在小山坡的处？【分析】（1）根据题意将点和代入求出、的值即可写出的函数解析式；（2）解方程组，求出的值即可．【解答】解：（1）由题意可知抛物线过点和，将其代入得：，解得：，抛物线的函数解析式为：；（2）联立方程组得：，消去并整理得：，解得，，点在第一象限，，答：当运动员运动的水平距离为12米时，运动员恰好落在小山坡的处．