2022-2023学年第一学期八年级数学期中复习冲刺卷(08)

这是一份2022-2023学年第一学期八年级数学期中复习冲刺卷(08)，共55页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期八年级数学期中复习冲刺卷(08)
一、单选题
1．下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（　）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB的长为（    ）．

A． B． C．10 D．
3．若的三边、、满足，则形状为（    ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（    ）

A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
5．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，若C点恰好落在DE上，且CE＝，CD＝，则AB等于（　　）

A．4 B． C． D．
6．如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（    ）

A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（　　）

A．2 B． C．4 D．6
8．如图，在中，，，，AD平分交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．
9．勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形）的面积记为，则的关系为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，O为正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①可由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4； ③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+2；⑤ ，其中正确的是（   ）

A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤

二、填空题
11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______．

12．如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，1~7号分别对应着七巧板的七块，如果编号5对应的面积等于，则由这幅七巧板拼得的“房子”中阴影部分的面积等于______．

13．如图，直角三角形纸片，，，，将其折叠，使点C落在斜边上的点，折痕为；再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．则的长________．

14．我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图，在中，是边上的中线，与的“极化值”就等于的值，可记为．解决问题：如图，在中，，是边上的中线，点N在上，且．已知，，则的面积________．

15．如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．

16．如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB＝AD，过点A作AE∥CD分别交BC、BD于点E、F，若3BD＝5AE，EF＝6，则线段AE的长 _____．

17．如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°．下列说法正确的是：__________．（填序号）①CD＝BE；②DC⊥BE；③连结DE，则有DE2＋BC2＝2BD2＋EC2；④FA平分∠DFE

18．如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，连接交边于点E，连接，若，，点为的中点，则线段的长为________．


三、解答题
19．如图1，在中，，，是的高，且．

（1）求的长；
（2）是边上的一点，作射线，分别过点，作于点，于点，如图2，若，求与的和．
20．（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．

（2）应用：如图（2），已知在中，，，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为，，则______.（请直接写出结果）．
（3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等．
21．重庆八中渝北校区前的同茂大道的路有一座小山，因工程开发需要爆破．小山北偏东方向，距小山米的处是同茂大道中央公园东公交站；小山北偏西方向，距小山米的处是同茂大道上麗山公交站．

（1）爆破时，在爆破点周围米范围有危险请问，为了安全，在爆破小山时需不需要暂时封闭同茂大道？请通过计算说明理由；
（2）点是同茂大道上一点（点不与点重合），，区域是规划中的公园，问：这个公园占地多少平方米？
22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）求的度数．
（2）海港受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？
23．如图，在中，过点A作，BE平分交AC于点E．
（1）如图1，已知，，，求BD的长；
（2）如图2，点F在线段BC上，连接EF、ED，若，，，求证：．

24．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．


(2)试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．
(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
25．在ABC中，，，点D在BC上（不与点B，C重合）．

(1)如图1，若ADC是直角三角形，
①当AD⊥BC时，求AD的长；
②当AD⊥AC时，求CD的长．
(2)如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且．
①若，求证：DBE≌ACD；
②若ADE是等腰三角形，求CD的长．
26．如图1，在中，，，．

(1)求证：；
(2)如图2，交于点，若，求证：，，三点共线；
(3)如图3，在（2）的条件下，若于，过点作于，，，求，的长度．
27．问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为___；位置关系为 ．
拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则 AE与 BD 之间的关系是否仍然成立?请说明理由．
拓展延伸：（3）如图3，已知AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=90°，连接AB、AE、AD，把线段 AB绕点A旋转，若AB=5，AC=3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．


28．在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是平面内一动点（不与A、C重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°至CE的位置．


(1)如图1，若D在△ABC的边AB上，AC＝2，则BE的最大值为________；
(2)如图2，若D在△ABC的边AB上，AD＝2，AE平分∠BAC，AE交BC于点P，则CP的长为_________；
(3)如图3，若D在△ABC的边AB上，取AE中点M，求证：CM＝BD
(4)若D是平面内任意一点（不与A、C重合），直线AD，BE交于点F，连接CF，请直接写出AF、BF、CF的数量关系________________________．


一、单选题
1．下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（　）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】在（1）（2）（3）中分别利用勾股定理及逆定理判断，在（4）中，先利用勾股定理求出斜边的长度，再利用直角三角形的面积公式（a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高）求出高即可．
【解析】解：（1）根据勾股定理的逆定理，若a2+c2=b2，则也为直角三角形，故错误；
（2）若是直角三角形，，利用勾股定理则a2+b2=c2，符合勾股定理，故正确；
（3）在中，若a2+b2=c2，则，符合勾股定理的逆定理，故正确；
（4）首先根据勾股定理计算其斜边是，则斜边上的高为，故正确．
综上所述，（2）（3）（4）正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，以及直角三角形面积求解公式，能够熟练运用直角三角形的勾股定理和勾股定理的逆定理是解答此题的关键．
2．如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB的长为（    ）．

A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】设，，在和 中，利用勾股定理可证得，在Rt△ABC中，利用即可求解．
【解析】设，，
在中，，①
在中，，②
①＋②，，
∴，
在Rt△ABC中，
，
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，借助中点的定义，灵活运用勾股定理是解答的关键．
3．若的三边、、满足，则形状为（    ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】把式子变形化简后判定即可.
【解析】，
，即，
，
或，即，
则为直角三角形或等腰三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解和勾股定理逆定理的应用，把所给等式进行正确变形是解答此题的关键.
4．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（    ）

A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
【答案】D
【分析】过作于，解直角三角形求出和，即可解决问题．
【解析】解：过作于，如图所示：

在中，，海里，
∴（海里），（海里），
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，若C点恰好落在DE上，且CE＝，CD＝，则AB等于（　　）

A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BE，先判断出∠BAE＝∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，再由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由此可得BE⊥CE，在Rt△BEC中，由勾股定理可得2AB2＝CD2+CE2，从而可求得AB的长．
【解析】如图，连接BE，

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE＝3，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，
即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴2AB2＝CD2+CE2＝（3）2+（）2＝20，
∴AB＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，关键是证得△ACD≌△ABE，得出BE⊥CE．
6．如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由折叠可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由点为边的中点，可求CD=，设DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理解方程即可．
【解析】解：∵将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，
∴△AEF≌△DEF，
∴AE=DE，
∵点为边的中点，
∴CD=，
设DE=x，CE=6-x，
在Rt△CDE中由勾股定理，
即，
解得．
故选择：C．
【点睛】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（　　）

A．2 B． C．4 D．6
【答案】D
【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝3，即可求解．
【解析】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，
∴ABa，ACb，BCc，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴2a2+2b2＝2c2，
∴a2+b2＝c2，
∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，
∴BG＝GH＝a，
∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，
∴（a+c）（c﹣a）＝9，
∴c2﹣a2＝18，
∴b2＝18，
∴b＝3，
∴ACb＝6，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．
8．如图，在中，，，，AD平分交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点到的垂线段长度．
【解析】解：，，，
，
在上取一点，使，
，，
，
，
，
则当点，，三点在一条直线且垂直时，的值最小，
，
，
，
的最小值为，
故选：C．

【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称，解决最短问题．
9．勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形）的面积记为，则的关系为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理得到a2＝c2+b2，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于大正方形的面积减去空白部面积，而空白部分面积是两个较小正方形面积和减去重叠部分（六边形）的面积即可．
【解析】解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，
由勾股定理得，a2＝c2+b2，
设最大正方形的面积为S5,较小正方形面积为S6，最小正方形面积为S7，
则S5= S6+ S7，
图2中空白部分面积为：S6+ S7-S4,
，
,
，
，
故选C
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．关键是弄清空白部分的面积如何用两小正方形的面积和重叠部分面积表示．
10．如图，O为正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①可由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4； ③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+2；⑤ ，其中正确的是（   ）

A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
【答案】B
【分析】根据旋转的性质，易证，故①正确；证明是等边三角形，故②说法正确；由勾股定理的逆定理可证得，结合等边三角形性质，有，故，③说法正确；由直角三角形和等边三角形的性质，可得，④说法错误；将线段OA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD，连接OD，过A作AE⊥CD交CD延长线于点E，根据判断④的方法，判断⑤说法正确．
【解析】解：∵将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴，，
∵正△ABC，
∴，，
∵，
∴，即，
在与中，
∵，
∴，
故可由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①说法正确，符合题意；
如图1，连接

∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴．
故点O与O′的距离为4，②说法正确，符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵．
故③说法正确，符合题意；
如图2，过作于点，

∵是等边三角形，，，
∴，
∴．
∵，，，
∴．
∵，，，
∴．
∴．
故④说法错误，不符合题意；
将线段OA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD，连接OD，过A作AE⊥CD交CD延长线于点E，

∵将线段OA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD，
∴，，
∵正△ABC，
∴，，
∵，
∴，即，
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴是等边三角形．
∵，
∴易求．
∵是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故⑤说法正确，符合题意；
综上，正确的说法有①②③⑤，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形判定，等边三角形性质以及勾股定理以及逆定理，综合运用以上知识是解题的关键．

二、填空题
11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______．

【答案】45°##45度
【分析】取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，证明∠AQB=90°，由勾股定理计算PQ=QB，进而得到△QPB为等腰直角三角形，∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解．
【解析】解：取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：

∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，
∴△APE≌△PQF(SAS),
∴∠PAB=∠QPF，
∵PF∥BE，
∴∠PBA=∠BPF，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，
又QA²=2²+4²=20，QB²=2²+1²=5，AB²=5²=25，
∴QA²+QB²=20+5=25=AB²，
∴△QAB为直角三角形，∠AQB=90°，
∵PQ²=2²+1²=5=QB²，
∴△PQB为等腰直角三角形，
∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．
12．如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，1~7号分别对应着七巧板的七块，如果编号5对应的面积等于，则由这幅七巧板拼得的“房子”中阴影部分的面积等于______．

【答案】50
【分析】根据编号5的面积可求出编号4的边长，进而求出编号7的斜边长，即可求大正方形的面积，根据面积相等即可得出“房子”的面积．
【解析】解：∵编号5对应的面积等于5cm2，
∴编号5的直角边为cm，
∴编号4的边长cm，
∴编号7的直角边是cm，斜边是cm，
∴大正方形的边长为cm，
∵“房子”是由七巧板拼成的，
∴“房子”的面积等于大正方形的面积，即cm2，
∵由图知编号3的面积与编号5的面积相等为cm2，编号7的直角三角形面积为cm2，
∴“房子”的空白部分面积为编号3的面积+编号5的面积+编号7的面积为cm2，
阴影部分面积为“房子”的面积空白部分面积，即cm2，
故答案为：50．
【点睛】本题是一道趣味性探索题，结合我国传统玩具七巧板，用七巧板来拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力，熟练掌握勾股定理求直角三角形边长是解决问题的关键．
13．如图，直角三角形纸片，，，，将其折叠，使点C落在斜边上的点，折痕为；再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．则的长________．

【答案】1
【分析】设CD=x，根据，，，利用勾股定理BC=，DB=BC-CD=4-x，根据折叠，AC=AC′=3，CD=C′D=x，BD=B′D，求出C′B=AB-AC′=5-3=2，在Rt△DC′B中，根据勾股定理列方程，解得：即可．
【解析】解：设CD=x,
∵，，，
∴BC=，
∴DB=BC-CD=4-x，
根据折叠，AC=AC′=3，CD=C′D=x，BD=B′D，
∴C′B=AB-AC′=5-3=2，
在Rt△DC′B中，根据勾股定理即，
解得：，
∴BD=4-，
∴，
故答案为1．
【点睛】本题考查折叠性质，勾股定理，一元一次方程，线段的和差计算，掌握折叠性质，勾股定理，一元一次方程，线段的和差计算是解题关键．
14．我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图，在中，是边上的中线，与的“极化值”就等于的值，可记为．解决问题：如图，在中，，是边上的中线，点N在上，且．已知，，则的面积________．

【答案】6
【分析】取AN中点为D，连结BD，根据，得出，可求AD=DN=，根据等腰三角形性质是边上的中线，得出AO⊥BC，BO=CO，在Rt△BDO中，根据勾股定理，根据“极化值”，得出①，根据，得出，即②，利用加减消元法①+②得：，解方程得出，，可求BC=2BO=2即可．
【解析】解：取AN中点为D，连结BD，
∵，
∴，
∴AD=DN=，
∵，是边上的中线，
∴AO⊥BC，BO=CO，
在Rt△BDO中，，
∵，
∴①，
∵，
∴，即②，
①+②得：，
解得，，
∴BC=2BO=2，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查新定义“极化值”等腰三角形性质，勾股定理，三角形面积，加减消元解方程组，掌握新定义“极化值”等腰三角形性质，勾股定理，三角形面积，加减消元解方程组是解题关键．
15．如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．

【答案】150°
【分析】如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．
【解析】解：连接PP′，
∵△PAC≌△P′AB，
∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6；
∵PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故答案为：150°．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．
16．如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB＝AD，过点A作AE∥CD分别交BC、BD于点E、F，若3BD＝5AE，EF＝6，则线段AE的长 _____．

【答案】9
【分析】连接AC交BD于点O，可得AC是BD的垂直平分线，设BD=5x，则AE=3x，求出OF=OB-BF=x-6，AF=AE-EF=3x-6，证明△BOE是等边三角形，得，利用AF=2OF列出方程求出x的值，进而可得AE的长．
【解析】解：如图，连接AC交BD于点O，

∵3BD=5AE，
∴，
设BD=5x，则AE=3x，
∵△BCD是等边三角形，
∴BC=CD=BD=5x，∠DCB=∠DBC=60°，
∵AB=AD，BC=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴OB=OD=x，OC平分∠BCD，
∴∠DCO=∠DCB=30°，
∵AE∥CD，
∴∠DCO=30°，
∴，
∵AE∥CD，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∴∠AEB=∠FBE=∠BFE=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=BF=EF=6，
∴OF=OB-BF=x-6，AF=AE-EF=3x-6，
∵
∴
∴
∴
解得x=3，
∴AE=AF+EF=3x-6+6=3x=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是得到AF=2OF列出方程求解．
17．如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°．下列说法正确的是：__________．（填序号）①CD＝BE；②DC⊥BE；③连结DE，则有DE2＋BC2＝2BD2＋EC2；④FA平分∠DFE

【答案】①②④
【分析】①由条件可证明△ADC≌△ABE，可得到CD=BE；
②设BE和AC交于点R，可知∠AEB=∠ACD，结合对顶角和三角形内角和定理，可得到∠EFC=90；
③由勾股定理可得DE2+BC2=BD2+CE2；
④分别过A作AS⊥DC，AG⊥BE，由①全等可证得AS=AG，根据角平分线的判定可得到FA平分∠ DFE．

【解析】解：①∵△ABD和△ACE为等腰直角三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，AD=AB，AC=AE，
∴（SAS），
∴CD=BE，
故①符合题意；
②设BE交AC于点R，如图，

由（1）可知∠AEB=∠ACD，且∠ARE=∠FRC，
∴∠AER+∠ARE=∠FCR+∠FRC，
∴∠EFC=∠EAR=90，
即DC⊥BE，
故②符合题意；
③∵DC⊥BE，
∴DF2+EF2=DE2，BF2+CF2=BC2，
∴DF2+EF2+BF2+CF2=DE2+BC2，且DF2+BF2=BD2，CF2+EF2=CE2，
∴DE2+BC2=BD2+CE2，
故③不符合题意．
④证明：如图2，分别过A作AS⊥DC，AG⊥BE，

由（1）可知∠ADS=∠ABG，且AD=AB，∠ASD=∠AGB，
∴ADS≌ABG（AAS），
∴AS=AG，且AS⊥DC，AG⊥BE，
∴FA平分∠DFE，
故④符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，能利用图形性质找到边与边之间的关系是本题的关键．
18．如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，连接交边于点E，连接，若，，点为的中点，则线段的长为________．

【答案】##2.25
【分析】连接，勾股定理求得，进而证明，设，根据,以及三边关系建立方程组，解方程组求解即可．
【解析】解：如图，连接，

折叠
，，
四边形是长方形，，，
,，
设
则
是的中点，

在中，
在中，

即
解得
,
又∵





设
在中

即①
又
②
由①可得③
将②代入③得④
②-④得
解得
即

故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，因式分解，三角形全等的性质与判定，解二元一次方程组，掌握折叠的性质是解题的关键．

三、解答题
19．如图1，在中，，，是的高，且．

（1）求的长；
（2）是边上的一点，作射线，分别过点，作于点，于点，如图2，若，求与的和．
【答案】（1）3；（2）．
【分析】（1）根据勾股定理可求AD，再根据勾股定理可求CD，根据BC=BD+CD即可求解；
（2）根据三角形面积公式可求AF与CG的和．
【解析】（1）在Rt△ABD中，ADB=90，由勾股定理得：
AD=，
在Rt△ACD中，ADC=90，由勾股定理得：
CD=，
∴BC=BD+CD=1+2=3，
∴BC的长为3；

（2）∵AF⊥BE，CG⊥BE，BE=，
∴，
=，
=，
而=，
∴=，
即AF与 CG的和为．

【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积法的应用，正确运用勾股定理是解题的关键．
20．（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．

（2）应用：如图（2），已知在中，，，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为，，则______.（请直接写出结果）．
（3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）O应建在离C点52.5千米处．
【分析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可；
（2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积；
（3）设CO=xkm，则OD=（80-x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分别表示出AO和BO的长，根据AO=BO列出方程，求解即可．
【解析】（1）由面积相等可得，
∴，
∴，
∴．
（2），，
∴．
故答案为：
（3）设千米，则千米．
∵到A，B两个城市的距离相等，
∴，即，
由勾股定理，得，
解得．
即O应建在离C点52.5千米处．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解是解题的关键．
21．重庆八中渝北校区前的同茂大道的路有一座小山，因工程开发需要爆破．小山北偏东方向，距小山米的处是同茂大道中央公园东公交站；小山北偏西方向，距小山米的处是同茂大道上麗山公交站．

（1）爆破时，在爆破点周围米范围有危险请问，为了安全，在爆破小山时需不需要暂时封闭同茂大道？请通过计算说明理由；
（2）点是同茂大道上一点（点不与点重合），，区域是规划中的公园，问：这个公园占地多少平方米？
【答案】（1）见解析；（2）67200平方米．
【分析】（1）由题意得到∠CAK=74°，∠BAK=16°，AB=600，AC=800，求得∠CAB=90°，BC==1000米，过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积列方程即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BH==360，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：（1）在爆破小山时需不需要暂时封闭同茂大道BC；
理由：由题意得，∠CAK=74°，∠BAK=16°，AB=600，AC=800，
∴∠CAB=90°，BC==1000米，
过A作AH⊥BC于H，

∴S△ABC=BC•AH=AC•AB，
∴AH==480米＞400米，
∴在爆破小山时需不需要暂时封闭同茂大道BC；
（2）∵AD=AB，AH⊥BD，
∴BH==360，
∴CD=1000-2×360=280，
∴S△ACD=×280×480=67200m2，
答：这个公园占地67200平方米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）求的度数．
（2）海港受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）；（2）海港受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为小时．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解析】（1），，，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°；
（2）海港受台风影响，
过点作，

是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响．
（3）当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
23．如图，在中，过点A作，BE平分交AC于点E．
（1）如图1，已知，，，求BD的长；
（2）如图2，点F在线段BC上，连接EF、ED，若，，，求证：．

【答案】（1）BD=5；（2）证明见解析
【分析】（1）利用勾股定理运算即可；
（2）利用角平分线的性质可得到，证出得到，，再通过角的等量代换证出，取的中点，连接，即可证出，从而得到结论．
【解析】解：（1）∵
∴
∴
∴
（2）∵平分
∴
又∵，
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
取的中点，连接，如图2所示：

则
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质及判定等，合理做出辅助线灵活证明全等是解题的关键．
24．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．


(2)试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．
(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【解析】（1）S梯形ABCD=，S梯形ABCD=
∴a2＋ab＋b2=2×ab＋c2
即a2＋b2=c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为=5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h，
∴h＝  
故答案为；
（3）∵图形面积为：（a−2b）2＝a2−4ab＋4b2，
∴边长为a−2b，
由此可画出的图形如下：

【点睛】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
25．在ABC中，，，点D在BC上（不与点B，C重合）．

(1)如图1，若ADC是直角三角形，
①当AD⊥BC时，求AD的长；
②当AD⊥AC时，求CD的长．
(2)如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且．
①若，求证：DBE≌ACD；
②若ADE是等腰三角形，求CD的长．
【答案】(1)①6；②
(2)①见解析；②或

【分析】（1）①过A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可知，再由勾股定理计算AD的长即可；②过点A作AD⊥AC交BC于点D，过点A作AH⊥BC交BC于点H，在和中借助勾股定理计算DH的长，然后由计算AD的长即可；
（2）①由、，可知，即有，然后在根据即可证明△DBE≌△ACD；②由可知，若△ADE是等腰三角形，则或，然后分两种情况讨论，分别计算CD的长即可．
（1）
解：①如图3，过A作AD⊥BC于点D，

∵，，
∴，
∴；   
②如图4，过点A作AD⊥AC交BC于点D，过点A作AH⊥BC交BC于点H，

由（1）得，，
由勾股定理可知，，
∴，
解得，
∴；
（2）
①∵，，
∴，
∴，
∵，
∴△DBE≌△ACD（ASA）；
②∵，
若△ADE是等腰三角形，则或，
当时，则，
∵△DBE≌△ACD，
∴，；
当，如图5，

则，，
在中，，即，
解得，．
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质，并运用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
26．如图1，在中，，，．

(1)求证：；
(2)如图2，交于点，若，求证：，，三点共线；
(3)如图3，在（2）的条件下，若于，过点作于，，，求，的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，

【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由得，，从而得出，，根据和进一步得出结论；
（3）作于，作于，设，根据，，从而，设，，则，同理可求得和，根据列出方程，从而求得，进一步求得结果．
（1）
证明：在和中，
，
，
，
（2）
证明：由（1）知：，
，，
，
即：，
根据外角的性质：，，

，
，
，
，
，
，
，
，，三点共线；
（3）
解：如图，

作于，作于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
同理可得：设，，，
，
，
，，
在和中，由勾股定理得，
，，
，
，
，
，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线，根据面积法求得线段间关系，在根据列出方程．
27．问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为___；位置关系为 ．
拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则 AE与 BD 之间的关系是否仍然成立?请说明理由．
拓展延伸：（3）如图3，已知AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=90°，连接AB、AE、AD，把线段 AB绕点A旋转，若AB=5，AC=3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．


【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）．
【分析】（1）问题发现，由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，可证AE⊥BD；
（2）拓展探究，由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，可证AE⊥BD；
（3）解决问题，由由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，由三角形的三边关系可求解．
【解析】解：（1）问题发现
如图①，延长BD交AE于H，

∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCD＝90°，CA＝CD，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，
∵∠CBD+∠CDB＝90°，
∴∠CBD+∠EAC＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴AE⊥BD，
故答案为：AE＝BD，AE⊥BD；
拓展探究：（2）成立．
理由：如图2，

设与BD相交于点G．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
拓展延伸：（3）AE的最大值为．
如图3，连接BD．

∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
当点在线段DA的延长线时等号成立，
故AE的最大值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，证明△ACE≌△DCB是本题的关键．
28．在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是平面内一动点（不与A、C重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°至CE的位置．


(1)如图1，若D在△ABC的边AB上，AC＝2，则BE的最大值为________；
(2)如图2，若D在△ABC的边AB上，AD＝2，AE平分∠BAC，AE交BC于点P，则CP的长为_________；
(3)如图3，若D在△ABC的边AB上，取AE中点M，求证：CM＝BD
(4)若D是平面内任意一点（不与A、C重合），直线AD，BE交于点F，连接CF，请直接写出AF、BF、CF的数量关系________________________．
【答案】(1)2
(2)
(3)见解析
(4)AF＝BF＋CF或AF＋BF＝CF或CF＋AF＝BF
【分析】（1）先由勾股定理计算得AB= ，再证明△BCE≌△ACD，BE= AD，由D在△ABC的边AB上即可得解；
（2）过点P作PQ⊥AB于点Q，如图2，先由角平分线的性质证明PQ= PC，再证明Rt△APQ≌Rt△APC，得AQ= AC= BC，设PC= x，则PQ =BQ= x，由勾股定理得 ，进而证明PB=BE，构建一元一次方程即可求解；
（3）延长CM到点F，使FM = CM，连接AF，如图3，先证△AMF≌△EMC，得AF= EC，∠MAF=∠MEC，由（1）知： CE= CD，∠BCE=∠ACD，AF= CD，进而得∠CAF=∠CAE+∠MAF'=∠CAE+∠MEC= 180°-∠ACE=90°-∠ACD=∠BCD，从而有△CAF≌△BCD，得CF= BD，即可证明结论成立；
（4）分类讨论AF、BF、CF的数量关系，当点F在线段AB的上方且在线段AB垂直平分线的右侧时，过点C作CG⊥CF交直线AF于点G，如图4所示，利用三角形全等即可得AF＝BF＋CF； 当点F在线段AB的上方且在线段AB垂直平分线的左侧时，过点C作CG⊥CF交直线BE于点G，如图5所示，利用三角全等得BF＝BG+GF=AF＋CF；当点F在线段AB的下方时，过点C作CG⊥CF交直线BE于点G，如图6所示， 利用三角形全等得AF＋BF＝CF．
（1）
解：∵在Rt△ABC中，BC= AC= 2，∠ACB=90°
∴AB= ，
∵D在△ABC的边AB上，将CD绕点C逆时针旋转90°至CE的位置，
∴ CE= CD，∠DCE= 90°=∠ACB，
∴∠DCE-∠BCD=∠ACB-∠BCD即∠BCE=∠ACD，
在△BC E和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE= AD，
∵D在△ABC的边AB上，
∴AD的最大值等于AB为 ，
∴BE的最大值为，
故答案为∶ ；
（2）
解：过点P作PQ⊥AB于点Q，如图2，

∵PQ⊥AB， ∠ACB＝90°，
∴∠AQP=∠BQP = 90°，
∵在Rt△ABC中，BC= AC，∠ACB = 90°，
∴PC⊥AC，∠BAC=∠ABC = 45° ，∠CAP+∠APC=90°，
∵∠BQP = 90°，
∴∠QPB=90°-∠ABC = 45°=∠ABC，
∴PQ=BQ，
∵AE平分∠BAC，
∴ PQ= PC，∠CAP=∠BAE，
在Rt△APQ和Rt△APC中，
，
∴Rt△APQ≌Rt△APC，
∴AQ= AC= BC，
设PC= x，则PQ =BQ= x，
∵PQ⊥AB，
∴ ，
∵由（1）得△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD=45°，BE=AD=2，
∴∠ABE=∠ABE+∠CBE=45°+45°=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠CAP+∠APC=90°， ∠CAP=∠BAE，
∴∠AEB=∠APC=∠BPE，
∴PB=BE=2=，
∴CP=x=，
故答案为∶；
（3）
解：延长CM到点F，使FM = CM，连接AF，如图3，

∵M为AE的中点，
∴AM = EM，
在△AM F和△EMC中，
，
∴△AMF≌△EMC，
∴AF= EC，∠MAF=∠MEC，
∴∠CAF=∠CAE+∠MAF'=∠CAE+∠MEC
由（1）知： CE= CD，∠BCE=∠ACD，AF= CD，
∴∠CAE +∠MEC = 180°-∠ACE
= 180°-（∠ ACB+∠BCE）
= 180°- （90°+∠ACD）
= 90°-∠ACD
=∠BCD，
∴∠CAF=∠BCD，
在△CAF和△BCD中，

∴△CAF≌△BCD，
∴CF= BD，
∵FM = CM，
∴CM＝BD，
（4）
解：AF＝BF＋CF或AF＋BF＝CF或CF＋AF＝BF，理由如下：
当点F在线段AB的上方且在线段AB垂直平分线的右侧时，过点C作CG⊥CF交直线AF于点G，如图4所示，

∵由（1）得△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵CG⊥CF，∠ACB=90°，
∴∠ACG+∠GCB=∠ACB=90°=∠GCF=∠BCG+∠BCF，
∴∠ACG=∠BCF，
在△ACG和△BCF中，
，
∴ ，
∴AG=BF，CG=CF，
∵CG⊥CF，
∴，
∴AF＝AG+GF=BF＋CF；
当点F在线段AB的上方且在线段AB垂直平分线的左侧时，过点C作CG⊥CF交直线BE于点G，如图5所示，

∵由（1）得△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵CG⊥CF，∠ACB=90°，∠CBE+∠GBC=∠CAD+∠FAC=180°，
∴∠ACG+∠GCB=∠ACB=90°=∠GCF=∠ACG+∠ACF，∠GBC=∠FAC，
∴∠BCG=∠ACF，
在△ACF和△BCG中，
，
∴ ，
∴BG=AF，CG=CF，
∵CG⊥CF，
∴，
∴BF＝BG+GF=AF＋CF；
当点F在线段AB的下方时，过点C作CG⊥CF交直线BE于点G，如图6所示，

∵由（1）得△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵CG⊥CF，∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠FCB=∠ACB=90°=∠GCF=∠BCG+∠BCF，
∴∠ACF=∠BCG，
在△ACF和△BCG中，
，
∴ ，
∴AF=BG，CG=CF，
∵CG⊥CF，
∴，
∴CF=FG=BF+BG=AF+BF即AF＋BF＝CF；
综上所述：AF＝BF＋CF或AF＋BF＝CF或CF＋AF＝BF．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．