2022-2023学年第一学期八年级数学期中复习冲刺卷(03)

这是一份2022-2023学年第一学期八年级数学期中复习冲刺卷(03)，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期八年级数学期中复习冲刺卷(03)
一、单选题
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．4，6，8 B．6，8，10 C．6，9，10 D．5，11，13
2．已知：△ABC≌△DEF，AB=DE,∠A=70°，∠E=30°，则∠F的度数为 （  ）
A．80°                                       B．70°                                       C．30°                                       D．100°
3．若等腰三角形中有两边的长分别为5和8，则这个三角形的周长为（　　）
A．18 B．21 C．18或21 D．21或16
4．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在（    ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
5．如图，在△ABC 和△DEF 中，AC=DF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）

A．∠A=∠D B．BE=CF C．∠ACB=∠DFE=90° D．∠B=∠DEF
6．如图，数轴上点A对应的数是-1，点C对应的数是-3，BC⊥AC，垂足为C，且BC=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A． B． C． D．
7．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是（ ）

A．16 B．32 C．34 D．64
8．如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积为24，则EC等于（　　）

A．2 B． C．4 D．
9．下列说法：①等腰三角形的两底角相等；②角的对称轴是它的角平分线；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；④全等三角形的对应边上的高相等；⑤在直角三角形中，如果有一条直角边长等于斜边长的一半．那么这条直角边所对的角等于30°.以上结论正确的个数（     ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△ABC中，AB＝13，BC=14，S△ABC=84，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A．15 B．12 C．10 D．9

二、填空题
11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．
12．的平方根是_____．
13．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是_____米．

14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，则顶角的度数是_____．
15．如图，等边△ABC中，AD是中线，点E是AC边上一点，AD＝AE，则∠EDC=_______°．

16．△ABC的三边分别为2、x、5，化简的结果为_______．
17．如图示，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝8，DE＝5，则△CDB的面积等于__．

18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC边上的中点，AD＝12，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_______．


三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）．
20．已知x＝，y＝，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
21．如图，点C、D在BE上，BC＝ED，AC＝AD，求证：AB＝AE．

22．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点（格点）上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）三角形ABC的面积为_______；
（3）顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出_______个．
23．如图，在ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CE交于点F．
（1）求∠DFE的度数；
（2）求证：EF＝DF．

24．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．

25．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．    
（1）求证：△ABE为等腰三角形;
（2）已知AC＝14，BD＝5，求AB的长．

26．已知为等腰直角三角形，，，

(1)如图1，若以为边在点C同侧作等边三角形，判断所在直线与线段的关系，并说明理由．
(2)如图2，将绕若点B旋转60°得，若，求的长．
27．阅读：我们已经学习了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通过无理数的学习，我们了解：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数x都无法使得x2＝﹣1成立．现在，我们设想引入一个新数i，使得i2＝﹣1成立，且这个新数i与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数b与i的相乘记作bi，任意实数a与bi相加记作a+bi．由此，我们将形如a+bi（a，b均为实数）的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．对于复数a+bi（a，b均为实数），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它是纯虚数．例如3+2i，，﹣，i都是虚数，它们的实部分别是3，，，0，虚部分别是2，，，，并且以上虚数中只有i是纯虚数．
阅读理解以上内容，解决下列问题：
（1）化简：﹣2i2＝ ；（﹣i）3＝ ．
（2）已知复数：m2﹣1+（m+1）i（m是实数）
①若该复数是实数，则实数m＝ ；
②若该复数是纯虚数，则实数m＝ ．
（3）已知等式：（x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求实数x，y的值．
28．【观察发现】
(1)如图1，且点在一条直线上，连接和相交于点P，则线段的数量关系是_，的度数是 ．(只要求写出结论，不必说出理由)

【深入探究1】
(2)如图2，，连接和 相交于点P，猜想线段与的数量关系，以及的度数．请说明理由

结论：
理由：
【深入探究2】
(3)如图3，且，连接为 中点，连接并延长交于K．
求证：；



答案与解析
一、单选题
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．4，6，8 B．6，8，10 C．6，9，10 D．5，11，13
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，即可完成解答．
【解析】A、，故不能组成直角三角形；
B、，故能组成直角三角形；
C、，故不能组成直角三角形；
D、，故不能组成直角三角形；
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握此定理是关键．
2．已知：△ABC≌△DEF，AB=DE,∠A=70°，∠E=30°，则∠F的度数为 （  ）
A．80°                                      B．70°                                      C．30°                                       D．100°
【答案】A
【分析】根据全等三角形对应角相等求出∠D=∠A，再利用三角形的内角和等于180°列式进行计算即可得解．
【解析】∵△ABC≌△DEF，AB=DE，∠A=70°，
∴∠D=∠A=70°，
在△DEF中，∠F=180°-∠D-∠E=180°-70°-30°=80°，
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出对应角是解题的关键．
3．若等腰三角形中有两边的长分别为5和8，则这个三角形的周长为（　　）
A．18 B．21 C．18或21 D．21或16
【答案】C
【分析】分5是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解析】解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、8，
能组成三角形，
周长=5+5+8=18，
5是底边长时，三角形的三边分别为5、8、8，
能组成三角形，
周长=5+8+8=21，
综上所述，这个等腰三角形的周长是18或21．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．
4．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在（    ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】B
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解析】解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了游戏的公平性与线段垂直平分线的性质的应用；将实际问题抽象成几何模型，加以解决是解题的关键．
5．如图，在△ABC 和△DEF 中，AC=DF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）

A．∠A=∠D B．BE=CF C．∠ACB=∠DFE=90° D．∠B=∠DEF
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
【解析】解：∵AC=DF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，故A不符合题意；
∴添加BE=CF，得出BC=EF，利用SSS证明△ABC≌△DEF，故B不符合题意；
∴添加∠ACB=∠DFE=90°，利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF，故C不符合题意；
添加∠B=∠DEF，不能证明△ABC≌△DEF，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
6．如图，数轴上点A对应的数是-1，点C对应的数是-3，BC⊥AC，垂足为C，且BC=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出AB的长，则AD=AB，就可以求出点D表示的数．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴点D表示的数是．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，用数轴表示实数，解题的关键是掌握用数轴上的点表示实数．
7．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是（ ）

A．16 B．32 C．34 D．64
【答案】C
【解析】解：如图：

根据题意得：EF2=25，FG2=9，
根据勾股定理得：EG2=25+9=34，
则以斜边为边长的正方形的面积为34．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是正确的计算．
8．如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积为24，则EC等于（　　）

A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】先根据三角形的面积公式求得BF的长，然后根据勾股定理可求得AF=10，由翻折的性质和矩形的性质可知BC=10,故此FC=2，最后在△EFC中，由勾股定理列方程求解即可.
【解析】∵S△ABF＝24，
∴AB•BF＝24，即×6•BF＝24．
解得：BF＝8，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AF＝＝＝10．
由翻折的性质可知：BC＝AD＝AF＝10，ED＝FE．
∴FC＝10﹣8＝2．
设DE＝x，则EC＝6﹣x．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝FC2+EC2，x2＝4+（6﹣x）2．
解得：x＝，
∴CE＝．
故选D．
【点睛】本题主要考查了翻折问题，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理是解题的关键.
9．下列说法：①等腰三角形的两底角相等；②角的对称轴是它的角平分线；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；④全等三角形的对应边上的高相等；⑤在直角三角形中，如果有一条直角边长等于斜边长的一半．那么这条直角边所对的角等于30°.以上结论正确的个数（     ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据直角三角形性质，等边对等角，全等三角形的性质定理，轴对称图形的概念判断即可．
【解析】解：等腰三角形的两底角相等，①正确；
角的对称轴是它的角平分线所在的直线，②错误；
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，③正确；
全等三角形的对应边上的高相等④正确；
在直角三角形中，如果有一条直角边长等于斜边长的一半．那么这条直角边所对的角等于30°，⑤正确；
故选D．
【点睛】本题考查的是直角三角形性质，全等三角形的性质，轴对称图形，掌握全等三角形的性质定理，轴对称图形的概念是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝13，BC=14，S△ABC=84，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A．15 B．12 C．10 D．9
【答案】A
【分析】如图，连接AD，作，垂足分别为，可证，；由，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值，，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值；，可得，可知当时，最小，最大，此时有，解得的值，进而求解的值，故可知的最大值．
【解析】解：如图，连接AD，作，垂足分别为

由题意知
在和中
∵
∴
∴
∵
∴
在中，由勾股定理得
∴
在中，由勾股定理得
∵
∴

∴当时，最小，最大
∴此时
解得
∴
∴的最大值为15
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于将线段和与面积联系求解．

二、填空题
11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【解析】解：由二次根式在实数范围内有意义可得：
，解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．的平方根是_____．
【答案】.
【分析】先求出的值，然后利用平方根定义计算即可得到结果．
【解析】解：∵，
∴3的平方根是，
故答案为．
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
13．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是_____米．

【答案】6．
【分析】建立直角三角形模型，利用含30°角的直角三角形的性质解题即可.
【解析】∵一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，

如图，可知：∠ACB＝90°，AC＝2米，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4米，
∴折断前高度为2+4＝6（米）．
故答案为6．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟知30°角所对的直角边是斜边的一半是解题关键.
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，则顶角的度数是_____．
【答案】20°或160°．
【分析】分两种情况作出图形讨论，利用三角形的内角和定理可得出答案.
【解析】①当为锐角三角形时，如图1，

∵∠ABD＝70°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∴三角形的顶角为20°；
②当为钝角三角形时，如图2，

∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°﹣70°＝20°，
∵∠BAD+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝160°
∴三角形的顶角为160°，
故答案为：20°或160°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，关键是要注意分类讨论，不要漏解.
15．如图，等边△ABC中，AD是中线，点E是AC边上一点，AD＝AE，则∠EDC=_______°．

【答案】
【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
【解析】解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED==75°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
16．△ABC的三边分别为2、x、5，化简的结果为_______．
【答案】
【分析】首先根据三角形的三边的关系求得x的范围，然后根据二次根式的性质进行化简．
【解析】解：∵2、x、5是三角形的三边，
∴3＜x＜7，
∴x-3＞0，x-7＜0，
∴原式=x-3+（7-x）=4．
故答案是：4．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键．
17．如图示，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝8，DE＝5，则△CDB的面积等于__．

【答案】.
【分析】根据AAS可以证明△ACD≌△CBE，则BE＝CD，CE＝AD，从而求解．
【解析】∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ECA＝90°，
∵AD⊥CE于D，
∴∠CAD+∠ECA＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
又∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE，
∴BE＝CD，CE＝AD＝8，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝8﹣5＝3，
∴S△CDB＝CD•BE＝×3×3＝．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC边上的中点，AD＝12，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_______．

【答案】
【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，根据勾股定理求出AD，再根据面积不变求出BH即可．
【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．

∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BM′+M′N′=BH，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=5，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
∴AD===12，
∵S△ABC=AC•BH=BC•AD，
∴13•BH=10×12，
解得：BH=，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，勾股定理，根据垂线段最短，确定BH是BM+MN的最小值解决问题的关键．

三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）﹣1； （2）
【分析】（1）化简立方根，算术平方根，零指数幂，然后再计算；
（2）先算乘方，然后算乘法，化简绝对值，最后算加减．
【解析】解：（1），
，
；
（2）
，
，
．
【点睛】题目主要考查实数的混合运算，包括立方根、算数平方根、乘方、绝对值、二次根式的运算等，熟练掌握运算法则是解题关键．
20．已知x＝，y＝，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
【答案】（1）2﹣2；（2）3﹣2
【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可；
（2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可．
【解析】解：（1）当x＝，y＝时，
原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（+）×（﹣）
＝2×（1﹣）
＝2﹣2；
（2）当x＝，y＝时，
原式＝（x﹣y）2
＝（﹣）2
＝（1﹣）2
＝1﹣2+2
＝3﹣2．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式与平方差公式的运用．
21．如图，点C、D在BE上，BC＝ED，AC＝AD，求证：AB＝AE．

【答案】见解析
【分析】由AC＝AD可得∠ACB＝∠ADE，再利用SAS证出△ABC≌△AED即可得出结论．
【解析】证明：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACB＝∠ADE，
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AB＝AE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点（格点）上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）三角形ABC的面积为_______；
（3）顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出_______个．
【答案】（1）见解析；（2）3；（3）4．
【分析】（1）根据轴对称的性质找出点A、B、C关于直线l的对称点A′，B′，C′，然后顺次连接即可；
（2）根据网格的性质用长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可求解；
（3）根据全等三角形的判定方法在网格中画出与△ABC全等的三角形求解即可．
【解析】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）△ABC的面积＝2×4﹣×4×1﹣×1×2﹣×2×2＝3；
故答案为3；
（3）如图，顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出4个；

故答案为4．
【点睛】本题考查的是作图−轴对称变换以及全等三角形的判定和性质，求三角形面积，熟练掌握轴对称的性质是解答此题的关键．
23．如图，在ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CE交于点F．
（1）求∠DFE的度数；
（2）求证：EF＝DF．

【答案】（1）120°；（2）见解析
【分析】（1）由BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，可推出∠DFE＝∠BFC＝120°；
（2）过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q，由BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，得FP＝FG＝FQ，再根据AAS证出△FEP≌△FDQ即可得出结论．
【解析】（1）解：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠CBF＝20°，∠BCF＝40°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝120°，
∴∠DFE＝∠BFC＝120°；
（2）证明：过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q，

∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴FP＝FG＝FQ，
∵∠ABC＝40°，∠BCF＝40°，
∴∠FEP＝∠ABC+∠BCF＝80°，
∵∠FBC＝20°，∠ACB＝80°，
∴∠FDQ＝180°﹣∠FBC﹣∠ACB＝80°，
∴∠FEP＝∠FDQ，
在△FEP与△FDQ中，
，
∴△FEP≌△FDQ（AAS），
∴EF＝DF．
【点睛】此题主要考查全等三角形与角平分线的性质综合，解题的关键是熟知角平分线上的点到角两边距离相等．
24．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．

【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，由此即可得出答案；
（2）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据垂线段最短即可得．
【解析】解：（1）在中，，
，
，
，
在中，，
，
答：供水点到喷泉需要铺设的管道总长为；
（2），
，
是直角三角形，且，
即，
由垂线段最短可知，即为所求的最短距离，
答：喷泉到小路的最短距离为．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短等知识点，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．    
（1）求证：△ABE为等腰三角形;
（2）已知AC＝14，BD＝5，求AB的长．

【答案】（1）见解析；（2）9
【分析】（1）由垂直的定义得到∠AFE＝∠AFB＝90°，由角平分线的定义得到∠EAF＝∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF＝∠ABF，得到AE＝AB，于是得到结论；
（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD＝ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF＝∠DBF，等量代换得到∠AED＝∠ABD，于是得到结论．
【解析】（1）证明：∵BE⊥AD，
∴∠AFE＝∠AFB＝90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠BAF，
又∵在△AEF和△ABF中
∠AFE＋∠EAF＋∠AEF＝180°，∠AFB＋∠BAF＋∠ABF＝180°
∴∠AEF＝∠ABF，
∴AE＝AB，
∴△ABE为等腰三角形；
（2）解：连接DE，

∵AE＝AB，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BE，
∴BD＝ED，
∴∠DEF＝∠DBF，
∵∠AEF＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ABD，
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C，
又∵△CED中，∠AED＝∠C＋∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，
∴EC＝ED，
∴CE＝BD．
∴AB＝AE＝AC−CE＝AC−BD＝14−5＝9．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．已知为等腰直角三角形，，，

(1)如图1，若以为边在点C同侧作等边三角形，判断所在直线与线段的关系，并说明理由．
(2)如图2，将绕若点B旋转60°得，若，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)

【分析】（1）延长DC交AB于点E，根据SSS证明，由全等三角形的性质得，由等边三角形“三线合一”即可证明；
（2）延长交于点M，连接，由勾股定理求出，根据旋转的性质得，，，，故可得是等边三角形，故，根据SSS证明，由全等三角形的性质得，根据等边三角形“三线合一”得，，由勾股定理求出，，由即可得出答案．
（1）
，理由如下：

如图，延长DC交AB于点E，
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）

延长交于点M，连接，
在中，，
∵绕若点B旋转得，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
27．阅读：我们已经学习了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通过无理数的学习，我们了解：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数x都无法使得x2＝﹣1成立．现在，我们设想引入一个新数i，使得i2＝﹣1成立，且这个新数i与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数b与i的相乘记作bi，任意实数a与bi相加记作a+bi．由此，我们将形如a+bi（a，b均为实数）的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．对于复数a+bi（a，b均为实数），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它是纯虚数．例如3+2i，，﹣，i都是虚数，它们的实部分别是3，，，0，虚部分别是2，，，，并且以上虚数中只有i是纯虚数．
阅读理解以上内容，解决下列问题：
（1）化简：﹣2i2＝ ；（﹣i）3＝ ．
（2）已知复数：m2﹣1+（m+1）i（m是实数）
①若该复数是实数，则实数m＝ ；
②若该复数是纯虚数，则实数m＝ ．
（3）已知等式：（x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求实数x，y的值．
【答案】（1）2，；（2）①；②1；（3）．
【分析】（1）利用化简各式即可得；
（2）①根据题中定义可得，解方程即可得；
②根据题中的新定义可得，，利用平方根解方程即可得；
（3）根据题中的新定义列出关于的方程组，解二元一次方程组即可得．
【解析】解：（1），
，
故答案为：2，；
（2）①若该复数是实数，则，
解得，
故答案为：；
②若该复数是纯虚数，则，
解得，
故答案为：1；
（3）由题意得：，
解得．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程、解二元一次方程组，理解题中的新定义是解题关键．
28．【观察发现】
(1)如图1，且点在一条直线上，连接和相交于点P，则线段的数量关系是_，的度数是 ．(只要求写出结论，不必说出理由)

【深入探究1】
(2)如图2，，连接和 相交于点P，猜想线段与的数量关系，以及的度数．请说明理由

结论：
理由：
【深入探究2】
(3)如图3，且，连接为 中点，连接并延长交于K．
求证：；

【答案】（1）相等，60°；（2）与相交构成的锐角的度数为60°；（3）证明见详解
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出；
（2）证明，由全等三角形的性质得出 则可得出结论；
（3）延长到R，使得，连接．只要证明，可得，由，推出，可得 ，即．
【解析】解：（1）∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
由三角形的外角性质，，
，
∴；
故答案为：相等，60°；
（2）与相交构成的锐角的度数为60°．

证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴ ，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）延长到R，使得，连接．

∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，即．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟记性质与判定方法是解题的关键．