2022-2023学年第一学期八年级数学期中复习冲刺卷(01)

这是一份2022-2023学年第一学期八年级数学期中复习冲刺卷(01)，共32页。
2022-2023学年第一学期八年级数学期中复习冲刺卷(01)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：__________
一．选择题（每小题2分，共20分）
1．(本题2分)（2020·江苏·南京第五初中八年级阶段练习）下列四个图案中，不是轴对称图形的是（   ）
A． B． C． D．
2．(本题2分)（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学八年级阶段练习）在，0，，﹣0.5，，3.161161116六个实数中，无理数有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(本题2分)（2022·江苏·八年级专题练习）用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（       ）
A．3.142 B．3.141 C．3.14 D．3.1
4．(本题2分)（2022·江苏·景山中学八年级阶段练习）下列各式中计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．(本题2分)（2022·江苏·八年级专题练习）若≈0.6694，≈1.442，则下列各式中正确的是（  ）
A． B． C． D．
6．(本题2分)（2021·江苏·西安交大苏州附中八年级阶段练习）已知点（a，3）和（2，b）关于x轴对称，则的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．
7．(本题2分)（2020·江苏·南京第五初中八年级阶段练习）我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（   ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
8．(本题2分)（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在中，，，，点E是边上一点．将沿直线折叠到，使点B与点F重合．当时，线段的长为（    ）．

A．3 B．2 C．4 D．1
9．(本题2分)（2023·江苏·南京市金陵汇文学校八年级阶段练习）如图，AE⊥AB且，BC⊥CD且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所成的图形的面积S是（    ）

A．50 B．60 C．64 D．80
10．(本题2分)（2021·江苏南通·八年级期中）如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（　　　）

A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
二．填空题（每小题3分，共24分）
11．(本题3分)（2022·江苏·八年级专题练习）计算：__．
12．(本题3分)（2022·江苏·东台市头灶镇六灶学校八年级期末）在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为________．
13．(本题3分)（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校八年级）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F． 若则___________．

14．(本题3分)（2022·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级阶段练习）已知△ABC的三边a，b，c满足，则△ABC的面积为___．
15．(本题3分)（2022·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，如果按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点处，那么DC＝__________cm．

16．(本题3分)（2022·江苏南京·八年级期末）如图，OB＝BA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A2021A2022＝1，∠OBA1＝∠OA1A2＝∠OA2A3＝∠OA3A4＝…＝∠OA2021A2022＝90°．则线段OB、OA1、OA2、OA3、OA4、…、OA2022中，其中长度为无理数的有______条．

17．(本题3分)（2022·江苏·徐州树德中学八年级阶段练习）如图，的平分线与BC的垂直平分线交于点D，于点E，，交AC的延长线于点F．若，则___________．

18．(本题3分)（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是______．

三．解答题（共56分）
19．(本题4分)（2022·江苏·八年级）计算：＋|1﹣|﹣．



20．(本题4分)（2022·江苏·八年级专题练习）求下列各式中的x：
(1)；
(2)．




21．(本题6分)（2021·江苏·常州市武进区星辰实验学校八年级阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）

(1)在平面直角坐标系中划出△ABC，则△ABC的面积是 ；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．


(本题6分)（2022·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级阶段练习）已知2a-1的算术平方根为3，3a+b-1的算术平方根为4，求a+2的平方根．




23．(本题6分)（2022·江苏·盐城枫叶双语学校八年级阶段练习）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．

(1)求证：；
(2)请判断、之间的关系，并证明．




24．(本题6分)（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）如果两个等边三角形和，连接和，证明：

(1)；
(2)；
(3)与夹角为．



25．(本题6分)（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F在AD上且AF=CF．

(1)求证：EF＝CF；
(2)若∠B＝45°，AD＝6，求CE2的值．







26．(本题6分)（2021·江苏·灌南县新知双语学校八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕所在的直线交轴正半轴于点，求点的坐标．








27．(本题6分)（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P为线段AB上一动点．

(1)如图1，点D、E分别在AC、BC上(点D不与点A重合)，若P运动到AB的中点，且PD⊥PE．
①求证：AD=CE．
②若AD=7，BE=1，试求△PDE的面积．
如图2，点F在BC上，且PC=PF，过点F作FH⊥AB，垂足为H，若AB=8，在点P运动的过程中，线段PH的长度是否发生变化？若不变，请求出PH的长度；若变化，请说明理由．


28．(本题6分)（2019·江苏·苏州中学八年级期中）如图1，中，于点D，且，
（1）证明：是等腰三角形；
（2）已知，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若的一边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

答案与解析
一．选择题（每小题2分，共20分）
1．(本题2分)（2020·江苏·南京第五初中八年级阶段练习）下列四个图案中，不是轴对称图形的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．(本题2分)（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学八年级阶段练习）在，0，，﹣0.5，，3.161161116六个实数中，无理数有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据无理数的意义，逐个数进行判断即可．
【详解】解：无理数是无限不循环小数，整数和分数都是有理数，因此无理数有、，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的定义；掌握好无理数的定义是本题的关键．
3．(本题2分)（2022·江苏·八年级专题练习）用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（       ）
A．3.142 B．3.141 C．3.14 D．3.1
【答案】A
【分析】把万分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】解：把3.14159精确到千分位约为3.142，
故选：A．
【点睛】本题考查了近似数,近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
4．(本题2分)（2022·江苏·景山中学八年级阶段练习）下列各式中计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义即可完成．
【详解】解：A、，故选项不正确，不符合题意；
B、，故选项正确，符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平方根的定义与性质，算术平方根与立方根的定义，掌握概念是解题关键．
5．(本题2分)（2022·江苏·八年级专题练习）若≈0.6694，≈1.442，则下列各式中正确的是（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据立方根小数点移动规律：被开方数小数点每移动三为，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位；300是把0.3的小数点向右移动了三位，只需将0.3的立方根的小数点向右移动一位即可．
【详解】∵≈0.6694，
∴，
故选： B
【点睛】本题主要考查了立方根小数点的移动规律，熟练地掌握“被开方数小数点每移动三为，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位”是解题的关键．
6．(本题2分)（2021·江苏·西安交大苏州附中八年级阶段练习）已知点（a，3）和（2，b）关于x轴对称，则的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．
【答案】B
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而结合有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵点（a，3）和（2，b）关于x轴对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
7．(本题2分)（2020·江苏·南京第五初中八年级阶段练习）我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（   ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1和图3可以验证勾股定理；根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理可以判断图2可以验证勾股定理．
【详解】解：图1和图3：∵，，
∴，
∴，
∴，故图1和图3都可以验证勾股定理；
图2：图形的总面积可以表示为：，
也可以表示为：，
∴，
∴．故图2可以验证勾股定理；
图4不可以验证勾股定理．
综上，图1、图2和图3可以验证勾股定理，共3个．
故选：C ．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，观察图形，利用两种方法表示出图形的面积是解题的关键．
8．(本题2分)（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在中，，，，点E是边上一点．将沿直线折叠到，使点B与点F重合．当时，线段的长为（    ）．

A．3 B．2 C．4 D．1
【答案】B
【分析】设与交于点H，由勾股定理得，根据三角形等面积知，设，，在中，根据勾股定理渴求的结果．
【详解】解：设与交于点H，

∵，，，
∴，
∴，即，
∴，
由折叠可知：，
∴HF=CF-CH=，
在△BCH中， =，
设，则=，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．
9．(本题2分)（2023·江苏·南京市金陵汇文学校八年级阶段练习）如图，AE⊥AB且，BC⊥CD且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所成的图形的面积S是（    ）

A．50 B．60 C．64 D．80
【答案】A
【分析】先证明，可得AG=EF=6，AF=BG=3，同理可得CG=DH=4，BG=CH=3，再根据图中实线所成的图形的面积是，即可求解．
【详解】解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，
∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，
∴∠FEA=∠BAG，
在△EFA和△AGB中
∵∠F=∠BGA，∠FEA=∠BAG，AE=AB，
∴，
∴AG=EF=6，AF=BG=3，
同理
∴CG=DH=4，BG=CH=3，
∴FH=3+6+4+3=16，
∴梯形EFHD的面积是，
∴图中实线所成的图形的面积是


=50．
故选：A
【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．
10．(本题2分)（2021·江苏南通·八年级期中）如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（　　　）

A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】D
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接AD，MA．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键．
二．填空题（每小题3分，共24分）
11．(本题3分)（2022·江苏·八年级专题练习）计算：__．
【答案】
【分析】直接根据立方根的概念判断即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(),那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根。
12．(本题3分)（2022·江苏·东台市头灶镇六灶学校八年级期末）在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为________．
【答案】（-2，1）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x,y）关于y轴的对称点的坐标是（-x,y）即可得到点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标．
【详解】解：点M（2，1）关于y轴的对称点的坐标是（-2，1），
故答案为：（-2，1）．
【点睛】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
13．(本题3分)（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校八年级）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F． 若则___________．

【答案】##80度
【分析】由在中，的垂直平分线分别交于E、F，易得，，又由，可求得的度数，继而求得答案．
【详解】解：∵在中，的垂直平分线分别交于E、F，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握整体思想的应用是解此题的关键．
14．(本题3分)（2022·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级阶段练习）已知△ABC的三边a，b，c满足，则△ABC的面积为___．
【答案】6
【分析】根据算术平方根、绝对值和偶次方的非负性得出，求出a、b和c的值，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得b=4，c=3，a=5，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴边c的对角，
∴△ABC的面积是．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值和偶次方的非负性、勾股定理的逆定理和三角形面积，能求出a、b和c的值是解决本题的关键．
15．(本题3分)（2022·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，如果按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点处，那么DC＝__________cm．

【答案】5
【分析】根据折叠是性质可知CD=，BC=，∠C=∠=90°，设DC=x，在△中，将三条边都表示出来，用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=cm，
∵△BCD沿BD折叠得到△，
∴CD=，BC=，∠C=∠=90°，
设CD=x，则=x，AD=AC-CD=8-x，=AB-=10-6=4cm，
在Rt△中，根据勾股定理得：，
，解得：x=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握折叠的性质，根据折叠得到对应边和对应角之间的关系，并根据勾股定理列出方程求解是解题的关键．
16．(本题3分)（2022·江苏南京·八年级期末）如图，OB＝BA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A2021A2022＝1，∠OBA1＝∠OA1A2＝∠OA2A3＝∠OA3A4＝…＝∠OA2021A2022＝90°．则线段OB、OA1、OA2、OA3、OA4、…、OA2022中，其中长度为无理数的有______条．

【答案】1979
【分析】先利用勾股定理求出OA1，OA2，OA3，进而发现规律，得到OA2022＝，然后估算出的取值范围，可得，，…这2023个数中，共有44个有理数，进而可得无理数的个数，问题得解．
【详解】解：∵OB＝BA1＝1，∠OBA1＝90°，
∴OA1＝，
同理可得：OA2＝，OA3＝，…，
∴OAn＝，
∴OA2022＝，
∵，即，
∴，，…这2023个数中，共有44个有理数，
∴无理数有2023－44＝1979个，
即线段OB、OA1、OA2、OA3、OA4、…、OA2022中，长度为无理数的有1979条，
故答案为：1979．
【点睛】本题考查了勾股定理，无理数的估算，实数的分类，根据勾股定理计算后得出规律是解题的关键．
17．(本题3分)（2022·江苏·徐州树德中学八年级阶段练习）如图，的平分线与BC的垂直平分线交于点D，于点E，，交AC的延长线于点F．若，则___________．

【答案】3
【分析】连接BD，CD，根据“AAS”证明，得出DE=DF，AE=AF，根据线段垂直平分线的性质得出BD=CD，根据“HL”证明，得出BE=CF，然后线段的和差得出，代入AB，AC的值即可求解．
【详解】解：连接BD，CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴，∠EAD=∠FAD，
在和中，
，
∴（AAS），
∴DE=DF，AE=AF，
∵D在BC的垂直平分线上，
∴BD=CD，
在和中，
，
∴（HL）
∴，
∵AE=AF，
∴，
∵AB=15，AC=9，
∴，
∴CF=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．证明是解题的关键．
18．(本题3分)（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是______．

【答案】3或或
【分析】分，，三种情况，分别作出图形，解直角三角形即可．
【详解】解：由折叠性质可得：
，，，
在中，
，，，
①如图，当时，

为直角三角形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
；
②如图，当时，

为直角三角形，
；
③当时，

为直角三角形，
，
为等边三角形，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
综上，或或，
故答案为：3或或．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是分类讨论，将图形作出．
三．解答题（共56分）
19．(本题4分)（2022·江苏·八年级）计算：＋|1﹣|﹣．
【答案】
【分析】直接利用算术平方根的性质，绝对值的性质，立方根的性质分别化简，进而计算得出答案．
【详解】解：原式＝3+﹣1﹣2
＝．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．(本题4分)（2022·江苏·八年级专题练习）求下列各式中的x：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)等式两边同时除以4，然后再根据平方根的定义开平方即可；
(2)移项，再根据立方根的定义开立方即可求出答案；
（1）解：
（2）解：
【点睛】本题主要考查了利用平方根及立方根的定义解方程，熟练掌握平方根及立方根的定义是关键．
21．(本题6分)（2021·江苏·常州市武进区星辰实验学校八年级阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）

(1)在平面直角坐标系中划出△ABC，则△ABC的面积是 ；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】(1)见解析，4；
(2)（−4，3）；
(3)（10，0）或（－6，0）．

【分析】（1）根据点的坐标，描点、连线即可得到△ABC，直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）根据关于y轴对称的点的性质得出答案；
（3）根据三角形的面积求出BP＝8，进而可得点P的坐标．
（1）
解：△ABC如图所示，△ABC的面积是：3×4−×1×2−×2×4−×2×3＝4，
故答案为：4；

（2）
解：∵点D与点C（4，3）关于y轴对称，
∴点D的坐标为：（−4，3）；
故答案为：（−4，3）；
（3）
解：∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2＋8＝10或2−8＝－6，
故点P坐标为：（10，0）或（－6，0）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形，网格中三角形面积求法以及关于y轴对称的点的性质，熟练掌握坐标与图形性质是解题关键．
22．(本题6分)（2022·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级阶段练习）已知2a-1的算术平方根为3，3a+b-1的算术平方根为4，求a+2的平方根．
【答案】a+2的平方根是
【分析】利用平方根及算术平方根列出式子，得到a的值，确定出a+2的值，即可求出平方根．
【详解】解：由题意得2a-1=9，3a+b-1=16，
解得：a=5，b=2，
则a+2=7，
∴a+2的平方根是．
【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，读懂题意并列出式子是解本题的关键．
23．(本题6分)（2022·江苏·盐城枫叶双语学校八年级阶段练习）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．

(1)求证：；
(2)请判断、之间的关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)，，证明见解析

【分析】（1）利用等量代换得到，再利用SAS即可证明三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，再利用等量代换，求出，即可得证．
（1）
证明：∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴．
（2）
，，
理由如下：
由（1）知，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．通过已知条件证明三角形全等是解题的关键．本题是一个手拉手全等模型，在平常做题的过程中要善于发现和总结，便于快速解题．
24．(本题6分)（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）如果两个等边三角形和，连接和，证明：

(1)；
(2)；
(3)与夹角为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）由等边三角形的性质可得，进而得到,最后由即可证明结论；
（2）由，则根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）延长交于，交于，由全等三角形的性质得 ，最后由三角形的外角性质即可证明结论．
（1）
证明：∵和是等边三角形，
∴
∴ 即 ，
在和中，

∴（）．
（2）
证明：由（1）已证
∴．
（3）
证明：如图：延长交于，交于，

由（1）已证，
∴，
∵，
∴，即与夹角为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质等知识点，根据等边三角形的性质证得是解题的关键．
25．(本题6分)（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F在AD上且AF=CF．

(1)求证：EF＝CF；
(2)若∠B＝45°，AD＝6，求CE2的值．
【答案】(1)见解析
(2)18

【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，根据等角对等边可得即是的中点，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，即可得证；
（2）连接CE，求得EF=AF=CF=3，结合等腰三角形的性质可求解∠EFC=90°，利用勾股定可求解CE的长．
（1）
解：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB
∴是直角三角形，
∵AF=CF．
∴
设,
∴
∵∠ACB＝90°，
∴，
∴
∴
∴
∴是的中点，
∵DE⊥AB
∴
∴；
（2）
解：如图，连接

∵AD＝6，
由（1）可得
∴∠FEA=∠FAE，∠FCA=∠FAC，
∵∠B＝45°，∠ACB＝90°，
∴°，
∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×45°=90°，
∴．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质，求出∠EFC=90°是（2）解题的关键．
26．(本题6分)（2021·江苏·灌南县新知双语学校八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕所在的直线交轴正半轴于点，求点的坐标．

【答案】
【分析】由折叠可知，，，，求出，则，，设，则，在中，由勾股定理得，则，求出，由此即可得到答案．
【详解】解：连接交BC延长线于D，
由折叠可知，，，
，，
∴，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，折叠的性质，熟悉折叠的性质是解题的关键．
27．(本题6分)（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P为线段AB上一动点．

(1)如图1，点D、E分别在AC、BC上(点D不与点A重合)，若P运动到AB的中点，且PD⊥PE．
①求证：AD=CE．
②若AD=7，BE=1，试求△PDE的面积．
(2)如图2，点F在BC上，且PC=PF，过点F作FH⊥AB，垂足为H，若AB=8，在点P运动的过程中，线段PH的长度是否发生变化？若不变，请求出PH的长度；若变化，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②；
(2)PH的值不变，PH=4．

【分析】（1）①如图1中，连接CP，证明△APD≌△CPE（ASA），可得结论；
②利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论；
（2）PH的值不变，PH=4．如图2中，作CQ⊥AB，垂足为Q，证明△CPQ≌△PFH（AAS），推出PH=CQ，可得结论．
（1）
①如图1中，连接CP，

∵CA=CB，∠ACB=90°，CP⊥AB，
∴AP=PB，∠PCE=∠OCA=∠A=45°，
∴CP=PA=PB，
∵∠APC=∠DPE=90°，
∴∠APD=∠CPE，
在△APD和△CPE中，
，
∴△APD≌△CPE（ASA），
∴AD=CE；
②如图1中，连接DE，

∵△APD≌△CPE，
∴PD=PE，
∵AC=CB=8，CE=AD=7，
∴DE2=CD2+CE2=12+72=50，
∴PE2+PD2=50，
∴PD=5，
∴；
（2）
PH的值不变，PH=4．
理由：如图2中，作CQ⊥AB，垂足为Q，

∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∴∠PCQ+∠QCB=∠FPH+∠B，
∵∠QCB=∠B=45°，
∴∠PCQ=∠FPH，
在△CPQ和∠PFH中，
，
∴△CPQ≌△PFH（AAS），
∴PH=CQ，
∵CA=CB，∠ACB=90°，CQ⊥AB，
∴AQ=BQ=4，
∴CQ=AB=4，
∴PH=4是定值．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．(本题6分)（2019·江苏·苏州中学八年级期中）如图1，中，于点D，且，
（1）证明：是等腰三角形；
（2）已知，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若的一边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）①t的值为2.5或3；②存在，t的值为4.5或5或
【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：设，，
则，
∵
∴
∴
∴是等腰三角形
（2）解：由（1）知，，，
∴，从而，
∴
则，，，．
由运动知，，，
①当时，
即，
∴；
当时，，
∴，
得：；
∴若得边与BC平行时，t的值为2.5或3
②存在，理由：
Ⅰ、当点M在BD上，即时，为钝角三角形，但；
Ⅱ、当时，点M运动到点D，不构成三角形
Ⅲ、当点M在DA上，即时，为等腰三角形，有3中可能．
∵点E是边AC的中点，
∴
当，点M运动到点A，
∴
当
如图，过点E作EF垂直AB于F，
∵，
∴，
在中，；
∵，
∴
在中，，
∴．
综上所述，符合要求的t的值为4.5或5或．

故答案为（1）见解析；（2）①t的值为2.5或3；②存在，t的值为4.5或5或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．