2022-2023学年北京市人大附中八年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市人大附中八年级（上）期中数学试卷

一、选择题：（每小题3分，共30分）

1．2022年6月28日，北京市教委发布《义务教育体育与监考过程性考核管理办法》，以进一步加强中小学生日常体育锻炼和身体素质．在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（　　）

A．B．C． D．

2．七边形的内角和是（　　）

A．540° B．720° C．900° D．1080°

3．关于x的方程x﹣5＝﹣3a解为负数，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＞0 B．a＜0 C．a＞ D．a＜

4．如图，小健家的仿古家具有一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．将该三角形记为△ABC，若通过电话给玻璃店老板提供相关数据，则提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　）

A．AB，BC，CA B．∠B，BC，CA C．∠A，AB，CA D．∠A，∠B，CA

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为△ABC的角平分线，若△ABD中AB边上的高为5，则AC长为（　　）

A．15 B．12 C．10 D．8

6．我国民间流传这样一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人7两多7两，每人半斤少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银（注：古代1斤＝16两）．若设有x人，分y两银，则可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

7．如图，△ABC≌△ADE，且D在BC边上，∠EAC＝38°，则∠B的度数为（　　）

A．70° B．71° C．72° D．76°

8．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　）

A．AF＝BF B．∠AFD+∠FBC＝90° 

C．DF⊥AB D．∠BAF＝∠CAF

9．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），C（3，0），若△ABC恰为等腰直角三角形，则B点坐标不可能是（　　）

A．（6，2） B．（5，3） C．（，﹣） D．（﹣2，﹣1）

10．如图，对于△ABC，若存在点D，E，F分别在AB，BC，AC上，使得∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，则称△DEF为△ABC的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，错误的是（　　）

A．若△ABC的“反射三角形”存在，则△ABC必为锐角三角形 

B．等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形 

C．直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形 

D．等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形

二、填空题：（每空2分，共20分）

11．如图，已知∠ACD为△ABC的外角，∠ACD＝65°，∠B＝25°，那么∠A的度数为 　   　．

12．若是二元一次方程x+my＝3的一个解，则m的值为 　   　．

13．在平面直角坐标系中，若点（1，2）关于某条直线对称后得点（﹣1，2），则这条直线为 　   　．

14．小康同学用一根铁丝围三角形，将围成的三角形有两边长分别为3和4，则该三角形的第三边长c应满足 　   　．

15．同时满足不等式6x＞4x+9和不等式8x﹣5＜4x+20的x的整数值为 　   　．

16．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是 　   　．

17．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 　   　．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若∠A＝α，∠CPD＝β，当△PCD周长取到最小值时，α，β之间的数量关系是 　   　．

19．若BD是等腰△ABC一腰上的高，且∠ABD＝50°，则等腰△ABC的顶角的度数为 　   　．

20．如图，等边△ABC和等边△CDE中，B、C、D共线，且BC＝3CD，AD和BE相交于点F，下列四个结论中：

①△ACD≌△BCE；

②CF平分∠BFD；

③BF＝3DF；

④BF＝AF+FC．

所有正确结论的序号是：　   　．

三、解答题：（第21题8分，第22、24题每小题8分，第23、25、26题每小题8分，第27、28题每小题8分，共50分）.

21．解下列方程组：

（1）；

（2）．

22．解不等式5x+1≤3（x﹣1），并把解集在数轴上表示出来．

23．如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，∠B＝∠E，AC∥DF．求证：AC＝DF．

24．作图题：如图，已知直线l与点P，求作过点P的直线PQ，使PQ⊥l．

要求：（1）尺规作图，保留作图痕迹，下结论，不写作法；

（2）根据你的作法用一句话简单说明为什么PQ⊥l．

25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB上一个动点．

（1）已知∠A＝2∠BCD，求证：AD+AC＝2AB．

下面是两位同学分享的思路：

小快同学：从求证目标出发，倍长AB到E，即AE＝2AB，又AE＝AD+DE．则只需证DE＝AC．

小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将△BCD关于直线BC对称得到△BCF，则可证△ACF为等腰三角形．

请你选择一种思路，完成证明．

（2）已知AB+BD＝AC，∠ACD＝α，请直接写出∠A的大小（用含α式子表示）．

26．学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的杂志和小说共80本，计划用钱在750元到850元之间（包括750元和850元），那么14元一本的小说最少可以买多少本？最多可以买多少本？

27．等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为△ABC角平分线AM上一点，点E、F分别在边AB、AC上，∠EPF＝180°﹣α，且点A在∠EPF的内部，在EA上截EH＝FC．

（1）如图1，若点P与点M重合，且∠AEP＝90°．

①求证：PE＝PF；

②判断HC和AB的位置关系，并证明；

（2）若点P与线段AM两个端点均不重合，且BC＝BE+CF，请直接写出∠APC的大小（用含α的式子表示）．

28．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），将经过点（a，0）且垂直于x轴的直线记为直线x＝a．将经过点（0，b）且垂直于y轴的直线记为直线y＝b．对于点P给出如下定义，将点P先关于直线x＝a对称得到点P′，再将点P′关于直线y＝b对称得到点Q，称点Q为点P关于M的“对应点”．

已知△ABC顶点坐标为A（2，0），B（4，0），（3，﹣3）．

（1）如图1，若点M（1，1）．

①由材料，将点A（2，0）关于直线x＝1对称得到点（0，0），再将点（0，0）关于直线y＝1对称得到点（0，2），则点A（2，0）关于M的“对应点”为（0，2）．

请写出点B（4，0）关于M的“对应点”：　   　；

点C（3，﹣3）关于M的“对应点”：　   　；

②若点P1（﹣1，n）和点P2（﹣1，n+1）关于M的“对应点”分别为点Q1和点Q2，且线段Q1Q2与△ABC的边没有公共点，求n的取值范围；

（2）若点B关于M的“对应点”为点Q3，且以A、B、Q3为顶点的三角形恰与△AOC全等，请写出所有满足条件的点M的坐标：　   　．

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