初中数学第四章 基本平面图形4.1 线段、射线、直线随堂练习题

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阶段专项提分练六线段中点问题与线段中点有关的计算【典例1】(2021·丹东期中)如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．(1)若AC＝8 cm，CB＝6 cm，求线段MN的长；(2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？【解析】(1)∵M，N分别是AC、BC的中点，∴MC＝AC，CN＝BC，∵MN＝MC＋CN，AB＝AC＋BC，∴MN＝AB＝(AC＋BC)＝7 cm；(2)MN＝a，∵M，N分别是AC、BC的中点，∴MC＝AC，CN＝BC，∵MN＝MC＋CN，AB＝AC＋BC，∴MN＝AB＝(AC＋BC)＝a；结论：无论点C在线段上移动到哪里，MN始终长为AB的一半．【变式】(2021·北京期中)已知：点M是直线AB上的点，线段AB＝12，AM＝2，点N是线段MB的中点，画出图形并求线段MN的长．【解析】由于点M的位置不确定，所以需要分类讨论：①点M在点A左侧，如图1：∵AB＝12，AM＝2，∴MB＝AB＋AM＝12＋2＝14，∵N是MB的中点(已知)，∴MN＝MB(中点定义)，∵MB＝14，∴MN＝×14＝7；②点M在点A右侧，如图2：∵AB＝12，AM＝2，∴MB＝AB－AM＝12－2＝10，∵N是MB的中点(已知)，∴MN＝MB(中点定义)，∵MB＝10，∴MN＝×10＝5，综上所述，MN的长度为5或7.与线段分点有关的计算【典例2】(2021·哈尔滨期末)如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．(1)求线段AM的长度；(2)在CB上取一点N，使得CN∶NB＝2∶3.求MN的长．【解析】(1)线段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB－BC＝20－15＝5.又∵点M是AC的中点．∴AM＝AC＝×5＝，即线段AM的长度是.(2)∵BC＝15，CN∶NB＝2∶3，∴CN＝BC＝×15＝6.又∵点M是AC的中点，AC＝5，∴MC＝AC＝，∴MN＝MC＋NC＝，即MN的长度是.【变式1】直线上有A，B，C三点，点M是线段AB的中点，点N是线段BC的一个三等分点，如果AB＝6，BC＝12，求线段MN的长度．【解析】(1)点C在射线AB上，如：点M是线段AB的中点，点N是线段BC的三等分点，MB＝AB＝3，BN＝CB＝4，或BN＝BC＝8，MN＝BM＋BN＝3＋4＝7，或MN＝BM＋BN＝3＋8＝11；(2)点C在射线BA上，如：点M是线段AB的中点，点N是线段BC三等分点，MB＝AB＝3，BN＝CB＝4，或BN＝BC＝8，MN＝BN－BM＝4－3＝1，或MN＝BN－BM＝8－3＝5.【变式2】如图，点B、C在线段AD上，CD＝2AB＋3.(1)若点C是线段AD的中点，求BC－AB的值；(2)若BC＝AD，求BC－AB的值；(3)若线段AC上有一点P(不与点B重合)，AP＋AC＝DP，求BP的长．【解析】设AB＝x，BC＝y，则CD＝2x＋3.(1)∵C是AD中点，∴AC＝CD，∴x＋y＝2x＋3∴y－x＝3，即BC－AB＝3.(2)∵BC＝AD，即AB＋CD＝3BC，∴x＋2x＋3＝3y，∴y－x＝1，即BC－AB＝1.(3)设AP＝m，∵AP＋AC＝DP，∴m＋x＋y＝2x＋3＋x＋y－m，∴m－x＝，即BP＝m－x＝.【变式3】(1)如图：A，B，C，D四点在同一直线上．若AB＝CD.①比较线段的大小：AC______BD(填“＞”“＝”或“＜”)；②若BC＝AC，且AC＝12 cm，则AD的长为______cm；(2)若线段AD被点B、C分成了3∶4∶5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16 cm，求AD的长．【解析】(1)①∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.答案：＝②∵BC＝AC，且AC＝12 cm，∴BC＝×12＝9(cm)，∴AB＝CD＝AC－BC＝12－9＝3(cm)，∴AD＝AC＋CD＝12＋3＝15(cm).答案：15(2)①如图1所示，设每份为x，则AB＝3x，BC＝4x，CD＝5x，AD＝12x，∵M是AB的中点，点N是CD的中点，∴AM＝BM＝x，CN＝DN＝x，又∵MN＝16，∴x＋4x＋x＝16，解得，x＝2，∴AD＝12x＝24(cm)，②如图2所示，AC＝3x，CB＝4x，BD＝5x，∵M是AB的中点，点N是CD的中点，∴AM＝BM＝x，CN＝DN＝x，又∵MN＝16，∴12x－x－x＝16，解得，x＝4，∴AD＝12x＝48(cm)，所以AD的长为24 cm或48 cm. 线段上的动点问题【典例3】如图．A、B、C三点在数轴上，A表示的数为－10，B表示的数为14，点C在点A与点B之间，且AC＝BC.(1)求A、B两点间的距离；(2)求C点对应的数；(3)甲、乙分别从A、B两点同时相向运动，甲的速度是每秒1个单位长度，乙的速度是每秒2个单位长度，求相遇点D对应的数．【解析】(1)14－(－10)，＝14＋10，＝24；(2)设点C对应的数是x，则x－(－10)＝14－x，解得x＝2；(3)设相遇的时间是t秒，则t＋2t＝24，解得t＝8，所以，点D表示的数是－10＋8＝－2.【变式】已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12 cm，C，D两点分别从M，B同时出发以1 cm/s、2 cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)(1)若AM＝4 cm，当点C、D运动了2 s，此时AC＝______，DM＝______；(2)当点C，D运动了2 s，求AC＋MD的值．(3)若点C，D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝______．(4)在(3)的条件下，N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值．【解析】(1)根据题意知，CM＝2 cm，BD＝4 cm，∵AB＝12 cm，AM＝4 cm，∴BM＝8 cm，∴AC＝AM－CM＝2 cm，DM＝BM－BD＝4 cm.答案：2  cm　4 cm(2)当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm，∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm，∴AC＋MD＝AM－CM＋BM－BD＝AB－CM－BD＝12－2－4＝6(cm)；(3)根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD＋MD＝2(MC＋AC)，即MB＝2AM，∵AM＋BM＝AB，∴AM＋2AM＝AB，∴AM＝AB＝4.答案：4(4)①当点N在线段AB上时，如图1，∵AN－BN＝MN，又∵AN－AM＝MN，∴BN＝AM＝4，∴MN＝AB－AM－BN＝12－4－4＝4，∴＝＝；②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，∵AN－BN＝MN，又∵AN－BN＝AB∴MN＝AB＝12∴＝＝1；综上所述＝或1.线段条数的计数问题【典例4】如图，点C为线段AB上任意一点，若M为线段AC的中点，N为线段CB的中点．(1)图中有__10__条线段；(2)根据解决问题(1)的经验，直接回答如下问题：武广高铁连通湖北、湖南、广东三省，北起武汉站，南到广州站，中途共停靠12个车站．在这段路线上往返行驶的火车，需要印制__182__种火车票；(3)图中线段MN与AB的数量关系是__MN＝AB__．【解析】(1)图中线段有：4＋3＋2＋1＝10.(2)由题意：13＋12＋11＋…＋1＝91，91×2＝182，∴需要印制182种火车票；(3)图中线段MN＝AB.平面内直线相交所得交点与平面的计数问题【典例5】阅读下列材料并填空：(1)探究：平面上有n个点(n≥2)且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画＝1条直线，平面内有3个点时，一共可以画＝3条直线，平面上有4个点时，一共可以画＝6条直线，平面内有5个点时，一共可以画________条直线，…平面内有n个点时，一共可以画________条直线．(2)运用：某足球比赛中有22个球队进行单循环比赛(每两队之间必须比赛一场)，一共要进行多少场比赛？【解析】(1)平面内有5个点时，一共可以画条直线，平面内有n个点时，一共可以画条直线；(2)某足球比赛中有22个球队进行单循环比赛(每两队之间必须比赛一场)，一共要进行＝231场比赛．关闭Word文档返回原板块