2022-2023学年第一学期八年级数学期中复习冲刺卷(02)

这是一份2022-2023学年第一学期八年级数学期中复习冲刺卷(02)，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期八年级数学期中复习冲刺卷(02)
一、单选题
1．改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　）
A．B． C． D．
2．下列说法中正确的是（    ）
A．9的立方根是3 B．算术平方根等于它本身的数一定是1
C．－2是4的平方根 D．的算术平方根是4
3．在，，，，，，，0.1010010001…等数中，无理数的个数（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（  ）

A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC
5．如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（   ）

A．24 B．21 C．18 D．16
6．△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．a2：b2：c2＝1：2：3
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B﹣∠C
7．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，则CD的长为（    ）

A． B．5 C．2 D．
8．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（　　）

A．21 B．18 C．15 D．13
9．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=6cm，如果点C是OB上一个动点,则PC的最小值为(   )

A．3 B． C．6 D．
10．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②F为DE中点；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（　　）

A．①③ B．①②③ C．①② D．①④

二、填空题
11．比较大小：______．（用“＞”、“＝”或“＜”填空）
12．一个正三角形的对称轴有______条．
13．如果，则_____.
14．如图，△ABC中，，，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=_________．

15．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在、点处，若得，则的度数为________°．

16．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.

17．如图，B、C、D在同一直线上，，，，则的面积为_______．

18．我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图，在中，是边上的中线，与的“极化值”就等于的值，可记为．解决问题：如图，在中，，是边上的中线，点N在上，且．已知，，则的面积________．


三、解答题
19．计算：
（1）；            （2）
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．

21．已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．求证：△ABF≌△CDE．

22．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．

（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'；
（2）若网格中最小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 ；
（3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．

（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数．
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．
24．如图，CD是△ABC的高，点D在AB边上，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．
⑴ 求AC，BC的长．
⑵ 判断△ABC的形状并加以说明．

25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．

（1）点F到△ABC的边_______和_______的距离相等．
（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．
26．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点．

（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；
（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于点A，EB交AC于点D，且AD＝AE．

（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，过E作EF⊥AC于点F．
①求证：AF＝CD；
②若BC＝6，AB＝10，则线段DE的长为_______．
28．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．

（1）求证：PC＝PD；
（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；
（3）是否存在点P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．


答案与解析
一、单选题
1．改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解析】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列说法中正确的是（    ）
A．9的立方根是3 B．算术平方根等于它本身的数一定是1
C．－2是4的平方根 D．的算术平方根是4
【答案】C
【解析】试题分析：利用立方根及平方根定义判断即可得到结果．
解：9 的立方根为 ，故A.错误；
算术平方根等于本身的数是0 和1 ，故B错误；
−2 是4 的平方根，故C正确；
＝4，4 的算术平方根为2 ，故D错误.
故选C.
3．在，，，，，，，0.1010010001…等数中，无理数的个数（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据无理数的概念进行判断即可．
【解析】解：由题意可知，，，为无理数
故选D．
【点睛】本题考查了无理数．解题的关键在于理解无理数的含义．
4．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（  ）

A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC
【答案】C
【解析】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选不符合题意；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．
故选C．
5．如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（   ）

A．24 B．21 C．18 D．16
【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AB＋BD＋DA＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝16cm，
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝16＋8＝24（cm），
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
6．△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．a2：b2：c2＝1：2：3
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B﹣∠C
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理逐项分析判断即可
【解析】A．∵b2＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a2：b2：c2＝1：2：3，
∴a2+b2＝c2，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
7．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，则CD的长为（    ）

A． B．5 C．2 D．
【答案】A
【分析】将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连接CE，DE，由旋转的性质知DC=EC、∠DCE=∠ACB=60°、BD=AE=6，即可得△DCE为等边三角形，根据∠ADC=30°得到∠ADE=90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：如图所示，将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连接CE，DE，

由旋转的性质知DC=EC，∠DCE=∠ACB=60°，BD=AE=6，
则△DCE为等边三角形，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=90°，
∴AD2+DE2=AE2，
∴42+DE2=62，
∴DE=CD=2．
故选：A．
【点睛】本题考查旋转变换，熟练掌握旋转变换的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（　　）

A．21 B．18 C．15 D．13
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答．
【解析】∵CD⊥AB，F为BC的中点，
∴
∵BE⊥AC，F为BC的中点，
∴
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=5+4+4=13.
故选D.
【点睛】直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.
9．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=6cm，如果点C是OB上一个动点,则PC的最小值为(   )

A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】过点P作PC′⊥OB于C′，先求出DP的长度，再根据角平分线的性质求得PC′，进而求得CP的长度．
【解析】过点P作PC′⊥OB于C′，如图所示：则PC′为PC的最小值，

∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠DOP=∠POC′=30°，
又∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴DM=DP，
又∵DM＝6，
∴PD= 6cm，
又∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC′⊥OB，
∴PC′=PD=6cm，
故选C．
【点睛】考查的是角平分线的性质和30度直角三角形的性质，解题关键是运用了角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
10．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②F为DE中点；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（　　）

A．①③ B．①②③ C．①② D．①④
【答案】A
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐项分析可得解．
【解析】∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①正确；
∵BD与CE无法判定相等，
∴DF与EF无法判定相等，
故②错误；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；
故③正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故④错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．

二、填空题
11．比较大小：______．（用“＞”、“＝”或“＜”填空）
【答案】
【分析】先计算利用可得从而可得答案.
【解析】解：
而


故答案为：
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握“作差法比较两个数的大小”是解本题的关键.
12．一个正三角形的对称轴有______条．
【答案】3
【分析】根据轴对称的概念和等边三角形的性质进行解答即可．
【解析】解：根据正三角形是轴对称图形，三条中线 所在的直线都是其对称轴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等边三角形的轴对称性，熟记等边三角形的轴对称性以及对称轴的概念是解题的关键．
13．如果，则_____.
【答案】-2
【解析】∵且，，
∴ ，解得： ，
∴.
点睛：（1）一个代数式的算术平方根、一个代数式的平方都是非负数；（2）两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0.
14．如图，△ABC中，，，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=_________．

【答案】6.5
【分析】由AC2+BC2=52+122=132=AB2，根据勾股定理的逆定理，
即△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，然后由CD是AB边上的中线求解即可．
【解析】解：在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
可得AC2+BC2=52+122=132=AB2，
即△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=6.5；
故答案为6.5．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形斜边上的中线，解决此题的关键是先求出△ABC是直角三角形．
15．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在、点处，若得，则的度数为________°．

【答案】125
【分析】由题意根据折叠的性质可得∠B′OG=∠BOG，再根据∠AOB′=70°，可得出∠B′OG的度数．
【解析】解：根据折叠的性质得：∠B′OG=∠BOG，
∵∠AOB′=70°，
∴∠BOB'=180°-∠AOB'=110°，
∴∠BOG=×110°=55°．
∵AB∥CD，
∴∠DGO+∠BOG=180°，
∴∠DGO=125°.
故答案为：125．
【点睛】本题考查平行线的性质和折叠的性质以及邻补角，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
16．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.

【答案】90º
【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与∠2的和为90°.
【解析】解：如图，根据方格纸的性质，
在△ABD和△CBE中
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠2=90°，
∴=90°.
故答案为：90°.

【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
17．如图，B、C、D在同一直线上，，，，则的面积为_______．

【答案】20
【分析】根据题意由“SAS”可证△ABC≌△CDE，得AC=CE，∠ACB=∠CED，再证∠ACE=90°，然后由勾股定理可求AC的长，进而利用三角形面积公式即可求解．
【解析】解：在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴AC=CE，∠ACB=∠CED，
∵∠CED+∠ECD=90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=90°，
∵∠B=90°，AB=2，BC=6，
∴，
∴CE=，
∴S△ACE=AC×CE=××=20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，证明△ABC≌△CDE是解题的关键．
18．我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图，在中，是边上的中线，与的“极化值”就等于的值，可记为．解决问题：如图，在中，，是边上的中线，点N在上，且．已知，，则的面积________．

【答案】6
【分析】取AN中点为D，连结BD，根据，得出，可求AD=DN=，根据等腰三角形性质是边上的中线，得出AO⊥BC，BO=CO，在Rt△BDO中，根据勾股定理，根据“极化值”，得出①，根据，得出，即②，利用加减消元法①+②得：，解方程得出，，可求BC=2BO=2即可．
【解析】解：取AN中点为D，连结BD，
∵，
∴，
∴AD=DN=，
∵，是边上的中线，
∴AO⊥BC，BO=CO，
在Rt△BDO中，，
∵，
∴①，
∵，
∴，即②，
①+②得：，
解得，，
∴BC=2BO=2，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查新定义“极化值”等腰三角形性质，勾股定理，三角形面积，加减消元解方程组，掌握新定义“极化值”等腰三角形性质，勾股定理，三角形面积，加减消元解方程组是解题关键．

三、解答题
19．计算：
（1）；            （2）
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）先算乘方和开方，再算加减法；
（2）先算零指数幂和负指数幂，利用二次根式的性质变形，再去绝对值，最后计算加减法．
【解析】解：（1）
=
=1；
（2）
=
=
=
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算、负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．

【答案】见解析
【分析】证明即可解决问题．
【解析】证明：，
，
，是角平分线，
，，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．求证：△ABF≌△CDE．

【答案】见解析.
【分析】由平行线的性质得∠B＝∠D，由BE=DF得出BF=DE，再根据AAS进行判定即可．
【解析】证明：∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
即BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．

（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'；
（2）若网格中最小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 ；
（3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'；
（2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC的面积；
（3）根据两点之间线段最短，作点A关于MN的对称点A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小．
【解析】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；

（2）△ABC的面积为：×3×2=3；
（3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P，
此时△PAC周长最小．
∴点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．

（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数．
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．
【答案】（1）∠DCB＝27°；（2）△ABC的周长＝26
【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案；
（2）根据DE垂直平分AC得到DA＝DC，EC＝EA＝5，根据△DCB的周长为16，通过线段代换即可求得△ABC的周长．
【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠ABC＝69°，
∵DE垂直平分AC，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝69°﹣42°＝27°，
（2）∵DE垂直平分AC，
∴AC＝2AE＝10，
∴AB＝AC＝10，
∵△DCB的周长＝CD+BD+BC
＝AD+BD+BC
＝AB+BC＝16，
BC＝16﹣AB＝16﹣10＝6，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝26．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，熟练掌握相关性质是解题关键．
24．如图，CD是△ABC的高，点D在AB边上，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．
⑴ 求AC，BC的长．
⑵ 判断△ABC的形状并加以说明．

【答案】（1）15；（2）△ABC是直角三角形.理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）利用勾股定理判断三角形的形状.
【解析】⑴ ∵ CD是△ABC的高    
∴ ∠ADC＝∠CDB＝90°
△ADC中，∠ADC＝90°， AD＝16，CD＝12  
∴   
∵ AC＞0       
∴ AC＝20   
△CDB中，∠CDB＝90°， BD＝9，CD＝12
∴
∵ CB＞0       
∴ CB＝15   
⑵ △ABC是直角三角形.
∵ AD＝16，BD＝9，
∴ ，
∵ AC=20，BC=15，
∴ ，
∴ ，
∴ △ABC是直角三角形
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及其逆定理的运用；熟练掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．

（1）点F到△ABC的边_______和_______的距离相等．
（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．
【答案】（1）AB，AC（或AC，AB）；（2）∠BFC＝90°，BC＝．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到∠CAD＝∠BAD，然后根据角平分线的性质定理可得点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；
（2）首先根据等腰三角形三线合一的性质得到AD垂直平分BC，然后根据垂直平分线的性质得到CF＝BF，然后由EG垂直平分AC，得到AF＝CF，进而得到AF＝CF＝BF＝3，根据等腰三角形等边对等角以及外角的性质得到∠CFD＝2∠CAD，∠BFD＝2∠BAD，即可求出∠BFC＝90°；在Rt△BFC中，根据勾股定理即可求出BC的长．
【解析】解：（1）∵AB＝AC，D是BC中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；
故答案为：AB和AC（或AC和AB）；
（2）∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD垂直平分BC，
∴CF＝BF，
∵EG垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴AF＝CF＝BF＝3，
∵AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴∠CFD＝∠FAC+∠FCA＝2∠CAD，
同理可得：∠BFD＝2∠BAD，
∴∠BFC＝2∠CAD+2∠BAD＝2∠BAC＝90°，
在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，
∴BC＝＝＝3．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线性质定理和垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线性质定理和垂直平分线的性质以及勾股定理．
26．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点．

（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；
（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．
【答案】（1）AP＝DE，理由见解析；（2）BD＝或
【分析】（1）连接AE，首先根据∠ACB＝∠ECD＝90°，得到∠ECA＝∠DCB，然后证明△BCD≌△ACE（SAS），根据全等三角形对应角相等得到∠EAC＝∠B＝45°，进一步得出∠EAD＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出AP＝DE；
（2）分两种情况讨论：当Q在线段AB上时和当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，根据题意得出CQ垂直平分DE，进而根据垂直平分线的性质得到EQ＝DQ，设BD＝AE＝x，在Rt△AEQ中根据勾股定理列方程求解即可；
【解析】解：（1）AP＝DE，理由：
连接AE，如图，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
∴∠EAC＝∠B＝45°．
∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．
又∵P为DE中点，
∴AP＝DE．
（2）情况（一），当Q在线段AB上时，连接AE，EQ，如图，

∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，
∴CP⊥DE．
即CQ垂直平分DE，
∴EQ＝DQ．
设BD＝AE＝x，EQ＝DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，
由（1）知：∠EAB＝90°，
∴EA2+AQ2＝EQ2．
∴x2+22＝（3﹣x）2，
解得x＝，即BD＝；
情况（二），当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，如图，

∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，
∴CP⊥DE．
即CQ垂直平分DE，
∴EQ＝DQ．
设BD＝AE＝x，
同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，
解得x＝．
综上：BD＝或．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用，垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于点A，EB交AC于点D，且AD＝AE．

（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，过E作EF⊥AC于点F．
①求证：AF＝CD；
②若BC＝6，AB＝10，则线段DE的长为_______．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②．
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ADE，然后根据等角的余角相等得到∠DBC＝∠ABE，即可证明BD平分∠ABC；
（2）①过D作DH⊥AB于H，首先根据角平分线的性质定理得到CD＝DH，然后根据同角的余角相等得到∠AEF＝∠DAH，利用AAS证明△ADH≌△EAF，根据全等三角形的性质得到AF＝DH，即可证明AF＝CD；
②首先根据勾股定理求出AC的长度，然后证明Rt△BCD≌Rt△BHD（HL），根据全等三角形对应边相等得到BH＝BC＝6，设AF＝CD＝x，在Rt△AEF中利用勾股定理列方程求出AF＝CD＝3，即可得到DF的长度，最后在Rt△EFD中利用勾股定理即可求出DE的长．
【解析】（1）证明：如图1，
∵AD＝AE，
∴∠E＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠E＝∠BDC，
∵EA⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠E+∠ABE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴BD平分∠ABC；
（2）①证明：如图2，过D作DH⊥AB于H，

∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DH，
∵EA⊥AB，EF⊥AC，
∴∠EAB＝∠AFE＝∠AHD＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝∠EAF+∠DAH＝90°，
∴∠AEF＝∠DAH，
在△ADH与△EAF中，
，
∴△ADH≌△EAF（AAS），
∴AF＝DH，
∴AF＝CD；
②解：∵BC＝6，AB＝10，∠C＝90°，
∴
∵CD＝DH，BD＝BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BC＝6，
∴，
∵△ADH≌△EAF，
∴EF＝AH＝4，
设AF＝CD＝x，
∴AE＝AD＝8﹣x，
∵EF⊥AC，
∴AE2＝AF2+EF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴AF＝CD＝3，
∴DF＝，
∴DE＝＝＝2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，勾股定理的运用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线以及熟练掌握以上各知识．
28．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．

（1）求证：PC＝PD；
（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；
（3）是否存在点P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）t＝1或或；（3）存在，△PAE是直角三角形时t＝或
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠PDC＝∠∠BCD，根据角平分线的定义可得∠PCD＝∠BCD，则∠PCD＝∠PDC，即可得到PC＝PD；
（2）分当BP＝BC＝4cm时，当PC＝BC＝4cm时，当PC＝PB时三种情况讨论求解即可；
（3）分当∠PAE＝90°时，当∠APE＝90°时，当∠AEP＝90°时，三种情况讨论求解即可．
【解析】解：（1）∵l∥BC，
∴∠PDC＝∠∠BCD，
∵CD平分∠BCP，
∴∠PCD＝∠BCD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴PC＝PD；
（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，，，
∴，

若△PBC是等腰三角形，存在以下三种情况：
①当BP＝BC＝4cm时，作PH⊥BC于H，
∵∠ACB＝90°，l∥BC，
∴∠ACH=∠CAP=90°，
∴四边形ACHP是矩形，
∴PH＝AC＝3cm，
由勾股定理
∴，
∴，即，
解得，
②当PC＝BC＝4cm时，
由勾股定理，即，
解得；
③当PC＝PB时，P在BC的垂直平分线上，
∴CH＝BC＝2cm，
∴同理可得AP＝CH＝2cm，
即2t＝2，
解得t＝1，
综上所述，当t＝1或或时，△PBC是等腰三角形；
（3）∵D关于射线CP的对称点是点E，
∴PD＝PE，∠ECP=∠DCP，
由（1）知，PD＝PC，
∴PC＝PE，
要使△PAE是直角三角形，则存在以下三种情况：
①当∠PAE＝90°时，

此时点C、A、E在一条直线上，且AE＝AC＝3cm，
∵CD平分∠BCP，
∴∠ECP=∠DCP=∠BCD，
∴∠ACP＝∠ACB＝30°，
∴，
∵，即，
∴即2t＝，
解得；
②当∠APE＝90°时，
∴∠EPD=90°
∵D、E关于直线CP对称，
∴∠EPF=∠DPF=45°，
∴∠APC=∠DPF=45°，
∵l∥BC，
∴∠CAP=180°-∠ACB=90°，
∴∠ACP=45°，
∴AP=AC=3cm，
∴，
∴；

③当∠AEP＝90°时，

在Rt△ACP中，PC＞AP，
在Rt△AEP中，AP＞PE，
∵PC＝PE＝PD，
故此情况不存在，
综上，△PAE是直角三角形时或．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．