2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（4）（范围：九年级上册）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（4）（范围：九年级上册），共23页。试卷主要包含了已知一组数据，下列四个命题中不正确的是，某校九年级等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（4）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
考生注意：
1． 本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．
2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．关于x的方程ax2﹣3x﹣6＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a≠0 B．a＞0 C．a≥0 D．a＝1
2．已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．54，55 B．54，54 C．55，54 D．52，55
3．当m取下列哪个值时，关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根（　　）
A．2 B．0 C．1 D．﹣2
4．下列四个命题中不正确的是（　　）
A．直径是弦
B．三角形的内心到三角形三边的距离都相等
C．经过三点一定可以作圆
D．半径相等的两个半圆是等弧
5．如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A． B．x（x+1）＝1980
C．2x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
7．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
8．在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B在⊙A内时，实数a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a＞8 C．2＜a＜8 D．a＜2或a＞8
9．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（　　）

A． B． C．π D．
10．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（　　）

A．5.4cm B．6cm C．7.2cm D．7.5cm
二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）
11．当m＝　 　时，关于x的方程（m﹣2）+2x+6＝0是一元二次方程．
12．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝　 　．
13．若数据a1、a2、a3的平均数是3，则数据2a1、2a2、2a3的平均数是　 　．
14．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m﹣5的值等于　 　．
15．已知一个直角三角形的两条边长分别为3cm和4cm，则这个直角三角形的内切圆的半径为　 　cm．
16．一个圆锥的母线长为6，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是　 　．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为　 　．

18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为　 　．

三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解下列方程：
（1）（x+3）2＝16； （2）x2+2x＝﹣1；


（3）x2﹣x﹣2＝0； （4）（y﹣5）2＝2y﹣10．




20．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m+1＝0．
（1）若m＝﹣2，求此方程的解；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．





21．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．






22．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点．
（1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE．











23．甲、乙两位同学5次数学成绩统计如表，他们的5次总成绩相同，小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，请同学们完成下列问题．

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
90
40
70
40
60
乙成绩
70
50
70
a
70
甲、乙两人的数学成绩统计表
（1）a＝　 　，＝　 　；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）S甲2＝360，乙成绩的方差是　 　，可看出　 　的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．从平均数和方差的角度分析，　 　将被选中．

24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，Rt△CPQ的面积Scm2．
（1）用含t的代数式表示S．
（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？


25．如图，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为25m，另外三面用长度为50m的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分）
（1）若要使矩形羊圈的面积为300m2，则垂直于墙的一边长AB为多少米？
（2）农场老板又想将羊圈ABCD的面积重新建造成面积为320m2，从而可以养更多的羊，请聪明的你告诉他：他的这个想法能实现吗？为什么？




26．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题：如图1，圆O的半径为2，OA＝4，动点B在圆O上，连接AB，作等边三角形ABC（A、B、C为顺时针顺序），求OC的最大值．
【解决问题】小明经过多次的尝试和探索，终于得到解题思路：在图1中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE；
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）请直接写出线段OC的最大值；
【迁移拓展】
（3）如图2，BC＝，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请求出AC的最值，并说明理由．



答案与解析
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．关于x的方程ax2﹣3x﹣6＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a≠0 B．a＞0 C．a≥0 D．a＝1
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣3x﹣6＝0是一元二次方程，则a≠0；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．54，55 B．54，54 C．55，54 D．52，55
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列：51、52、53、54、55、55、58，
中位数为54，
∵55出现的次数最多，
∴众数为55，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是众数和中位数的定义，掌握相关定义是解题的关键．
3．当m取下列哪个值时，关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根（　　）
A．2 B．0 C．1 D．﹣2
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝4﹣4m＜0，
∴m＞1，
故选：A．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
4．下列四个命题中不正确的是（　　）
A．直径是弦
B．三角形的内心到三角形三边的距离都相等
C．经过三点一定可以作圆
D．半径相等的两个半圆是等弧
【分析】利用弦的定义、三角形的内心的性质、确定圆的条件及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、直径是圆内最长的弦，故正确；
B、三角形的内心到三角形三边的距离都相等，正确；
C、经过不在同一直线上的三点可以作圆，故错误；
D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的内心的性质、确定圆的条件及等圆的概念等知识，难度不大．
5．如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】作直径AD，连接BD，在上取一点E，连接AE、BE，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝140°，∠ABD＝90°，利用圆内接四边形的性质得到∠D＝40°，根据互余可计算出∠BAD＝50°．
【解答】解：作直径AD，连接BD、AB，如图，
∵∠ACB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣140°＝40°，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠D＝50°；
在上取一点E，连接AE、BE，
∴∠AEB＝∠ACB＝140°．
故选：D．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
6．某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A． B．x（x+1）＝1980
C．2x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人是解决问题的关键．
7．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
8．在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B在⊙A内时，实数a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a＞8 C．2＜a＜8 D．a＜2或a＞8
【分析】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．
【解答】解：∵⊙A的半径为3，若点B在⊙A内，
∴AB＜3，
∵点A所表示的实数为5，
∴2＜a＜8，
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
9．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（　　）

A． B． C．π D．
【分析】利用扇形的面积公式，求出扇形的半径，圆心角即可．
【解答】解：由题意，扇形的半径AD＝＝，∠EAF＝45°，
∴扇形AEF的面积＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（　　）

A．5.4cm B．6cm C．7.2cm D．7.5cm
【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（9﹣2r）cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到＝2πr，解方程求出r，然后计算9﹣2r即可．
【解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（9﹣2r）cm，
根据题意得＝2πr，
解得r＝，
所以AB＝9﹣2r＝9﹣2×＝6（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）
11．当m＝　﹣2　时，关于x的方程（m﹣2）+2x+6＝0是一元二次方程．
【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵方程（m﹣2）+2x+6＝0是一元二次方程，
∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
12．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝　　．
【分析】本题要求算出x1+x2的结果，x1+x2正好与两根之和公式一致，根据两根之和公式（韦达定理）可以求出x1+x2的值．
【解答】解：由两根之和公式可得，
x1+x2＝．
故答案为：．
【点评】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．
13．若数据a1、a2、a3的平均数是3，则数据2a1、2a2、2a3的平均数是　6　．
【分析】根据平均数的公式进行计算即可．
【解答】解：∵数据a1、a2、a3的平均数是3，
∴a1+a2+a3＝9，
∴（2a1+2a2+2a3）÷3＝18÷3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了算术平均数，掌握平均数的公式是解题的关键．
14．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m﹣5的值等于　﹣3　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣3m＝1，再把2m2﹣6m﹣5表示为2（m2﹣3m）﹣5，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣1＝0，
∴m2﹣3m＝1，
∴2m2﹣6m﹣5＝2（m2﹣3m）﹣5＝2×1﹣5＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．已知一个直角三角形的两条边长分别为3cm和4cm，则这个直角三角形的内切圆的半径为　1或　cm．
【分析】先用勾股定理求出斜边，再利用直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边之差的一半，计算出内切圆的半径．
【解答】解：斜边＝cm，则此直角三角形的内切圆半径＝＝1cm．
4为斜边时，，则此直角三角形的内切圆半径＝
故答案为：1或．
【点评】此题考查三角形的内切圆问题，熟悉勾股定理，记住直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边之差的一半这个结论是解题的关键．
16．一个圆锥的母线长为6，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是　2　．
【分析】根据圆锥的侧面积＝底面半径×母线长×π，进而求出即可．
【解答】解：∵母线为6，设圆锥的底面半径为x，
∴圆锥的侧面积＝π×6×x＝12π．
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练利用圆锥公式求出是解题关键．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为　1+　．

【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．

∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，
∴OH＝OC＝1，CH＝，
在Rt△CKH中，CK＝，
∴CQ的最大值为1+，
故答案为：1+．
【点评】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为　65°　．

【分析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由等腰三角形的性质求得∠DAC的度数．
【解答】解：∵∠CBE＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣50°＝130°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣130°＝50°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝＝65°，
故答案为：65°
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解下列方程：
（1）（x+3）2＝16；
（2）x2+2x＝﹣1；
（3）x2﹣x﹣2＝0；
（4）（y﹣5）2＝2y﹣10．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）移项后，利用直接开平方法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵（x+3）2＝16，
∴x+3＝4或x+3＝﹣4，
解得x1＝1，x2＝﹣7；
（2）∵x2+2x＝﹣1，
∴x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
∴x+1＝0，
解得x1＝x2＝﹣1；
（3）∵x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
则x﹣2＝0或x+1＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1；
（4）∵（y﹣5）2＝2y﹣10，
∴（y﹣5）2﹣2（y﹣5）＝0，
则（y﹣5）（y﹣7）＝0，
∴y﹣5＝0或y﹣7＝0，
解得y1＝5，y2＝7．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m+1＝0．
（1）若m＝﹣2，求此方程的解；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）把m＝2代入原方程，得到关于x的一元二次方程，解之即可，
（2）根据根的判别式公式，得到Δ＞0，即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
原方程为：x2﹣x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝；
（2）由题意得，Δ＝（1）2﹣4（m+1）＝﹣4m﹣3＞0，
∴m＜﹣，
∴m的取值范围为m＜﹣．
【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
21．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据圆周角定理求出∠C＝90°，再根据勾股定理求出AB，由∠ABD＝45°求出∠DOB＝90°，根据勾股定理求出BD即可；
（2）根据扇形的面积即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm）；
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，
∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD＝＝＝5（cm）；

（2）阴影部分的面积S＝S扇形AOD＝＝π（cm2）．
【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，扇形的面积计算，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AB的长和∠DOB的度数是解此题的关键．
22．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点．
（1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE．

【分析】（1）根据垂直平分线的作法即可画BE的垂直平分线；
（2）根据垂直平分线的性质可得CE＝CB，CF⊥BE，再根据等腰三角形的“三线合一”可得∠ECF＝∠BCF，然后证明OF∥AE，即可得结论．
【解答】解：（1）如图，直线CF即为BE的垂直平分线；

（2）∵直线CF为BE的垂直平分线，
∴CE＝CB，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴∠BCE＝2∠BCF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴OF∥AE，
∴∠BDE＝∠BCF，
∴∠BCE＝2∠BDE．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，垂径定理，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
23．甲、乙两位同学5次数学成绩统计如表，他们的5次总成绩相同，小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，请同学们完成下列问题．

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
90
40
70
40
60
乙成绩
70
50
70
a
70
甲、乙两人的数学成绩统计表
（1）a＝　40　，＝　60　；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）S甲2＝360，乙成绩的方差是　160　，可看出　乙　的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．从平均数和方差的角度分析，　乙　将被选中．

【分析】（1）根据题意和平均数的计算公式计算即可；
（2）根据求出的a的值，完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）根据方差的计算公式计算，根据方差的性质进行判断即可．
【解答】解：（1）∵他们的5次总成绩相同，
∴90+40+70+40+60＝70+50+70+a+70，
解得a＝40，
（70+50+70+40+70）＝60，
故答案为：40；60；
（2）如图所示：
（3）S2乙＝[（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2]＝160．
∵S2乙＜S甲2，
∴乙的成绩稳定，
从平均数和方差的角度分析，乙将被选中，
故答案为：160；乙；乙．

【点评】本题考查的是条形统计图、方差的计算和性质，读懂条形统计图、获取正确的信息、掌握方差的计算公式是解题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，Rt△CPQ的面积Scm2．
（1）用含t的代数式表示S．
（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？

【分析】（1）由题意可得CP＝AC﹣2t，CQ＝t，则利用三角形的面积公式即可求解；
（2）当S＝5时，代入（1）中的式子进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：CP＝AC﹣2t，CQ＝t，
∴S＝CP•CQ＝（AC﹣2t）t，
∵AC＝12cm，BC＝9cm，
∴S＝（12﹣2t）t＝﹣t2+6t；
（2）当S＝5cm2时，
﹣t2+6t＝5，
解得：t1＝1，t2＝5，
即当t＝1或t＝5时，Rt△CPQ的面积等于5cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，正确地列出方程是解题的关键．
25．如图，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为25m，另外三面用长度为50m的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分）
（1）若要使矩形羊圈的面积为300m2，则垂直于墙的一边长AB为多少米？
（2）农场老板又想将羊圈ABCD的面积重新建造成面积为320m2，从而可以养更多的羊，请聪明的你告诉他：他的这个想法能实现吗？为什么？

【分析】（1）设所围矩形ABCD的宽AB为x米，则宽AD为（50﹣2x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．
（2）假使矩形面积为320，则x无实数根，所以不能围成矩形场地．
【解答】解：（1）设所围矩形ABCD的宽AB为x米，则宽AD为（50﹣2x）米．
依题意，得x•（50﹣2x）＝300，
即，x2﹣25x+150＝0，
解此方程，得x1＝15，x2＝10．
∵墙的长度不超过25m，
∴x2＝10不合题意，应舍去．
∴垂直于墙的一边长AB为15米．

（2）不能．
因为由x•（50﹣2x）＝320得x2﹣25x+160＝0（6分）．
又∵b2﹣4ac＝（25）2﹣4×1×160＝﹣15＜0，
∴上述方程没有实数根．
因此，不能使所围矩形场地的面积为320m2．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，不仅是一道实际问题，而且结合了矩形的性质，解答此题要注意以下问题：
（1）矩形的一边为墙，且墙的长度不超过45米；
（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等．
26．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题：如图1，圆O的半径为2，OA＝4，动点B在圆O上，连接AB，作等边三角形ABC（A、B、C为顺时针顺序），求OC的最大值．
【解决问题】小明经过多次的尝试和探索，终于得到解题思路：在图1中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE；
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）请直接写出线段OC的最大值；
【迁移拓展】
（3）如图2，BC＝，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请求出AC的最值，并说明理由．


【分析】【解决问题】
（1）结论：OC＝AE．只要证明△CBO≌△ABE即可；
（2）利用三角形的三边关系即可解决问题；
【迁移拓展】
（3）以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝6＝定值，∠BDC＝90°，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；同理可求AC的最小值．
【解答】解：【解决问题】
（1）如图1中，结论：OC＝AE，

理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，
∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，
∴∠CBO＝∠ABE，
∴△CBO≌△ABE（SAS），
∴OC＝AE．
（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，
∴当E、O、A共线，
∴AE的最大值为6，
∴OC的最大值为6．
【迁移拓展】
（3）如图2中，以BC为边作等边三角形△BCM，

∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，
∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC＝6定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，
如图，

由图可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝3+3，
∴AC的最大值为3+3．
当点A线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为3﹣3．
综上，AC的最小值为3﹣3，AC最大值为3+3．
【点评】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．